부산 금정구 남산고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
남산고 2학년 2학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험의 첫 번째 특징은 서술형이 8문항(13~20번) 으로 많다는 점입니다. 두 번째 특징은 난이도 분포가 극단적으로 고르다는 점입니다. 20문항 중 19문항이 중, 1문항만 중상입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~12번 선택형, 13~20번 서술형 8문항
- 난이도: 하 0 / 중 19 / 중상 1 / 상 0
- 배치 단원: 10 정적분의 활용 7 / 07 도함수의 활용 (2) 5 / 09 치환적분법과 부분적분법 5 / 06 도함수의 활용 (1) 2 / 02 급수 1
- 반복 유형: 부분적분법 3회(12·18·20번), 곡선의 길이 2회(14·19번), 정적분과 급수의 합 2회(4·15번)
- 유일한 중상: 17번 서술형(로그함수의 극대·극소와 변곡점)
남산고 고2 2학기 기말 미적분은 어떤 시험인가
남산고등학교는 부산 금정구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~12번이 선택형, 13~20번이 서술형입니다. 시험의 절반 가까이를 직접 써야 하는 구조입니다.
단원은 미분 파트(도함수의 활용) 7문항, 적분 파트(치환적분·부분적분·정적분의 활용) 12문항, 그리고 급수 1문항(11번) 입니다. 11번은 미분·적분이 아닌 급수 단원에서 나온 등비급수의 도형 활용 문항이라, 미분·적분만 정리했다면 낯설게 느낄 수 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 19문항, 중상 1문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 19 | 95% | 1~16·18·19·20 |
| 중상 | 1 | 5% | 17 |
| 상 | 0 | 0% | — |
하 난이도가 한 문항도 없고, 상도 없습니다. 거의 모든 문항이 "중" 한 구간에 몰려 있습니다. 쉬운 문항으로 시간을 버는 구간이 없다는 뜻이고, 동시에 손도 못 댈 문항도 없다는 뜻입니다.
이런 시험에서는 실수 하나가 그대로 등수 차이가 됩니다. 특히 서술형이 8문항이라 풀이 과정 감점까지 생각하면 계산 정확도가 성적을 가릅니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 10 정적분의 활용 | 7 | 4·5·7·13·14·15·19 |
| 07 도함수의 활용 (2) | 5 | 2·3·9·16·17 |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 5 | 6·10·12·18·20 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 2 | 1·8 |
| 02 급수 | 1 | 11 |
정적분의 활용이 7문항(35%)으로 최다입니다. 그리고 이 7문항 중 4문항(13·14·15·19번)이 서술형입니다. 넓이, 부피, 곡선의 길이, 정적분과 급수의 관계까지 정적분의 활용 단원 전체를 고르게 물었습니다.
치환적분법과 부분적분법 5문항 중에서도 18·20번이 서술형입니다. 서술형 8문항 중 6문항이 적분 파트라는 점을 기억해 두세요.
시그니처 유형 — 부분적분과 곡선의 길이
부분적분법이 12·18·20번 세 문항에서 쓰였습니다. 12번은 부분적분을 두 번 쓰는 정적분이 보기 판정 속에 들어간 선택형이고, 18·20번은 부분적분을 한 번 쓰는 서술형입니다.
곡선의 길이는 두 번 나왔습니다. 14번은 곡선 y=f(x)의 길이, 19번은 매개변수로 나타낸 곡선 x=f(t), y=g(t)의 길이입니다. 둘 다 서술형입니다. 두 공식의 형태를 구분해서 외워 두는 것이 이 시험의 기본 준비물입니다.
정적분과 급수의 합 사이의 관계도 4번(선택형)과 15번(서술형) 두 번 나왔습니다. 리만 합을 정적분으로 바꿀 때 분할 폭과 적분 구간을 정확히 대응시키는 연습이 필요합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분의 활용 (4·5·7·13·14·15·19번) — 7문항
4번 중 정적분과 급수의 합 사이의 관계(합의 꼴), 5번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 7번 중 입체도형의 부피(단면이 밑면과 평행한 경우), 13번 중(서술형) 곡선과 x축 사이의 넓이(응용), 14번 중(서술형) 곡선 y=f(x)의 길이, 15번 중(서술형) 정적분과 급수의 합의 활용, 19번 중(서술형) 곡선 x=f(t), y=g(t)의 길이.
4번은 리만 합의 분할 폭과 치환한 적분 구간을 선지마다 대조하는 문항입니다. 선지 다섯 개를 하나씩 검증해야 해서 시간이 걸립니다.
7번 부피 문항은 단면이 정삼각형인 입체의 부피를 구하는 문항이고, 적분 과정에서 로그 치환이 들어갑니다.
13번은 반복되는 도형의 넓이로 일반항을 만들고 유한 합을 계산하는 서술형입니다.
