양운고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)

양운고 2학년 2학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험은 적분 시험이라고 봐도 됩니다. 20문항 중 15문항이 적분 단원(여러 가지 함수의 적분법 · 치환적분법과 부분적분법 · 정적분의 활용)이고, 그중 정적분의 활용만 7문항입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~16번 선택형, 17~20번 서술형 4문항
• 난이도: 하 3 / 중 11 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 10 정적분의 활용 7 / 07 도함수의 활용 (2) 5 / 09 치환적분법과 부분적분법 5 / 08 여러 가지 함수의 적분법 3
• 유일한 상: 13번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수
• 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 2회(13·16번), 부분적분법을 이용한 정적분 2회(8·18번)

양운고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

양운고등학교는 부산광역시 해운대구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17~20번은 서술형입니다.

배치 단원으로 세면 도함수의 활용 (2) 5문항, 적분 15문항입니다. 적분 쪽은 기본 적분 3문항, 치환·부분적분 5문항, 정적분의 활용 7문항으로 이어집니다. 적분 계산을 빠르고 정확하게 하는 힘이 점수의 대부분을 결정합니다.

다만 유일한 상 문항(13번)은 미분 파트에 있습니다. 문항 수는 적분이 많고, 가장 어려운 문항은 미분에 있는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 11, 상 1

1~3번 하 난이도 세 문항은 공식을 한 번 적용하면 끝납니다. 1번은 1/x의 정적분으로 로그가 나오는 계산, 2번은 지수함수의 정적분, 3번은 이계도함수의 부호로 곡선이 위로 볼록·아래로 볼록인 구간을 판정하는 문항입니다.

중상 5문항 중 3문항이 서술형(17·19·20번) 입니다. 서술형 네 문항 중 18번만 중이고 나머지는 모두 중상입니다. 서술형 구간이 이 시험의 실질적인 고비입니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항

정적분의 활용이 7문항으로 최다입니다. 급수의 합과 정적분(4번), 곡선의 길이(5번), 평면 위에서 점이 움직인 거리(10번), 두 곡선 사이의 넓이(11번), 입체도형의 부피(12번)까지 교과서 소단원을 거의 한 번씩 다 훑습니다. 서술형 19·20번도 이 단원입니다.

참고로 20번 서술형은 앞부분에 함수가 감소함을 보이는 과정이 들어 있습니다. 분석표는 이 부분을 범위 표지 밖(도함수의 활용 앞 단원) 내용으로 기록했습니다. 증가·감소 판정은 앞 단원 내용이라도 함께 복습해 두는 편이 맞습니다.

반복 유형 — 실근의 개수와 부분적분

방정식 f(x)=k의 실근의 개수 (13·16번) — 상 1, 중상 1

이 시험에서 가장 어려운 두 문항이 같은 유형입니다.

• 13번 상 — 연속 조건으로 삼차함수의 영점을 정하고, 극대 조건으로 계수를 결정한 뒤, 극값의 높이에 따라 교점 수를 판정하는 4단계 문항입니다.
• 16번 중상 — 교점 수가 바뀌는 임계 높이가 두 개가 되는 조건을 세우고, 정수 조건으로 계수를 정한 뒤 교점 수를 계산합니다.

두 문항 모두 y=f(x)의 그래프와 직선 y=k가 만나는 점의 개수로 바꿔 생각하는 것이 출발점입니다. 그래프를 그리려면 증가·감소, 극값, 양 끝의 극한을 모두 확인해야 합니다. 하나라도 빠지면 교점 수가 틀립니다.

부분적분법을 이용한 정적분 (8·18번)

8번 중은 주어진 도함수와 초기조건으로 함수를 정한 뒤, 두 적분을 부분적분과 치환으로 계산합니다. 18번 중·서술형은 로그함수의 최댓값 문제와 결합돼 있습니다. 구간에 따라 최댓값이 바뀌는 경계점을 정하고, 두 구간으로 나눠 적분합니다.

부분적분은 어느 쪽을 미분하고 어느 쪽을 적분할지를 정하는 순간 승부가 납니다. 로그가 있으면 로그를 미분하는 쪽으로 두는 것이 기본입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 기본 적분 (1·2·6번) — 3문항

1번 하 함수 y=xⁿ의 정적분, 2번 하 지수함수의 정적분, 6번 중 부정적분을 포함한 등식에서 함수 구하기.

6번은 부정적분이 들어 있는 등식을 양변 미분해서 도함수를 구하고, 초기조건으로 적분상수를 정하는 문항입니다.

2. 치환적분 (7·14·15번) — 3문항, 전부 중

7번 치환적분법을 이용한 정적분(삼각함수), 14번 방정식 f(x)=g(x)의 실근의 개수 · 유리함수의 부정적분, 15번 치환적분법을 이용한 정적분(유리함수, 무리함수).

