광교고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
광교고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 미분 뒷부분부터 적분 끝까지가 범위인데, 실제 배치는 도함수의 활용(방정식·부등식·속도) 8문항, 정적분의 활용(넓이·거리) 7문항으로 양쪽 끝 단원에 15문항이 몰렸습니다. 그리고 중상 이상이 13문항입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 정답 기록 기준 20문항 모두 ①~⑤ 선택형 정답
- 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 10 / 상 3
- 최다 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 8문항, 정적분의 활용 7문항
- 반복 유형: 움직인 거리(6·9번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(13·14번), 삼차방정식의 근의 판별(12·16번)
- 상 3문항: 17·19·20번 — 정적분 2문항, 부등식 1문항
광교고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
광교고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 분석표의 정답 기록 기준으로 20문항 모두 ①~⑤ 중에서 답이 기록되어 있습니다.
범위 이름에는 "증가와 감소"가 들어 있지만, 함수의 증가·감소와 극대·극소를 다루는 도함수의 활용 (2) 단원은 4번 한 문항뿐입니다. 미분 쪽 비중은 그다음 단원인 도함수의 활용 (3), 즉 방정식의 실근 개수, 부등식, 속도에 실려 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 10문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 2 |
| 중 | 6 | 30% | 3·4·5·8·11·12 |
| 중상 | 10 | 50% | 1·6·7·9·10·13·14·15·16·18 |
| 상 | 3 | 15% | 17·19·20 |
1번부터 중상입니다. 첫 문항에서 막히면 페이스가 흔들리니, 1번이 어렵게 느껴져도 당황하지 마세요.
중 난이도 6문항이 3~12번 사이에 흩어져 있고, 13번부터 20번까지는 여덟 문항 전부 중상 이상입니다. 마지막 여덟 문항에 충분한 시간을 남기려면 2·3·4·5·8·11·12번을 빠르게 처리해야 합니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 8 | 5·8·12·13·14·16·18·20 |
| 09 정적분의 활용 | 7 | 2·3·6·9·10·11·15 |
| 08 정적분 | 3 | 7·17·19 |
| 07 부정적분 | 1 | 1 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 1 | 4 |
미분 쪽 9문항(4번 + 도함수의 활용 (3) 8문항), 적분 쪽 11문항입니다. 부정적분은 1번 한 문항이고, 적분은 정적분 계산과 활용에 집중되었습니다.
시그니처 — 운동 문제 4문항
수직선 위를 움직이는 점 문제가 2·5·6·9번 네 문항에 나왔습니다.
- 2번 하 (위치와 위치의 변화량) — 처음 위치에 속도의 정적분(변위)을 더해 위치를 구합니다.
- 5번 중 (속도) — 두 점의 위치가 같아지는 양수 시각을 모두 구하고, 그중 처음 시각의 속도를 계산합니다. t=0을 제외하는 것이 포인트입니다.
- 6번 중상 (움직인 거리) — 가속도를 적분해 속도를 구하고, 속도가 0이 되는 시각(방향을 바꾸는 시각)을 찾아 구간별로 부호를 나눠 거리를 적분합니다.
- 9번 중상 (움직인 거리) — 보기 ㄱ·ㄴ·ㄷ마다 위치와 거리를 따로 계산해 판정합니다.
위치는 부호 그대로 적분, 움직인 거리는 절댓값을 적분합니다. 2번과 6번이 정확히 이 차이를 묻습니다. 방향이 바뀌는 시각을 먼저 찾는 습관이 네 문항을 모두 지켜줍니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 방정식의 실근과 삼차방정식 (12·13·14·16·18번) — 5문항
12번 중 삼차방정식의 근의 판별, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 중상 삼차방정식의 근의 판별, 18번 중상 두 그래프의 교점의 개수.
12번은 실근의 위치가 α<1<β<γ처럼 주어진 조건을 그래프와 수평선의 관계로 분류하고, 경계(접하는 경우)를 제외해 정수 개수를 셉니다.
13번은 절댓값이 들어간 방정식을 두 개의 높이로 나눠 각 k마다 서로 다른 실근 개수를 센 뒤 합의 최솟값을 구합니다.
16번은 접선 조건을 인수로 놓고 판별식을 이용합니다. 18번은 구간마다 다르게 정의된 함수에서 단조 구간과 접합점을 확인하고, 수평선이 지나갈 때 교점 개수가 바뀌는 지점을 찾는 문항입니다.
