충북고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 충북 청주시)

충북고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험의 특징은 미분계수와 도함수부터 정적분의 활용까지 일곱 개 단원에 걸쳐 넓게 출제됐다는 점, 그리고 중상 3문항(20·22·23번)이 시험지 맨 끝에 모여 있다는 점입니다. 상 난이도는 없습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 분석표에 기록된 23문항은 모두 선택형(①~⑤)
• 난이도: 하 10 / 중 10 / 중상 3 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 03 미분계수와 도함수 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 1 / 07 부정적분 1
• 두 번씩 나온 유형: 미분계수를 이용한 극한값(4·19번), 최대·최소로 미정계수 결정(18·21번), 위치와 위치의 변화량(7·16번), 적분 구간이 같은 정적분 계산(1·12번)
• 가장 까다로운 구간: 20·22·23번 중상 3문항

충북고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

충북고등학교는 충북 청주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 분석표의 정답 기록은 23문항 모두 ①~⑤ 선택형입니다.

이 시험은 출제 범위가 넓습니다. 미분계수와 도함수 3문항, 도함수의 활용 (1) 1문항이 들어가 있어 1학기 후반 내용까지 다시 봐야 합니다. 대단원으로 묶으면 미분(03~06) 11문항, 적분(07~09) 12문항으로 거의 반반입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 10 · 중 10 · 중상 3

1~8번 여덟 문항이 연속으로 하입니다. 9번부터 중 난이도가 시작되고, 20번 이후 네 문항 중 세 문항이 중상입니다.

선택형만 23문항이라 문항당 시간이 짧습니다. 1~8번을 빠르게 넘기고, 9~19번 중 난이도 구간에서 실수를 줄인 뒤, 마지막 중상 세 문항에 시간을 남기는 흐름이 맞습니다.

출제 단원 — 일곱 단원에 고르게

정적분 6문항이 가장 많고, 중상 3문항 중 2문항(20·23번)이 정적분입니다. 나머지 하나(22번)는 도함수의 활용 (3)의 부등식 문항입니다.

미분계수와 도함수 3문항은 극한값 계산과 곱의 미분법입니다. 2학기 범위만 공부하면 놓치기 쉬운 부분입니다.

시그니처 — 같은 유형 네 쌍

이 시험은 같은 유형을 난이도만 바꿔 두 번 묻는 구성이 많습니다.

• 미분계수를 이용한 극한값의 계산 — 4번(하) · 19번(중)
• 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 18번(중) · 21번(중)
• 위치와 위치의 변화량 — 7번(하) · 16번(중)
• 정적분의 계산 (적분 구간이 같은 경우) — 1번(하) · 12번(중, 극대·극소와 결합)

4번은 lim (f(a+h)−f(a))/h 꼴, 19번은 lim (f(x)−f(a))/(x−a) 꼴입니다. 둘 다 결국 f'(a)라는 같은 대상을 다른 모양으로 보여 줍니다. 분자와 분모의 변화량을 맞추는 연습이 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·6·10·12·20·23번) — 6문항

1번 하 정적분의 계산 (적분 구간이 같은 경우), 6번 하 우함수·기함수의 정적분, 10번 중 정적분을 포함한 등식 (끝에 변수가 있는 경우), 12번 중 함수의 극대·극소 · 정적분의 계산, 20번 중상 부정적분의 정의 · 미적분의 기본정리, 23번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

20번은 부정적분의 정의와 미적분의 기본정리를 함께 쓰는 문항입니다. ∫ₐˣ f(t)dt를 미분하면 f(x)가 된다는 것과, 부정적분은 미분하면 원래 함수로 돌아간다는 것을 구분해서 써야 합니다.

23번은 시험지 마지막 문항입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 피적분함수를 얻고, 그 부호 변화로 극대·극소를 판정합니다.

2. 정적분의 활용 (3·7·15·16·17번) — 5문항

3번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 하 위치와 위치의 변화량, 15번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 16번 중 위치와 위치의 변화량, 17번 중 두 곡선 사이의 넓이.

15번은 접선의 방정식을 먼저 구해야 넓이로 넘어갈 수 있습니다. 접선과 곡선의 접점이 중근이라는 점을 이용하면 적분 계산이 쉬워집니다.

3. 도함수의 활용 (3) (5·13·14·22번) — 4문항

5번 하 속도·가속도와 운동 방향, 13번 하 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 22번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건.

14번과 22번이 부등식 문항입니다. 14번은 주어진 구간의 최솟값, 22번은 실수 전체에서의 최솟값을 봅니다. 22번은 같은 계열 중 난이도가 더 높은 중상입니다.

4. 미분계수와 도함수 (4·9·19번) — 3문항

4번 하 미분계수를 이용한 극한값 (h→0 꼴), 9번 중 곱의 미분법 (y=f(x)g(x)), 19번 중 미분계수를 이용한 극한값 (x→a 꼴).

9번 곱의 미분법은 {f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)입니다. 순서를 바꿔 쓰는 실수보다 한쪽 항을 빠뜨리는 실수가 더 흔합니다.

5. 도함수의 활용 (2) (11·18·21번) — 3문항

11번 하 도함수의 그래프의 해석 (응용), 18번 중·21번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

18번과 21번이 같은 유형입니다. 닫힌구간에서 극값 후보와 양 끝 값을 모두 계산하고, 주어진 최댓값(또는 최솟값) 조건으로 미정계수를 정합니다.

6. 기타 (2·8번)

2번 하 부정적분의 계산, 8번 하 평균값 정리 (정의를 이용하는 경우). 두 문항 모두 확보 구간입니다.

주의 문항 — 중상 3문항

20번 중상 (부정적분의 정의 · 미적분의 기본정리) — 두 개념을 섞어 쓰면 틀립니다.

22번 중상 (모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건) — 14번과 비슷해 보이지만 구간 없이 실수 전체에서 성립해야 합니다.

23번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 마지막 문항이라 시간이 부족해지기 쉽습니다.

충북고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ 미분계수를 이용한 극한값 두 가지 꼴 — 4·19번 대비.
2. 곱의 미분법 — 9번 대비.
3. 평균값 정리 — 8번 대비.
4. 도함수 그래프 해석 — 11번 대비.
5. ★ 최대·최소로 미정계수 결정 — 18·21번 대비.
6. 속도·운동 방향, 실근의 개수 — 5·13번 대비.
7. 부등식이 항상 성립할 조건 (구간/실수 전체) — 14·22번 대비.
8. 부정적분 계산과 정적분 계산 — 1·2·6·12번 대비.
9. 정적분을 포함한 등식 — 10번 대비.
10. ★ 미적분의 기본정리와 정적분으로 정의된 함수 — 20·23번 대비.
11. 넓이 (x축, 두 곡선, 접선) — 3·15·17번 대비.
12. 위치와 위치의 변화량 — 7·16번 대비.

자주 나오는 질문

충북고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 분석표에 기록된 23문항은 모두 선택형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 미분계수와 도함수·도함수의 활용 (2)가 각 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 문항은 중상인 20·22·23번이고, 모두 시험지 끝에 있습니다.

1학기 단원도 나오나요?

네. 배치 단원 기준으로 미분계수와 도함수 3문항(4·9·19번), 도함수의 활용 (1) 1문항(8번) 이 있습니다.

과년도 충북고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

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