동화고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
동화고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항, 100점 만점입니다. 이 시험은 하 난이도가 한 문항도 없고, 중상이 11문항으로 절반을 넘습니다. 상 난이도도 없어서 전 문항이 중과 중상 두 단계에 몰려 있는, 고르게 어려운 시험입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~16번은 선택형(75점), 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태(25점)
- 난이도: 하 0 / 중 9 / 중상 11 / 상 0
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2
- 반복 유형: 정적분을 포함한 등식 2회(8·12번), 두 그래프의 교점의 개수 2회(11·20번)
- 최고 배점: 20번 8점, 19번 7점
동화고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
동화고등학교는 경기 남양주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
출제 범위는 미분 후반(도함수의 활용)과 적분 전체(부정적분·정적분·정적분의 활용)입니다. 배치 단원으로 세면 도함수의 활용 10문항, 적분 10문항으로 정확히 반반입니다.
배점은 분석표 기준 합계 100점입니다. 1~3번 3.5점, 4·5번 4점, 6~13번 5점, 14~16번 5.5점이고, 답을 직접 쓰는 17·18번 5점, 19번 7점, 20번 8점입니다. 선택형 16문항이 75점, 뒤의 네 문항이 25점입니다. 마지막 두 문항만으로 15점이라는 점을 기억해 두세요.
2025학년 난이도 분포 — 하 0, 중상 11
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 9 | 45% | 1·2·3·4·5·6·7·9·14 |
| 중상 | 11 | 55% | 8·10·11·12·13·15~20 |
| 상 | 0 | 0% | — |
1~7번은 전부 중입니다. 어렵지는 않지만 "공식 하나로 끝나는" 하 난이도 문항이 없어서, 첫 문항부터 두 단계 이상 생각해야 합니다.
8번부터는 9번과 14번을 빼고 모두 중상입니다. 특히 15번부터 20번까지 여섯 문항이 연속으로 중상이고, 그중 네 문항(17~20번)이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 선택지로 검산할 수 없는 중상 문항이 마지막에 몰려 있으니 앞에서 시간을 아껴 두는 것이 필수입니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3)이 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 3·10·11·15·17·20 |
| 08 정적분 | 5 | 1·6·8·12·14 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 2·5·7·16 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 4·13·18 |
| 07 부정적분 | 2 | 9·19 |
가장 많이 나온 단원은 06 도함수의 활용 (3) 6문항입니다. 방정식·부등식에의 활용, 속도와 가속도가 들어 있는 단원이고, 이 여섯 문항 중 3번을 뺀 다섯 문항(10·11·15·17·20번)이 중상입니다. 최고 배점 20번(8점)도 여기서 나왔습니다. 이 시험의 무게중심은 도함수의 활용 (3) 입니다.
적분 쪽은 08 정적분 5문항이 중심입니다. 정적분을 포함한 등식(8·12번)이 둘 다 중상이고, 부정적분 단원의 19번(7점)도 중상입니다.
반복 유형 — 교점의 개수와 정적분을 포함한 등식
20문항에 쓰인 핵심 유형은 18개이고, 두 번 나온 유형이 두 개입니다.
- 두 그래프의 교점의 개수 — 11번(중상, 5점), 20번(중상, 8점)
- 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 8번(중상), 12번(중상)
두 유형 모두 두 번 다 중상입니다. 교점의 개수 유형은 선택형 11번과 마지막 20번에 걸쳐 13점이 걸려 있습니다. 여기에 같은 단원의 15번 삼차방정식의 근의 판별, 17번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수까지 더하면, 그래프 개형으로 근의 개수를 세는 문항이 네 개입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (3) (3·10·11·15·17·20번) — 6문항
3번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도, 10번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 증가·감소의 활용, 11번 중상 두 그래프의 교점의 개수, 15번 중상 삼차방정식의 근의 판별, 17번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 중상 두 그래프의 교점의 개수.
3번은 지면에 다시 도달하는 시각을 구할 때 던진 순간(t=0)을 제외하는 것이 포인트입니다. 그 시각을 속도 식에 넣어 답을 구합니다.
10번은 x=0 양옆에서 부호가 바뀌지 않아야 한다는 조건에서 계수 사이의 관계를 먼저 끌어내는 문항입니다.
11번은 교점 개수를 정리한 표에서 두 극솟값이 같은 높이라는 구조를 읽어내야 합니다.
15번은 삼차방정식이 중근을 가질 때 그 점이 극대인지 극소인지 경우를 모두 나눠야 합니다.
17번은 절댓값이 들어간 방정식을 f(x)=n과 f(x)=−n 두 식으로 나눠 실근을 셉니다.
20번(8점) 은 우변이 0 이상이어야 한다는 범위를 먼저 적용한 뒤, 매개변수의 값마다 교점 개수를 확인합니다. 답을 직접 쓰는 문항이라 경우 하나를 빠뜨리면 8점이 사라집니다.
