수원여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

수원여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 범위는 도함수의 활용(증가·감소, 극값, 방정식·부등식, 속도)부터 부정적분·정적분·정적분의 활용까지입니다. 문항 수로는 미분 13문항, 적분 9문항으로 미분 쪽이 더 많고, 유일한 상 문항은 서술형 22번 두 곡선 사이의 넓이입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~20번 선택형, 21·22번 서술형
• 난이도: 하 6 / 중 10 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 7 / 05 도함수의 활용 (2) 6 / 09 정적분의 활용 4 / 08 정적분 3 / 07 부정적분 2
• 두 번 나온 유형: 두 곡선 사이의 넓이(12·22번), 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(18·21번)
• 최고 난도: 22번 서술형 (상)

수원여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

수원여자고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 고2 수학Ⅱ는 2015 개정 교육과정 과목이고, 이번 2학기 기말은 도함수의 활용 후반부와 적분 전체를 다뤘습니다.

정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21·22번은 서술형입니다. 21번은 극대·극소로 미정계수를 정하는 미분 문항, 22번은 두 곡선 사이의 넓이를 구하는 적분 문항입니다. 서술형 두 문항이 미분 하나, 적분 하나로 나뉘어 있습니다.

배치는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1~3번이 정적분·부정적분 계산으로 시작하고, 4번부터 미분 활용, 8번 역함수 정적분, 다시 미분, 12~13번 넓이와 거리, 다시 미분 순으로 미분과 적분이 섞여 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항이 중심

하 6문항이 모두 9번까지에 있습니다. 정적분 계산, 부정적분과 미분의 관계, 우함수·기함수 적분, 극솟값, 역함수 정적분, 부피 변화율처럼 공식 하나로 끝나는 문항입니다.

중상 5문항은 10·11·17·18·20번으로 시험 중후반에 퍼져 있습니다. 17·18번이 연속 중상이고, 20번 정적분 등식도 중상입니다. 상 문항 22번은 서술형이라 풀이 과정까지 써야 점수를 받습니다.

출제 단원 — 미분 13, 적분 9

도함수의 활용 두 단원이 13문항입니다. 그중 도함수의 활용 (3) 7문항은 방정식의 실근, 부등식이 항상 성립할 조건, 속도·가속도처럼 그래프를 그려서 판단하는 문항이 대부분입니다.

적분 9문항 중에서는 정적분의 활용 4문항이 가장 많고, 여기에 상 문항 22번이 들어 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 증가·감소와 극값 (4·5·10·15·18·21번) — 6문항

4번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건, 5번 하 함수의 극대·극소, 10번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 15번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 18번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 21번 중 서술형 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.

4번은 삼차함수가 증가할 조건을 판별식으로 바꾸고, 그 조건을 만족하는 정수 계수의 개수를 셉니다. 도함수 ≥ 0 이고 판별식 ≤ 0, 등호를 포함하는지가 포인트입니다.

10번은 입체에 내접하는 도형의 부피 최대입니다. 단면의 닮음으로 부피를 반지름에 대한 함수로 만들고, 열린구간에서 최댓값을 주는 반지름을 구한 뒤 요구하는 값을 계산합니다.

18번은 접선 조건이 들어간 극값 문항입니다. 분석표 근거에 따르면 중근과 원점에서의 근 두 경우를 나누고, 주어진 극소 조건에 맞는 경우만 골라 극댓값을 구합니다. 경우를 나누는 것을 놓치면 바로 틀립니다.

21번 서술형은 극소점의 두 조건(도함수 = 0, 함숫값)으로 계수를 연립해 구하고, 증감표로 다른 극값을 찾는 문항입니다. 증감표를 답안에 그려 넣는 것까지 서술 과정에 포함된다고 생각하고 연습하세요.

2. 방정식·부등식과 그래프 (11·14·16·17번) — 4문항

11번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 증가·감소의 활용, 14번 중 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 16번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 17번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

14번은 두 함수의 차를 새 함수로 놓고 구간 안의 극값과 양 끝값을 비교해 최솟값 조건을 세우는 표준형입니다. 구간 양 끝값을 빼먹는 실수가 가장 흔합니다.

16번과 17번은 삼차함수 그래프와 수평선의 교점을 다룹니다. 16번은 서로 다른 음의 근과 양의 근 조건, 17번은 세 개의 수평선이 만드는 교점 수의 모든 경우를 따져 매개변수를 구합니다. 17번은 극댓값·극솟값 높이를 기준으로 경계 경우를 빠짐없이 나누는 것이 핵심입니다.

11번은 그래프와 조건에서 교점의 범위를 잡고, 도함수 부호로 경우를 나눈 뒤 조건을 만족하는 정수를 찾는 세 단계 풀이입니다.

