군포중앙고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
군포중앙고 3학년 1학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 19문항입니다. 배치 단원으로 보면 도함수의 활용 8문항, 적분법 11문항으로 적분 쪽이 조금 더 무겁습니다. 난이도는 중 13문항이 압도적이고, 상은 13번 한 문항뿐입니다.
핵심 요약
- 19문항 — 1~16번은 선택형, 17~19번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 1 / 중 13 / 중상 4 / 상 1
- 배치 단원: 07 도함수의 활용 (2) 5 / 09 치환적분법과 부분적분법 5 / 10 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (1) 3 / 08 여러 가지 함수의 적분법 1
- 반복 유형: 치환적분법을 이용한 정적분; 유리함수, 무리함수 2회(7·8번)
- 유일한 상 난이도: 13번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수
군포중앙고 고3 1학기 기말은 어떤 시험인가
군포중앙고등학교는 경기 군포시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 19문항이고, 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17~19번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
출제 단원은 미분법 후반부(도함수의 활용)와 적분법 전체입니다. 문항 수가 많지 않은 대신 한 문항 안에서 두세 단계를 거쳐야 하는 구성이 대부분입니다. 분석표의 난이도 근거를 보면 중 난이도 문항도 거의 모두 "2단계"로 분류돼 있습니다. 공식 하나 대입하고 끝나는 문항은 1번 정도입니다.
배치 순서는 단원 순서와 다릅니다. 1번이 삼각함수의 정적분, 2번이 평면 운동의 속도, 3번이 정적분과 급수로, 미분과 적분이 앞번호부터 번갈아 나옵니다. 시험지를 받으면 먼저 한 번 훑어서 어느 번호가 어느 단원인지 표시해 두는 편이 낫습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 13문항, 상은 13번 하나
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 1 |
| 중 | 13 | 68% | 2~12·17·18 |
| 중상 | 4 | 21% | 14·15·16·19 |
| 상 | 1 | 5% | 13 |
2번부터 12번까지 열한 문항이 전부 중 난이도입니다. 앞쪽에서 막히는 문항은 없지만, 하 난이도가 1번 하나뿐이라 쉬운 문항으로 시간을 버는 구간도 없습니다. 열한 문항을 일정한 속도로 정확하게 풀어내는 것이 이 시험의 기본기입니다.
어려운 문항은 13~16번에 몰려 있습니다. 13번 상, 14·15·16번 중상이 연달아 나옵니다. 그 뒤 답을 직접 쓰는 17~19번 중 19번이 다시 중상입니다. 선택형 후반 네 문항과 서답형 마지막 문항이 등급을 가르는 구간입니다.
출제 단원 — 세 단원이 5문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 07 도함수의 활용 (2) | 5 | 2·4·13·14·19 |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 5 | 7·8·9·12·16 |
| 10 정적분의 활용 | 5 | 3·5·6·10·17 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 3 | 11·15·18 |
| 08 여러 가지 함수의 적분법 | 1 | 1 |
세 단원이 5문항씩 똑같이 나눠 가졌습니다. 대단원으로 묶으면 미분법(06·07) 8문항, 적분법(08·09·10) 11문항입니다.
눈여겨볼 점은 어려운 문항의 위치입니다. 상·중상 5문항 중 13·14·19번이 07 도함수의 활용 (2), 15번이 06 도함수의 활용 (1), 16번이 09 치환적분법과 부분적분법입니다. 적분법은 문항 수가 많지만 대부분 중 난이도이고, 고난도는 도함수의 활용 쪽에 몰려 있습니다.
반복 유형 — 치환적분 2회, 정적분의 활용은 다섯 가지 모두 다른 유형
19문항에 쓰인 핵심 유형은 18개입니다. 같은 유형이 두 번 나온 것은 치환적분법을 이용한 정적분; 유리함수, 무리함수(7·8번) 하나뿐입니다. 7번은 원시함수의 차로 함숫값을 구하는 문항이고, 8번은 역함수 관계를 이용해 치환한 뒤 로그값을 구하는 문항입니다. 같은 유형이라도 치환할 식을 고르는 방식이 다릅니다.