2. 도함수의 활용 (2) (2·3·9·16·17번) — 5문항
2번 중 변곡점을 이용한 미정계수의 결정, 3번 중 평면 위를 움직이는 점의 속도, 9번 중 부등식이 성립하도록 하는 미정계수의 결정(f(x)≥a 꼴), 16번 중(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 17번 중상(서술형) 로그함수의 극대·극소 / 변곡점.
17번이 이 시험의 유일한 중상입니다. 일계도함수로 극대점과 증감을, 이계도함수로 변곡점과 오목·볼록을 구한 뒤 증감표와 그래프 개형까지 서술하는 문항입니다. 단계가 많아 과정 점수를 잃기 쉽습니다.
2번은 이계도함수의 부호가 바뀌는지 따지는 문항입니다. 변곡점은 이계도함수가 0인 곳이 아니라 부호가 바뀌는 곳이라는 정의를 정확히 써야 합니다.
3. 치환적분법과 부분적분법 (6·10·12·18·20번) — 5문항
6번 중 삼각함수를 이용한 치환적분법, 10번 중 정적분을 포함한 등식(끝이 상수), 12번 중 함수의 그래프의 성질 + 부분적분법(두 번), 18번 중(서술형) 부분적분법(한 번), 20번 중(서술형) 부분적분법(한 번).
6번은 탄젠트 치환과 사인 치환을 각각 써서 두 정적분을 구한 뒤 더하는 문항입니다. 치환할 때 적분 구간도 함께 바꾸는 것을 잊지 마세요.
12번은 ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기 문항입니다. 극값과 오목·볼록 판정, 지수·삼각함수 곱의 정적분이 보기마다 따로 들어 있어 미분과 적분을 동시에 점검합니다.
18번은 부분적분으로 적분 사이의 관계식을 만들어 쓰는 서술형이고, 20번은 극한과 함숫값으로 계수를 정한 뒤 역함수의 적분까지 연결되는 서술형입니다.
4. 도함수의 활용 (1) (1·8번) — 2문항
1번 중 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우), 8번 중 지수함수의 극대·극소. 8번은 절댓값이 들어간 함수라 미분 가능하지 않은 점에서 생기는 극값도 함께 세야 합니다.
5. 급수 (11번) — 1문항
11번 중 등비급수의 도형에의 활용(넓이). 접선의 x절편으로 반복되는 간격을 찾고, 삼각형 넓이를 등비급수로 더하는 문항입니다.
서술형 8문항 한눈에 보기
| 번호 | 난이도 | 배치 단원 | 유형 |
|---|---|---|---|
| 13 | 중 | 정적분의 활용 | 곡선과 x축 사이의 넓이(응용) |
| 14 | 중 | 정적분의 활용 | 곡선 y=f(x)의 길이 |
| 15 | 중 | 정적분의 활용 | 정적분과 급수의 합의 활용 |
| 16 | 중 | 도함수의 활용 (2) | 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 |
| 17 | 중상 | 도함수의 활용 (2) | 로그함수의 극대·극소 / 변곡점 |
| 18 | 중 | 치환적분법과 부분적분법 | 부분적분법(한 번) |
| 19 | 중 | 정적분의 활용 | 곡선 x=f(t), y=g(t)의 길이 |
| 20 | 중 | 치환적분법과 부분적분법 | 부분적분법(한 번) |
서술형만 봐도 적분 6문항, 미분 2문항입니다. 남산고 서술형 대비는 적분 계산 과정을 깔끔하게 쓰는 연습에서 시작하는 편이 효율적입니다.
남산고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 접선의 방정식과 극대·극소 — 1·8번 대비. 절댓값 함수의 극값 포함.
- ★ 변곡점과 이계도함수의 부호 — 2·17번 대비. 17번은 유일한 중상.
- 평면 운동의 속도·가속도 — 3번 대비.
- 부등식과 실근의 개수 — 9·16번 대비.
- 삼각치환 — 6번 대비. 구간 변환까지.
- ★ 부분적분 한 번·두 번 — 12·18·20번 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 10번 대비.
- ★ 정적분과 급수의 합 — 4·15번 대비. 분할 폭과 구간 대응.
- 넓이와 부피 — 5·7·13번 대비.
- ★ 곡선의 길이 두 공식 — 14·19번 대비.
- 등비급수의 도형 활용 — 11번 대비. 급수 단원 복습.
자주 나오는 질문
남산고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~12번은 선택형, 13~20번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 10 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 07 도함수의 활용 (2) 5문항, 09 치환적분법과 부분적분법 5문항, 06 도함수의 활용 (1) 2문항, 02 급수 1문항입니다.
어려운 문항이 많나요?
하와 상이 모두 0문항이고, 중 19문항·중상 1문항입니다. 극단적으로 어려운 문항은 없지만 쉬운 문항도 없습니다. 유일한 중상은 17번 서술형입니다.
서술형은 몇 문항인가요?
8문항(13~20번) 입니다. 그중 6문항이 적분 파트입니다.
과년도 남산고 기출도 볼 수 있나요?
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