북일여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 충남 천안시)

북일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 답을 직접 쓰는 문항이 12~20번 9문항으로 시험의 절반 가까이를 차지한다는 점입니다. 난이도는 상 0문항, 중상 2문항으로 높지 않지만, 서답형 비중이 커서 풀이를 끝까지 정확히 쓰는 힘이 필요합니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~11번은 선택형, 12~20번 9문항은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 9 / 중 9 / 중상 2 / 상 0
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 7 / 08 정적분 6 / 07 부정적분 3 / 09 정적분의 활용 3 / 05 도함수의 활용 (2) 1
• 반복 축: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3문항(11·13·14번), 운동 문항 4개(1·4·5·8번), 정적분을 포함한 등식 2문항(15·16번)
• 가장 까다로운 문항: 17번 두 곡선 사이의 넓이, 20번 구간별 함수의 정적분 (둘 다 중상, 서답형)

북일여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

북일여자고등학교는 충남 천안시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~11번은 선택형, 12~20번 아홉 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 서답형 중에는 15번처럼 함수식과 미지수를 함께 써야 하는 문항도 있습니다.

배치 단원은 다섯 개지만 도함수의 활용 (3) 7문항과 정적분 6문항이 13문항으로 중심입니다. 도함수의 활용 (2)는 19번 한 문항뿐입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 9 · 중 9, 중상 2

1~6번 여섯 문항이 연속으로 하입니다. 선택형 11문항 중 하가 8문항이라 선택형은 빠르게 끝내고 서답형에 시간을 남기는 운영이 맞습니다.

서답형 12~20번은 하 1(12번), 중 6, 중상 2(17·20번) 입니다. 어려운 문항은 많지 않지만, 서답형은 계산 실수나 풀이 누락이 곧바로 감점입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 7문항

도함수의 활용 (3) 7문항(35%) 이 가장 많습니다. 이 단원은 운동 3문항(1·5·8번) 과 방정식·부등식 4문항(11·13·14·18번) 으로 나뉩니다.

정적분 6문항 중 3문항(15·16·20번)이 서답형입니다. 정적분 등식과 구간별 함수의 적분을 직접 서술해야 합니다.

시그니처 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3문항

• 11번 중 (선택형)
• 13번 중 (서답형)
• 14번 중 (서답형)

같은 유형이 세 번, 그것도 연달아 가까운 번호에 나왔습니다. 13번은 실근 개수 조건을 만족하는 k의 범위를 쓰는 형태입니다.

풀이 순서는 늘 같습니다. f'(x)=0으로 극값 위치를 찾고, 극댓값·극솟값을 계산하고, y=k를 위아래로 움직이며 교점 개수를 센다. 이 세 단계를 서답형 답안처럼 정리해 두면 세 문항을 같은 틀로 풀 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 운동 (1·4·5·8번) — 4문항

1번 하 속도·가속도와 운동 방향, 4번 하 위치와 위치의 변화량, 5번 하 위로 던진 물체의 위치와 속도, 8번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리.

위치 → (미분) → 속도 → (미분) → 가속도, 반대로 속도 → (적분) → 위치의 변화량입니다. 8번 정지하는 물체는 v(t)=0이 되는 시각을 먼저 구하고, 그때까지 이동한 거리를 적분으로 계산합니다.

2. 방정식·부등식 (11·13·14·18번) — 4문항

위의 실근의 개수 3문항에 더해 18번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 (서답형).

18번은 f(x)−g(x)의 최솟값이 0 이상이 되도록 미지수 조건을 세우는 표준형입니다.

3. 정적분 (2·6·9·15·16·20번) — 6문항

2번 하 정적분의 계산 (피적분함수가 같은 경우), 6번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 9번 하 우함수·기함수의 정적분 (피적분함수가 주어지지 않은 경우), 15번 중 정적분을 포함한 등식 (끝에 변수가 있는 경우, 서답형), 16번 중 정적분을 포함한 등식 (끝이 상수인 경우, 서답형), 20번 중상 미분가능성 · 구간별로 정의된 함수의 정적분 (서답형).

15번과 16번은 정적분 등식의 두 가지 경우입니다. 끝에 x가 있으면 양변을 미분하고 위끝·아래끝을 같게 놓아 미지수를 찾습니다(15번). 끝이 상수이면 정적분을 k로 놓습니다(16번). 두 문항 모두 f(x)를 식으로 써야 합니다.

20번은 1학기의 미분가능성 조건을 먼저 써서 구간별 함수를 확정하고, 경계점에서 나눠 적분하는 서답형입니다.

4. 부정적분 (3·7·12번) — 3문항

3번 하 부정적분의 정의, 7번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 12번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기 (서답형).

12번은 서답형 중 유일한 하입니다. 도함수를 적분하고 주어진 조건으로 적분상수를 정하면 끝납니다.

5. 정적분의 활용 (4·10·17번) — 3문항

4번 하 위치와 위치의 변화량, 10번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 17번 중상 두 곡선 사이의 넓이 (서답형).

17번은 두 곡선의 교점을 구하고, 위아래 관계를 확인한 뒤 (위 함수 − 아래 함수)를 적분합니다. 교점이 세 개 이상이면 구간마다 위아래가 바뀌니 주의해야 합니다.

6. 도함수의 활용 (2) (19번) — 1문항

19번 중 최대·최소의 활용 · 부피 (서답형). 길이를 변수로 놓고 부피 식을 세운 뒤 미분해 최댓값을 찾습니다. 변수의 범위를 먼저 정하는 것이 중요합니다.

주의 문항

17번 중상 (두 곡선 사이의 넓이) — 서답형, 교점과 위아래 관계를 정확히 써야 합니다.

20번 중상 (미분가능성 + 구간별 정적분) — 시험지 마지막 문항이자 1학기 개념이 들어간 서답형입니다.

13·14번 중 (실근의 개수) — 서답형으로 연달아 나와, 극값 계산 실수 하나가 두 문항에 영향을 줍니다.

15번 중 (정적분 등식) — f(x)와 미지수를 모두 써야 하는 서답형입니다.

북일여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도·가속도, 위로 던진 물체, 위치의 변화량 — 1·4·5번 대비. 확보 구간.
2. 정지하는 물체와 움직인 거리 — 8번 대비.
3. 부정적분의 정의와 도함수로 함수 구하기 — 3·12번 대비.
4. 부정적분 관계식으로 함수 구하기 — 7번 대비.
5. 정적분 계산, 우함수·기함수, 정적분 극한 — 2·6·9번 대비.
6. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 11·13·14번 대비. 서답형 답안 틀 만들기.
7. 부등식이 항상 성립할 조건 — 18번 대비.
8. ★ 정적분을 포함한 등식 (상수 끝 / 변수 끝) — 15·16번 대비.
9. 곡선과 x축 사이, 두 곡선 사이의 넓이 — 10·17번 대비.
10. 부피의 최대·최소 — 19번 대비.
11. ★ 미분가능성과 구간별 정적분 — 20번 대비. 1학기 복습.

자주 나오는 질문

북일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~11번은 선택형, 12~20번 9문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 7문항으로 가장 많습니다. 정적분 6문항, 부정적분과 정적분의 활용이 각 3문항, 도함수의 활용 (2) 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 문항은 중상인 17번과 20번이고, 둘 다 서답형입니다.

서답형이 많은데 어떻게 준비해야 하나요?

서답형 9문항 중 실근의 개수 2문항, 정적분 등식 2문항이 같은 유형끼리 짝을 이룹니다. 이 두 유형의 풀이를 답안 형태로 정리해 두는 것이 가장 효율적입니다.

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