• 7번은 tan x 를 치환해 다항식 적분으로 바꿉니다. 적분 구간도 함께 바꾸는 것을 잊지 마세요.
• 14번은 로그 곡선과 직선이 접하는 조건으로 교점이 두 개인 경우를 정한 뒤, 매개변수 함수를 대입해 유리함수 정적분을 계산합니다.
• 15번은 역함수의 정의역을 정하고, 역함수의 미분과 부분적분을 함께 써서 정적분을 구합니다.

3. 도함수의 활용 (3·9·13·16·17번) — 5문항

3번 하 곡선의 오목과 볼록, 9번 중 평면 위를 움직이는 점의 가속도, 13번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 17번 중상·서술형 변곡점을 이용한 미정계수의 결정.

9번은 두 좌표를 두 번 미분해 가속도의 크기를 구하고, 삼각방정식에서 처음으로 나오는 양수 해를 고릅니다. 조건에 맞는 해 중 가장 작은 것을 골라야 합니다.

17번 서술형은 변곡점 조건과 극대 조건으로 두 계수를 정하고, 도함수 부호 변화로 극소점을 확인해 극솟값을 구합니다. f''(x)=0 만으로 변곡점이라고 쓰지 말고 부호 변화까지 확인하는 것이 서술형 감점을 막습니다.

4. 정적분의 활용 (4·5·10·11·12·19·20번) — 7문항

4번 중 정적분과 급수의 합 사이의 관계, 5번 중 곡선의 길이, 10번 중상 평면 위에서 점이 움직인 거리, 11번 중 두 곡선 사이의 넓이, 12번 중 입체도형의 부피(단면이 밑면과 수직), 19번 중상·서술형 직선 위를 움직이는 점의 속도와 가속도 · 움직인 거리, 20번 중상·서술형 함수가 감소하기 위한 조건 · 곡선과 직선 사이의 넓이.

• 4번은 시그마 합을 구분구적법으로 정적분으로 바꿉니다. 합의 범위에서 적분 구간을 정확히 읽는 것이 핵심입니다.
• 5번은 곡선 길이 공식의 근호 안이 완전제곱으로 정리되는 구조입니다.
• 10번은 두 교점의 중점 좌표를 근과 계수의 관계로 정하고, 중점의 속력을 완전제곱으로 정리해 적분합니다.
• 12번은 단면이 반원인 입체로, 단면적을 구한 뒤 로그의 제곱을 적분합니다(부분적분이 필요합니다).
• 19번은 직각이등변삼각형 조건으로 좌표 관계를 세우고, 위치와 속도를 계산한 뒤 이동 거리를 구합니다.
• 20번은 함수가 감소함을 보이고, 곡선과 직선의 교점이 두 개임을 판정한 뒤, 넓이를 미분해 최소 조건을 찾는 3단계 서술형입니다.

주의 문항 — 상 1문항과 서술형

13번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 이 시험 유일한 상입니다. 그래프 개형을 정확히 그리는 데서 시작해 4단계로 이어집니다.

16번 중상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 13번과 같은 유형이라 13번에서 막히면 16번도 흔들립니다. 같은 도구를 두 번 쓰는 셈이니 한 번 확실히 익혀 두면 두 문항이 열립니다.

17·19·20번 중상·서술형 — 서술형 네 문항 중 세 문항이 중상입니다. 특히 20번은 감소 증명 · 교점 판정 · 넓이 최소를 모두 써야 하는 최다 서술 문항입니다.

양운고 고2 2학기 기말 미적분 대비 학습 순서

1. 1/x, 지수함수의 정적분 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 이계도함수와 오목·볼록 — 3번 대비. 확보 구간.
3. 부정적분을 포함한 등식 — 6번 대비. 양변 미분.
4. 치환적분(삼각함수, 유리·무리함수) — 7·14·15번 대비.
5. 부분적분 — 8·12·18번 대비. 로그는 미분하는 쪽으로.
6. 평면 운동의 속도·가속도 — 9번 대비.
7. ★ 그래프 개형과 f(x)=k의 실근 개수 — 13·16번 대비. 상·중상 두 문항.
8. 변곡점과 극값 조건으로 계수 결정 — 17번 서술형 대비.
9. 구분구적법(급수 → 정적분) — 4번 대비.
10. 곡선의 길이, 움직인 거리 — 5·10번 대비. 완전제곱 정리.
11. 넓이와 부피 — 11·12번 대비.
12. ★ 넓이를 함수로 놓고 미분해 최소 찾기 — 20번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

양운고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (2) 5문항, 치환적분법과 부분적분법 5문항, 여러 가지 함수의 적분법 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 13번 한 문항입니다. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 묻고, 같은 유형이 16번 중상으로 한 번 더 나옵니다.

서술형은 어렵나요?

서술형 네 문항 중 17·19·20번 세 문항이 중상이고 18번이 중입니다. 선택형보다 서술형 구간의 난도가 높은 시험입니다.

과년도 양운고 기출도 볼 수 있나요?

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