2. 정적분 (1·6·8·12·14번) — 5문항
1번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 6번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 8번 중상 정적분을 포함한 등식, 12번 중상 같은 유형, 14번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우.
1번은 절댓값 안의 부호가 바뀌는 점에서 구간을 나눠 두 정적분을 따로 계산합니다.
6번은 극한의 분모가 0으로 가므로 분자도 0이 되어야 한다는 조건을 먼저 세우는 문항입니다.
8번은 적분식을 미분할 때 xf(x) 항 두 개가 서로 지워지는 것을 확인하고, 아래끝을 대입해 적분값이 0이 되는 조건을 씁니다. 12번은 정적분으로 정의된 함수를 미분해 도함수의 부호 조건을 세우고, 이차식이 항상 0 이상일 조건으로 마무리합니다.
14번은 f(x)−f(−x)가 기함수라는 점에서 대칭 구간 적분값이 0이 되는 성질을 씁니다.
3. 도함수의 활용 (2) (2·5·7·16번) — 4문항
2번 중 함수의 극대·극소, 5번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 7번 중 함수의 최대·최소, 16번 중상 함수의 극대·극소의 활용.
5번은 역함수가 존재하려면 삼차함수가 실수 전체에서 증가(또는 감소)해야 한다는 조건으로 바꾸는 문항입니다. 도함수가 0이 되는 점이 하나 있어도 증가일 수 있다는 점을 놓치지 마세요.
7번은 도함수 조건으로 세 계수를 정한 뒤, 닫힌구간의 끝점과 극값을 모두 비교해 최대·최소를 찾습니다.
16번(중상) 은 연속성과 극한 조건으로 상수항과 최고차항의 계수를 먼저 정하는 문항입니다.
4. 정적분의 활용 (4·13·18번) — 3문항
4번 중 두 곡선 사이의 넓이, 13번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 18번 중상 위치와 위치의 변화량.
13번은 증가함수와 그 역함수의 교점이 y=x 위에 있다는 성질에서 출발합니다. 넓이를 직접 구하기 어려울 때 대칭으로 옮겨 계산하는 유형입니다.
18번은 속도를 적분해 위치를 구한 뒤, 극대·극소의 부호에 따라 경우를 나눕니다.
5. 부정적분 (9·19번) — 2문항
9번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 19번 중상(7점) 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기.
9번은 양변을 미분해 등식을 세우고, 다항함수의 최고차수부터 확정하는 순서입니다.
19번은 곱의 미분 꼴을 적분한 뒤 적분상수를 x=0에서 결정하고, 접점이 중근이라는 조건으로 이어집니다.
주의 문항 — 중상 11문항
8·12번 (정적분을 포함한 등식) — 미분 후 소거·대입 순서를 정확히.
10번 (부등식이 항상 성립할 조건) — 부호 조건에서 계수 관계 끌어내기.
11·20번 (두 그래프의 교점의 개수) — 13점이 걸린 반복 유형.
13번 (역함수 대칭 넓이) — y=x 대칭 활용.
15번 (삼차방정식의 근의 판별) — 극대·극소 경우 나누기.
16번 (극대·극소의 활용) — 극한 조건으로 계수 정하기.
17·18·19번 (답 직접 쓰기) — 실근 개수, 위치, 부정적분. 19번은 7점.
동화고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 절댓값 함수의 정적분 — 1번 대비.
- 극대·극소와 최대·최소 기본 — 2·7번 대비. 끝점 비교 습관.
- 위로 던진 물체의 운동 — 3번 대비.
- 두 곡선 사이의 넓이 — 4번 대비.
- 삼차함수가 증가할 조건 — 5번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 6번 대비.
- 부정적분과 미분의 관계 — 9·19번 대비. 적분상수 결정까지.
- 우함수·기함수의 정적분 — 14번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식 — 8·12번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 10번 대비.
- ★ 교점·실근의 개수와 그래프 개형 — 11·15·17·20번 대비. 이 시험의 핵심.
- 함수와 역함수의 넓이 — 13번 대비.
- 극대·극소의 활용(극한 조건) — 16번 대비.
- 속도와 위치의 변화량 — 18번 대비.
자주 나오는 질문
동화고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항, 100점 만점입니다. 1~16번은 선택형(75점), 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태(25점)입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많습니다. 정적분 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항, 정적분의 활용 3문항, 부정적분 2문항 순입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 11문항이고, 15~20번이 연속으로 중상입니다. 배점이 가장 큰 문항은 20번(8점), 19번(7점)입니다.
쉬운 문항은 몇 개인가요?
하 난이도는 0문항입니다. 1~7번이 모두 중 난이도라, 첫 문항부터 두 단계 이상의 풀이가 필요합니다.
과년도 동화고 기출도 볼 수 있나요?
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