반대로 10 정적분의 활용 5문항은 유형이 전부 다릅니다.
- 3번 — 정적분과 급수의 합 사이의 관계
- 5번 — 입체도형의 부피; 단면이 밑면과 수직인 경우
- 6번 — 곡선 y=f(x)의 길이
- 10번 — 곡선과 직선 사이의 넓이
- 17번 — 두 곡선 사이의 넓이
급수, 부피, 곡선의 길이, 넓이까지 교과서 정적분의 활용 단원을 처음부터 끝까지 한 번씩 물었습니다. 한 유형만 깊게 파기보다 유형별 기본 풀이 틀을 모두 갖춰야 하는 구조입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (2·4·13·14·19번) — 5문항
2번 중 평면 위를 움직이는 점의 속도, 4번 중 부등식이 성립하도록 하는 미정계수의 결정; f(x)≥a 꼴, 13번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 중상 함수의 그래프의 성질, 19번 중상(서답형) 지수함수의 최대·최소.
2번은 각 좌표를 시각 t로 미분해 속도를 구하고, 그 크기로 속력을 계산하는 문항입니다. 문제에 주어진 t>0 조건을 놓치지 않는 것이 포인트입니다.
4번은 x>0 전체에서 부등식이 성립하도록 상수를 정하는 문항입니다. 도함수의 부호가 음에서 양으로 바뀌는 지점에서 최솟값을 찾고, 그 최솟값이 조건을 만족하도록 상수를 정합니다.
13번(상) 은 e^(−x)sin x 꼴 함수의 극값을 다룹니다. 극값의 절댓값이 일정한 비율로 줄어드는 구조를 읽어내고, k의 부호에 따라 실근 개수를 나눠 세야 합니다. 분석표 기준 4단계 풀이로, 이 시험에서 단계가 가장 많은 문항입니다.
14번은 증가·감소, 변곡점, 교점 개수를 차례로 판정하는 문항입니다. 로그가 들어간 함수를 이계도함수까지 다뤄야 합니다.
2. 치환적분법과 부분적분법 (7·8·9·12·16번) — 5문항
7번 중 치환적분법을 이용한 정적분; 유리함수, 무리함수, 8번 중 같은 유형, 9번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있을 때, 12번 중 부분적분법을 이용한 정적분; 한 번 이용하는 경우, 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.
9번은 정적분을 포함한 등식에서 x=0을 대입해 상수를 먼저 정하고, 양변을 미분해 함숫값을 구하는 순서입니다. 적분 안에 x가 섞여 있으면 밖으로 꺼낸 뒤 미분해야 합니다.
12번은 피적분식이 어떤 곱의 미분 형태인지 알아보는 것이 열쇠입니다. 알아보면 바로 끝나고, 못 알아보면 계산이 길어집니다.
16번(중상) 은 cos x의 부호에 따라 절댓값이 들어간 적분 구간을 나눈 뒤 최대·최소를 판정합니다. 구간 분할 지점을 정확히 잡는 것이 핵심입니다.
3. 정적분의 활용 (3·5·6·10·17번) — 5문항
3번 중 정적분과 급수의 합 사이의 관계; 합의 꼴, 5번 중 입체도형의 부피; 단면이 밑면과 수직인 경우, 6번 중 곡선 y=f(x)의 길이, 10번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 17번 중(서답형) 두 곡선 사이의 넓이.
3번은 n을 정리해 0부터 1까지의 구간으로 바꾼 뒤 정적분으로 고쳐 쓰고, 로그값으로 계산합니다.
5번은 단면이 정삼각형인 입체의 부피 문항입니다. 단면 한 변의 길이를 x에 대한 식으로 쓰고, 단면 넓이를 적분합니다.
6번은 곡선의 길이 공식에서 1+{f′(x)}²이 완전제곱식으로 정리되는지 확인하는 문항입니다. 근호를 벗기는 순간이 이 문항의 전부입니다.
10번은 x=e^y+1과 x=y 사이의 넓이를 구합니다. x를 y의 식으로 보고 y에 대해 적분하는 방식에 익숙해야 합니다.