3. 속도·가속도와 변화율 (6·7·9·13번) — 4문항

6번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도, 7번 중 속도·가속도와 운동 방향, 9번 하 시각에 대한 부피의 변화율, 13번 중 움직인 거리.

6번은 물체가 지면에 닿는 양의 시각을 구한 뒤 속도를 계산합니다. 7번은 운동 방향이 바뀌는 시각(속도 = 0이면서 부호가 바뀌는 때)의 가속도를 구합니다.

13번은 적분 단원 문항입니다. 분석표 근거는 위치의 변화량과 움직인 거리를 구별하라고 짚고 있습니다. 속도가 0이 되는 시각 전후로 나눠 절댓값을 씌워 적분해야 움직인 거리가 됩니다.

4. 부정적분과 정적분 (1·2·3·19·20번) — 5문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 2번 하 부정적분과 미분의 관계, 3번 하 우함수·기함수의 정적분, 19번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 20번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우.

1~3번은 확보 구간입니다. 3번은 홀수 차수 항이 대칭 구간에서 0이 되는 것을 이용하면 계산이 절반으로 줄어듭니다.

19번은 관계식을 미분해 다항식 항등식을 만들고, 최고차항과 계수를 비교해 함수를 구합니다. 차수부터 정하는 것이 출발점입니다.

20번은 적분 기호 안에 변수가 있는 등식입니다. 양변을 미분해 함수와 도함수의 근 구조를 정하고, 주어진 조건으로 함수를 하나로 결정한 뒤 정적분을 계산합니다.

5. 넓이 (8·12·22번) — 3문항

8번 하 함수와 그 역함수의 정적분, 12번 중 두 곡선 사이의 넓이, 22번 상 서술형 두 곡선 사이의 넓이.

8번은 함수와 역함수의 정적분 합을 직사각형 넓이의 차로 바꾸는 문항입니다. 그림을 그리면 계산 없이 풀립니다.

12번과 22번이 같은 유형입니다. 12번은 두 곡선의 교점을 구하고 차를 적분하는 기본형입니다.

22번은 이 시험의 유일한 상 문항이자 서술형입니다. 분석표 난이도 근거는 네 단계입니다. 절댓값이 들어간 함수의 그래프를 구간별로 나누고, 교점 개수 조건으로 매개변수를 정하고, 교점과 두 곡선의 위아래를 정한 뒤, 구간별로 정적분해 넓이를 구합니다. 절댓값 그래프를 나누는 첫 단계가 막히면 나머지가 이어지지 않습니다.

주의 문항

22번 상 서술형 (두 곡선 사이의 넓이) — 절댓값 그래프를 직접 나눠야 합니다.

17번 중상 (f(x)=k의 실근의 개수) — 경계 경우를 모두 나열해야 합니다.

18번 중상 (극값과 미정계수) — 두 경우 중 조건에 맞는 것만 남겨야 합니다.

20번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 미분 후 근의 구조를 읽어내야 합니다.

10번 중상 (부피의 최대) — 닮음으로 함수를 세우는 첫 단계가 관건입니다.

11번 중상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 경우 나누기와 정수 판정이 이어집니다.

수원여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산, 우함수·기함수 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 부정적분과 미분의 관계 — 2·19번 대비.
3. 삼차함수 증가 조건과 판별식 — 4번 대비.
4. 극값 구하기와 증감표 — 5번, 21번 서술형 대비.
5. ★ 극값 조건으로 미정계수 결정 — 15·18·21번 대비.
6. 부피·넓이의 최대·최소 — 10번 대비.
7. ★ 삼차함수 그래프와 f(x)=k의 실근 — 16·17번 대비.
8. 부등식이 항상 성립할 조건 — 11·14번 대비. 구간 끝값 확인.
9. 속도·가속도·운동 방향, 변화율 — 6·7·9번 대비.
10. 위치 변화량과 움직인 거리 구별 — 13번 대비.
11. 정적분을 포함한 등식 — 20번 대비.
12. 역함수의 정적분 — 8번 대비. 그림으로 풀기.
13. ★ 두 곡선 사이의 넓이(절댓값 함수 포함) — 12번, 22번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

수원여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~20번 선택형, 21·22번 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 7문항, 도함수의 활용 (2)가 6문항입니다. 미분 13문항, 적분 9문항으로 미분 비중이 더 큽니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 22번 서술형 한 문항입니다. 절댓값이 들어간 함수와 다른 곡선 사이의 넓이를 구하는 문항입니다. 중상은 10·11·17·18·20번 다섯 문항입니다.

서술형은 어떤 문제였나요?

21번은 극대·극소를 이용해 미정계수를 정하는 문항(중), 22번은 두 곡선 사이의 넓이(상)입니다.

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