동인고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025)
동인고 2학년 2학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 18문항입니다. 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지가 범위이고, 중상 9문항 + 상 1문항으로 절반 이상이 중상 이상입니다. 하 난이도는 1번 하나뿐입니다. 쉬운 문항으로 점수를 쌓기 어려운, 처음부터 끝까지 손이 많이 가는 시험입니다.
핵심 요약
- 18문항 — 1~8번 선택형, 9~18번 10문항은 답을 직접 쓰는 서답형
- 난이도: 하 1 / 중 7 / 중상 9 / 상 1
- 배치 단원: 정적분의 활용 7 / 치환적분법과 부분적분법 5 / 도함수의 활용 (2) 3 / 도함수의 활용 (1) 2 / 여러 가지 미분법 1
- 반복 유형: 정적분과 급수의 합 사이의 관계 2회(10·17번), 치환적분법(지수·로그) 2회(1·8번), 평면 위를 움직이는 점의 속도 2회(6·14번)
- 상 1문항: 8번(치환적분, 4단계)
동인고 고2 2학기 기말 미적분은 어떤 시험인가
동인고등학교는 부산 동래구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 총 18문항이고, 정답 기록상 1~8번은 선택형, 9~18번 10문항은 서답형입니다. 문항 수로는 서답형이 선택형보다 많습니다.
배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2) → 치환적분법과 부분적분법 → 정적분의 활용 이 중심입니다. 분석표 범위 라벨은 "접선 ~ 정적분의 활용"이고 실제 배치와 대체로 맞습니다. 다만 4번 한 문항은 그 이전 단원인 여러 가지 미분법(음함수의 미분법) 으로 분류돼 있습니다.
적분 쪽(09·10 단원)이 12문항, 미분 쪽(05~07 단원)이 6문항입니다. 기말 범위의 무게가 확실히 적분에 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 10문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 6% | 1 |
| 중 | 7 | 39% | 2·3·4·9·10·11·16 |
| 중상 | 9 | 50% | 5·6·7·12·13·14·15·17·18 |
| 상 | 1 | 6% | 8 |
선택형 1~8번 중 5~8번 네 문항이 연속으로 중상 이상입니다. 선택형 후반이 이 시험의 가장 무거운 구간입니다.
서답형 10문항 중 6문항이 중상입니다(12·13·14·15·17·18번). 서답형에서 중 난이도는 9·10·11·16번 네 문항입니다. 시간이 부족하면 서답형 중 난이도 네 문항을 먼저 확보하는 것이 현실적인 순서입니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 10 정적분의 활용 | 7 | 5·6·10·11·13·17·18 |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 5 | 1·3·7·8·15 |
| 07 도함수의 활용 (2) | 3 | 2·14·16 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 2 | 9·12 |
| 05 여러 가지 미분법 | 1 | 4 |
정적분의 활용 7문항 중 5문항이 중상입니다(5·6·13·17·18번). 넓이·부피·속도와 거리·곡선의 길이·급수의 합까지, 정적분의 활용 단원의 거의 모든 소주제가 나왔습니다.
반복 유형 세 쌍
정적분과 급수의 합 사이의 관계 (10·17번) — 10번은 리만합을 정적분으로 바꾼 뒤 탄젠트 치환으로 값을 구하는 중 난이도, 17번은 도형에서 일반항을 만든 뒤 같은 방식으로 극한을 구하는 중상 서답형입니다. 5번(정적분과 급수의 합의 활용, 중상)까지 합치면 급수와 정적분을 잇는 문항이 세 개입니다.
치환적분법 — 지수·로그함수 (1·8번) — 1번은 로그 치환으로 바로 끝나는 하 난이도, 8번은 같은 유형이 4단계로 확장된 이 시험 유일의 상 난이도입니다.
평면 위를 움직이는 점의 속도 (6·14번) — 6번은 미끄러지지 않고 굴러가는 원 위의 점, 14번은 사분원 위를 움직이는 점입니다. 둘 다 중상입니다.
단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)
1. 미분 단원 (2·4·9·12·14·16번) — 6문항
2번 중 변곡점 — 이계도함수로 두 변곡점을 구하고, 그 점에서의 접선 기울기의 곱을 계산합니다.
4번 중 음함수의 미분법 — 사다리의 길이 관계를 시간에 대해 미분해 순간 속력을 구합니다. 분석표에서 범위 밖(이전 단원 누적)으로 표시된 문항입니다.
9번 중 · 서답형 음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식 — 음함수 미분으로 기울기를 구하고 접선 방정식을 완성합니다.
12번 중상 · 서답형 지수함수의 극대·극소 — 지수함수가 곱해진 함수의 극값 조건을 세우고, 절댓값이 0이 되는 점에 따라 경우를 나눠 계수를 정합니다.
14번 중상 · 서답형 평면 위를 움직이는 점의 속도 — 사분원 위를 움직이는 점의 각속도와 교점 위치에서 거리의 변화율을 구합니다.
16번 중 · 서답형 최대·최소의 활용 — 사다리꼴의 넓이를 함수로 세우고 도함수로 최댓값을 구합니다.
4번과 9번은 같은 도구(음함수의 미분) 를 다른 상황에 썼습니다. 4번은 시간 변화율, 9번은 접선입니다.
2. 치환적분법과 부분적분법 (1·3·7·8·15번) — 5문항
1번 하 치환적분법을 이용한 정적분 (지수·로그함수) — 로그 치환으로 정적분을 계산합니다.