17번은 두 곡선 사이의 넓이를 a_n으로 놓고 그 합의 극한까지 구하는 서답형입니다. 삼각함수가 들어간 절댓값 적분이라 0이 되는 점에서 구간을 나누는 과정이 필요합니다.
4. 도함수의 활용 (1) (11·15·18번) — 3문항
11번 중 극값을 가질 조건; 판별식을 이용하지 않는 경우, 15번 중상 접선의 방정식, 18번 중(서답형) 구간에서의 최솟값 함수 g(a)의 미분.
11번은 지수식을 다른 변수로 치환한 뒤 양의 근이 존재하는 조건으로 극값 여부를 판정합니다.
15번(중상) 은 곡선 위의 주어진 점과 별개로 다른 접점을 t로 놓고 접선이 지나는 조건을 세운 뒤, 두 절편으로 넓이를 구해 상수를 정합니다. 3단계 문항입니다.
18번은 f″(x)=1/x>0이라 최소점이 하나뿐이라는 점에서 출발해, 최소점이 구간 안에 있는지 왼쪽 끝에 걸리는지로 나눠 g(a)를 정합니다.
5. 여러 가지 함수의 적분법 (1번) — 1문항, 하
1번 하 삼각함수의 정적분. cos의 원시함수가 sin이라는 것을 이용해 양끝값을 대입하는 1단계 문항입니다. 반드시 확보해야 합니다.
주의 문항 — 상 1, 중상 4
13번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 감쇠하는 극값 구조를 파악해야 하는 4단계 문항입니다.
14번 중상 (함수의 그래프의 성질) — 증감·변곡·교점 세 가지를 모두 판정합니다.
15번 중상 (접선의 방정식) — 접점을 미지수로 두는 발상이 필요합니다.
16번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 절댓값 적분의 구간 분할이 관건입니다.
19번 중상 (지수함수의 최대·최소, 서답형) — 조건 (가)에서 극대 위치를 찾아 계수를 정하고, 구간에 따라 최댓값을 나눠 구합니다. 답을 직접 써야 하니 분기 하나를 빠뜨리면 그대로 오답입니다.
13~16번 네 문항이 연속으로 배치돼 있습니다. 앞의 중 난이도 열한 문항에서 시간을 아껴 두지 않으면 여기서 시간이 부족해집니다.
군포중앙고 고3 1학기 기말 미적분 대비 학습 순서
- 삼각함수의 정적분 — 1번 대비. 확보 구간.
- 치환적분법(유리·무리함수) — 7·8번 대비. 치환할 식 고르는 연습.
- 부분적분법과 곱의 미분 꼴 알아보기 — 12번 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 9번 대비. 대입으로 상수, 미분으로 함수.
- ★ 정적분의 활용 다섯 유형 — 3·5·6·10·17번 대비. 급수·부피·길이·넓이 하나씩.
- y에 대해 적분하는 넓이 — 10번 대비.
- 평면 운동의 속도와 속력 — 2번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 4번 대비. 최솟값으로 바꿔 생각하기.
- 극값을 가질 조건(치환형) — 11번 대비.
- ★ 접점을 t로 두는 접선 문제 — 15번 대비.
- 최솟값 함수 g(a) — 18번 대비. 구간 위치에 따른 분기.
- ★ 실근의 개수와 그래프 개형 — 13·14번 대비. 이계도함수까지.
- 절댓값이 들어간 정적분 함수의 최대·최소 — 16번 대비.
- 지수함수의 최대·최소(조건형) — 19번 대비. 서답형 풀이 정리까지.
자주 나오는 질문
군포중앙고 3학년 1학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 19문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~19번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (2), 치환적분법과 부분적분법, 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (1)이 3문항, 여러 가지 함수의 적분법이 1문항입니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 13번(방정식 f(x)=k의 실근의 개수) 하나입니다. 중상은 14·15·16·19번 네 문항입니다.
적분이 더 어렵나요, 미분이 더 어렵나요?
문항 수는 적분법이 11문항으로 많지만, 상·중상 5문항 중 4문항이 도함수의 활용입니다. 점수를 가르는 곳은 미분 쪽입니다.
과년도 군포중앙고 기출도 볼 수 있나요?
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