결국 다섯 문항 모두 "그래프를 그리고 수평선(또는 직선)을 움직여 본다" 는 같은 방법으로 풉니다. 극댓값·극솟값을 정확히 구하는 것이 출발점입니다.
2. 넓이 (3·10·11·15번) — 4문항
3번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(f(x)≥0인 경우), 10번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 11번 중 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 15번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 · 곡선과 x축 사이의 넓이.
11번은 포물선과 직선 사이 넓이의 1/6 공식을 쓰는 문항입니다. 넓이로 두 교점 사이 간격을 정하고, 현의 중점이 어디에 있는지 따집니다.
10번은 삼차함수와 수평선이 두 점에서 만난다는 조건이 극값의 높이를 결정한다는 데서 출발합니다. 여기서 k가 음수인 경우를 골라 넓이를 구합니다.
15번은 그림의 색칠한 넓이로 이차함수를 정한 뒤, 정적분으로 정의된 함수를 미분해 최댓값을 구합니다.
3. 정적분 계산 (1·7·17·19번)
1번 중상 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 7번 중상 주기함수의 정적분, 17번 상 정적분의 계산(구간에 따라 다르게 정의된 함수), 19번 상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우).
1번은 도함수를 적분한 뒤 주어진 두 함숫값으로 적분상수를 정합니다. 7번은 두 접합점에서 연속인지 확인하고, 긴 적분 구간을 주기만큼 옮긴 뒤 나눠서 적분합니다.
4. 부등식과 최대·최소 (4·8·20번)
4번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(최대·최소의 활용), 20번 상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건.
4번은 구간의 양 끝과 도함수가 0인 점을 모두 비교합니다. 분석표에 따르면 도함수가 0인 점 중 하나는 극값이 아닌 점이라, 그 점에서 함숫값만 보고 극값으로 착각하면 안 됩니다.
8번은 두 함수의 차를 새 함수로 놓고 그 최솟값이 0 이상이 되는 조건을 구하는 표준형입니다.
주의 문항 — 상 3문항
17번 상 (구간별로 정의된 함수의 정적분) — 분석표 기준 다섯 단계 풀이로 이 시험에서 단계가 가장 많습니다. 함수 안의 미정계수를 극값·영점·중근 조건으로 하나씩 정한 뒤 정적분을 계산하고, 마지막에 유리수 p, q를 구합니다.
19번 상 (정적분을 포함한 등식) — 등식을 미분해 이차함수를 구하고, 정적분으로 정의된 함수에 절댓값이 씌워졌을 때 미분 불가능한 점의 개수를 모두 분류합니다. 조건을 만족하는 a가 두 개라 곱을 답합니다.
20번 상 (모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건) — 부등식이 모든 실수에서 성립한다는 조건으로 f(1)=0을 먼저 얻고, 절댓값이 씌워진 삼차함수가 미분 가능하려면 실근 구조가 어때야 하는지 따집니다. 삼중근의 위치를 도함수 부호로 정하는 네 단계 문항입니다.
광교고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분과 적분상수 결정 — 1번 대비.
- 함수의 최대·최소 — 4번 대비. 양 끝과 도함수 0인 점 모두 비교.
- ★ 위치·속도·움직인 거리 — 2·5·6·9번 대비. 방향 전환 시각부터.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 8·20번 대비. 차를 새 함수로.
- ★ 극값과 수평선으로 실근 개수 세기 — 12·13·14·16·18번 대비. 이 시험 최다 묶음.
- 곡선과 x축·직선 사이의 넓이, 1/6 공식 — 3·10·11번 대비.
- 주기함수의 정적분 — 7번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분 — 15·19번 대비.
- 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 17번 대비.
자주 나오는 질문
광교고 2학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?
2025학년 수학Ⅱ 기준 20문항입니다. 분석표 정답 기록상 20문항 모두 ①~⑤ 선택형 정답입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (3) 8문항, 정적분의 활용 7문항이 가장 많습니다. 정적분 3문항, 부정적분 1문항, 도함수의 활용 (2) 1문항이 뒤를 잇습니다.
운동 문제는 몇 문항인가요?
2·5·6·9번 네 문항입니다. 위치, 속도, 움직인 거리를 고루 물었습니다.
킬러 문항은 무엇인가요?
상 난이도 17·19·20번입니다. 17·19번은 정적분, 20번은 모든 실수에서 성립하는 부등식 조건입니다.
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