3번 중 유리함수의 부정적분 — 부분분수로 원시함수를 구하고, 초기값으로 적분상수를 정해 요청한 값을 계산합니다.
7번 중상 부분적분법을 이용한 정적분 — 지수 극한과 함숫값으로 계수를 정하고, 역함수의 정적분 구간을 정한 뒤 부분적분으로 값을 구합니다.
8번 상 치환적분법을 이용한 정적분 (지수·로그함수) — 실근 조건으로 함수의 구조를 찾고, 값이 0이 되는 구간과 적분 범위를 정한 뒤 치환적분으로 상수를 결정하는 4단계 문항입니다.
15번 중상 · 서답형 정적분을 포함한 등식 (아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있을 때) — 등식을 두 번 미분하고, 초기값으로 함수를 정해 요청값을 구합니다.
15번은 피적분함수 안에도 x가 있는 형태입니다. 미분하기 전에 x를 적분 기호 밖으로 빼내는 정리부터 해야 합니다. 이 단계를 빼먹고 바로 미분하면 식이 틀립니다.
3. 정적분의 활용 (5·6·10·11·13·17·18번) — 7문항
5번 중상 정적분과 급수의 합의 활용 — 교점 배열과 구간을 정하고, 대소 관계로 리만합을 위아래에서 조여 극한을 구합니다.
6번 중상 평면 위에서 점이 움직인 거리 — 미끄러지지 않고 굴러가는 원 위의 점의 위치를 매개변수로 나타내고, 속력과 이동 거리를 판정합니다.
10번 중 · 서답형 정적분과 급수의 합 사이의 관계 — 리만합을 정적분으로 바꾸고 탄젠트 치환으로 극한값을 구합니다.
11번 중 · 서답형 입체도형의 부피 (단면이 밑면과 수직인 경우) — 원기둥을 비스듬한 평면으로 자른 입체에서 삼각형 단면의 넓이를 세우고 적분합니다.
13번 중상 · 서답형 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 접선이 곡선 위에 있는지 확인해 넓이 적분을 세우고, 부분적분으로 계산합니다.
17번 중상 · 서답형 정적분과 급수의 합 사이의 관계 — 소문항 2개. 도형에서 일반항을 구한 뒤 리만합을 정적분으로 바꿔 극한을 구합니다.
18번 중상 · 서답형 곡선 x=f(t), y=g(t)의 길이 — 소문항 2개. 매개변수로 나타낸 곡선의 넓이와 길이를 구합니다.
리만합 문항이 5·10·17번 세 개입니다. "(1/n)Σf(k/n) → ∫₀¹f(x)dx" 꼴로 바꾸는 연습이 이 시험에서 가장 효율이 높은 준비입니다.
주의 문항 — 상 1문항과 선택형 중상
8번 상 (치환적분, 4단계) — 이 시험에서 가장 긴 풀이입니다. 함수의 구조를 조건에서 먼저 찾아내야 적분을 시작할 수 있습니다.
5번 중상 (리만합 조임) — 정적분으로 바로 바꾸는 꼴이 아니라 위아래 부등식으로 조이는 형태라 낯설 수 있습니다.
6번 중상 (굴러가는 원 위의 점) — 매개변수 식을 세우는 것이 출발점입니다. 속도·속력·이동 거리를 보기마다 따로 판정해야 합니다.
7번 중상 (역함수와 부분적분) — 역함수의 정적분을 원래 함수로 바꾸는 과정에서 적분 구간을 정확히 옮겨야 합니다.
동인고 고2 2학기 기말 미적분 대비 학습 순서
- 음함수의 미분법 — 4·9번 대비. 변화율과 접선 두 방향.
- 변곡점과 접선 — 2번 대비.
- 지수함수의 극대·극소 — 12번 대비. 절댓값이 붙으면 경우 나누기.
- 최대·최소의 활용과 속도 — 14·16번 대비.
- ★ 치환적분 (지수·로그) — 1·8번 대비. 1번으로 감을 잡고 8번 같은 확장형까지.
- 유리함수의 부분분수 적분 — 3번 대비.
- 부분적분과 역함수의 정적분 — 7·13번 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 15번 대비. x를 밖으로 빼고 미분.
- ★ 리만합과 정적분 — 5·10·17번 대비. 이 시험 최다 반복 주제.
- 입체의 부피 — 11번 대비. 단면 넓이 함수부터.
- ★ 평면 위 점의 속도와 이동 거리 — 6·14번 대비.
- 매개변수 곡선의 넓이와 길이 — 18번 대비.
자주 나오는 질문
동인고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 18문항입니다. 1~8번은 선택형, 9~18번 10문항은 서답형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 치환적분법과 부분적분법 5문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 도함수의 활용 (1) 2문항, 여러 가지 미분법 1문항입니다.
얼마나 어려운 시험인가요?
중상 9문항 + 상 1문항으로 18문항 중 10문항이 중상 이상입니다. 하 난이도는 1번 하나뿐입니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
8번(상) 입니다. 치환적분 유형이 4단계로 확장된 문항입니다.
서답형이 많은데 어떻게 준비하나요?
서답형 10문항 중 중 난이도가 9·10·11·16번 네 문항입니다. 이 네 문항은 풀이 과정까지 완벽히 쓰는 것을 목표로 하고, 나머지 중상 서답형은 단계별로 쓸 수 있는 만큼 쓰는 연습이 필요합니다.
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