용호고 3학년 1학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)

용호고 3학년 1학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 22문항입니다. 여러 가지 미분법 7문항, 치환적분법과 부분적분법 7문항이 양대 축이고, 도함수의 활용이 8문항입니다. 상 난이도는 18·19번 두 문항, 서술형은 21·22번 두 문항입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~20번은 선택형, 21·22번은 풀이 과정을 쓰는 서술형
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 05 여러 가지 미분법 7 / 09 치환적분법과 부분적분법 7 / 06 도함수의 활용 (1) 5 / 07 도함수의 활용 (2) 3
• 반복 유형: 치환적분법; 삼각함수 2회(6·16번), 구간에서의 최솟값 함수 g(a)의 미분 2회(15·20번)
• 정적분의 활용(넓이·부피) 문항은 0개

용호고 고3 1학기 기말은 어떤 시험인가

용호고등학교는 경기 군포시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 미적분은 총 22문항이고, 1~20번은 선택형, 21·22번은 풀이 과정을 함께 쓰는 서술형입니다.

이 시험의 출제 범위는 미분법과 적분법이지만, 실제 배치 단원을 세어 보면 적분 쪽은 치환적분법과 부분적분법 한 단원에만 7문항이 나왔습니다. 넓이·부피·곡선의 길이 같은 정적분의 활용 문항은 한 개도 없습니다. 여러 가지 함수의 적분법 단원으로 분류된 문항도 없습니다. 적분은 치환과 부분적분 계산 자체를 집중적으로 물은 셈입니다.

미분 쪽은 몫의 미분, 매개변수, 음함수, 역함수, 합성함수까지 여러 가지 미분법을 거의 빠짐없이 다뤘습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 2문항이 18·19번에

하 난이도 4문항은 1·2·5·9번으로 앞쪽에 있습니다. 넷 중 셋(1·2·9번)이 여러 가지 미분법의 기본 공식 문항입니다. 공식만 정확하면 바로 끝나는 확보 구간입니다.

11번부터 20번까지는 12·13번을 빼고 전부 중상 이상입니다. 이 열 문항 가운데 여덟 문항이 중상·상이라, 시험 후반부가 사실상 승부처입니다. 서술형 21·22번은 둘 다 중 난이도로, 앞의 고난도 구간보다 오히려 수월합니다. 시간 배분에서 서술형 몫을 꼭 남겨 두세요.

출제 단원 — 미분법 7, 치환·부분적분 7

대단원으로 묶으면 미분법(05·06·07) 15문항, 적분법(09) 7문항입니다. 미분 비중이 3분의 2가 넘습니다.

상 난이도 두 문항은 18번이 여러 가지 미분법, 19번이 도함수의 활용 (2) 입니다. 중상 6문항 중에서는 치환적분법이 14·16번 두 문항, 도함수의 활용 (1)이 11·15·20번 세 문항입니다. 즉 적분은 계산형 위주인데도 치환이 꼬인 문항 두 개가 중상으로 나왔습니다.

반복 유형 — 삼각함수 치환, 그리고 최솟값 함수 g(a)

22문항에 쓰인 핵심 유형은 20개이고, 두 번 나온 유형이 두 개입니다.

• 치환적분법; 삼각함수 — 6번(중), 16번(중상)
• 구간에서의 최솟값 함수 g(a)의 미분 — 15번(중상), 20번(중상)

g(a) 유형이 두 번, 둘 다 중상이라는 점이 특징입니다. 구간이나 기준이 a에 따라 움직일 때 최솟값이 어디서 생기는지 경우를 나누는 훈련이 이 시험에서 두 문항 값어치를 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 여러 가지 미분법 (1·2·4·9·13·18·22번) — 7문항

1번 하 함수의 몫의 미분법, 2번 하 매개변수로 나타낸 함수의 미분법, 4번 중 음함수의 미분법, 9번 하 역함수의 미분법, 13번 중 합성함수의 미분법; (f∘g)(x) 꼴, 18번 상 역함수의 미분법의 응용, 22번 중(서술형) 합성함수의 미분법; f(g(x))=h(x) 꼴.

1·2·9번은 공식 그대로입니다. 2번은 x, y를 각각 t로 미분해 t=1에서의 dy/dx를 구하고, 9번은 f′이 0이 아닌 점에서 역함수의 미분계수를 구합니다.

4번은 점이 곡선 위에 있는지 먼저 확인한 뒤 음함수 미분식으로 기울기를 구합니다.

13번은 합성함수를 미분해 접점에서의 두 값을 구하고, (x−1)²으로 나눈 나머지 조건과 연결하는 문항입니다. 나머지 정리와 미분을 함께 써야 합니다.

18번(상) 은 역함수 미분의 응용입니다. 분석표 근거에 따르면 x<0 쪽은 삼차함수, 오른쪽은 로그가 들어간 함수로 이어진 구조입니다. 음수 쪽 삼차함수가 음의 무한대로 간다는 점에서 로그 부분 계수의 부호를 정하는 것이 출발점입니다.

22번(서술형) 은 f(g(x))=h(x) 꼴에서 f(0)과 f′(0)을 구하는 문항입니다. f′(0)=0으로 가정하면 조건에 모순이 생긴다는 논리를 써야 해서, 경우를 배제하는 과정을 답안에 적는 연습이 필요합니다.

2. 치환적분법과 부분적분법 (6·7·10·12·14·16·21번) — 7문항

6번 중 치환적분법; 삼각함수, 7번 중 치환적분법을 이용한 정적분; 삼각함수, 10번 중 부분적분법을 이용한 정적분; 한 번 이용하는 경우, 12번 중 치환적분법을 이용한 정적분; 지수함수, 로그함수, 14번 중상 치환적분법; 무리함수, 16번 중상 치환적분법; 삼각함수, 21번 중(서술형) 부분적분법; 한 번 이용하는 경우.

6번은 부정적분을 구한 뒤 주어진 값으로 적분상수를 정하는 문항입니다. 적분상수를 빠뜨리면 바로 오답입니다.

7번은 sin을 포함한 식을 통째로 치환해 정적분을 구합니다. 치환 후 적분 구간을 바꾸는 것을 잊지 마세요.

10번은 부분적분으로 구한 값을 여러 항에 대해 더하는 문항입니다.

14번(중상) 은 극한이 존재한다는 조건에서 f(0)을 정하고, 미분계수의 정의로 f′(0)을 구한 뒤 치환적분으로 이어집니다. 극한·미분·적분이 한 문항에 모두 들어 있습니다.

16번(중상) 은 f(x)+f(−x)를 미분해 부호를 따지는 문항입니다. 같은 삼각함수 치환이지만 6번보다 한 단계 더 생각해야 합니다.

21번(서술형) 은 항등식 양변을 미분해 xf′(x)를 구하고, 로그 함수의 부분적분과 초기값으로 마무리합니다. 서술형이니 미분 → 부분적분 → 초기값 순서가 답안에 드러나게 쓰세요.

3. 도함수의 활용 (1) (5·8·11·15·20번) — 5문항

5번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 8번 중 이계도함수, 11번 중상 곡선 밖의 한 점에서 곡선에 그은 접선의 개수, 15번 중상 구간에서의 최솟값 함수 g(a)의 미분, 20번 중상 같은 유형.

5번은 sec·csc가 들어간 함수를 합성함수 미분으로 처리해 접선을 구합니다.

8번은 미분계수의 정의로 표현된 극한이 이계도함수임을 알아보고, 근호와 로그 두 항을 각각 두 번 미분합니다.

11번(중상) 은 접점을 미지수로 놓고 만든 방정식이 서로 다른 실근을 몇 개 갖는지로 접선 개수를 셉니다. 판별식 조건을 엄격하게 따져야 합니다.

15·20번은 g(a) 유형입니다. 15번은 x<0과 x≥0에서 함수의 모양이 달라 경우를 나누고, 20번은 특정 구간에서 부호가 바뀐 뒤 증가하는 구조를 이용합니다.

4. 도함수의 활용 (2) (3·17·19번) — 3문항

3번 중 평면 위를 움직이는 점의 속도, 17번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 상 지수함수의 최대·최소.

3번은 속도를 구해 속력 조건으로 시각을 하나로 정하고, 그 시각의 위치를 구합니다.

19번(상) 은 두 극점 사이 거리가 2√2로, 움직이는 구간의 폭 2보다 크다는 점이 핵심입니다. 구간이 극대점을 포함하는지 아닌지로 최댓값이 달라지므로 경우를 나눠야 합니다.

주의 문항 — 상 2, 중상 6

11번 중상 (접선의 개수) — 접점 방정식의 실근 개수 판정.

14번 중상 (치환적분법; 무리함수) — 극한 조건으로 상수부터 정해야 합니다.

15번·20번 중상 (최솟값 함수 g(a)) — 같은 유형 두 문항. 경우 나누기가 핵심입니다.

16번 중상 (치환적분법; 삼각함수) — f(x)+f(−x)의 미분 부호를 이용합니다.

17번 중상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 도함수의 활용 (2)의 대표 유형입니다.

18번 상 (역함수의 미분법의 응용) — 두 함수를 이어 붙인 구조에서 계수 부호 결정.

19번 상 (지수함수의 최대·최소) — 극점 간 거리와 구간 폭 비교.

용호고 고3 1학기 기말 미적분 대비 학습 순서

1. 몫·매개변수·역함수 미분 공식 — 1·2·9번 대비. 확보 구간.
2. 음함수 미분 — 4번 대비.
3. 합성함수 미분과 나머지 정리 연결 — 13·22번 대비.
4. sec·csc 미분과 접선 — 5번 대비.
5. 이계도함수와 미분계수의 정의 — 8번 대비.
6. ★ 삼각함수 치환적분(적분상수·구간 변환) — 6·7·16번 대비.
7. 지수·로그 치환적분, 무리함수 치환 — 12·14번 대비.
8. 부분적분 한 번 쓰기 — 10·21번 대비. 서술형 답안 순서까지.
9. 평면 운동의 속도·속력 — 3번 대비.
10. ★ 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 — 11번 대비.
11. ★ 최솟값 함수 g(a) — 15·20번 대비. 두 문항이 걸려 있습니다.
12. 실근의 개수와 그래프 개형 — 17번 대비.
13. 역함수 존재 조건(이어 붙인 함수) — 18번 대비.
14. 움직이는 구간에서의 최대·최소 — 19번 대비.

자주 나오는 질문

용호고 3학년 1학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~20번은 선택형, 21·22번은 풀이 과정을 쓰는 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 여러 가지 미분법과 치환적분법과 부분적분법이 각 7문항입니다. 도함수의 활용 (1)이 5문항, 도함수의 활용 (2)가 3문항입니다.

정적분의 활용(넓이, 부피)은 안 나왔나요?

2025학년 이 시험지에는 정적분의 활용으로 분류된 문항이 없습니다. 적분은 치환적분법과 부분적분법 단원 7문항이 전부입니다.

킬러 문항은 몇 번인가요?

상 난이도는 18번(역함수의 미분법의 응용)과 19번(지수함수의 최대·최소) 입니다. 중상은 11·14·15·16·17·20번 여섯 문항입니다.

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