율천고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

율천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 중심은 분명합니다. 정적분 단원 하나에서 7문항이 나왔고, 부정적분과 정적분의 활용까지 합치면 적분 파트가 14문항입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~20번 서술형
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 6 / 상 0
• 배치 단원: 정적분 7 / 도함수의 활용 (3) 5 / 정적분의 활용 4 / 부정적분 3 / 도함수의 활용 (2) 1
• 반복 유형: 도함수가 주어질 때 함수 구하기 3회(4·5·18번), 절댓값 함수의 정적분 2회(8·16번)
• 서술형 세 문항 중 19·20번이 중상

율천고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

율천고등학교는 경기도 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~17번은 ①~⑤ 선택형, 18~20번은 서술형입니다.

미분 파트는 도함수의 활용 6문항(방정식·부등식, 속도와 가속도, 최대·최소, 접선의 개수)입니다. 나머지 14문항이 적분입니다. 2학기 기말 범위가 미분 후반과 적분 전체에 걸쳐 있지만, 실제 무게는 적분 쪽에 크게 기울어 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 없이 중상 6문항

상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 6문항이고, 그중 두 문항(19·20번)이 서술형입니다. 선택형 중상은 6·12·15·16번입니다.

하 4문항은 1번 정적분 계산, 2번 속도·가속도, 10번 부등식이 항상 성립할 조건, 13번 우함수·기함수의 정적분입니다. 모두 공식과 성질을 한 번 쓰면 끝나는 한 단계 문항입니다.

출제 단원 — 정적분 7문항

정적분 단원 7문항 중 15·16번이 중상입니다. 정적분을 포함한 등식과 절댓값 함수의 정적분이 이 단원의 고비입니다.

도함수의 활용은 (3) 단원(방정식·부등식, 속도)이 5문항, (2) 단원(최대·최소)이 1문항입니다. 6번 실근의 개수와 19번 접선의 개수가 중상입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2·6·9·10·11·19번) — 6문항

2번 하 속도·가속도와 운동 방향, 6번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 9번 중 최대·최소의 활용(부피), 10번 하 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 11번 중 속도, 19번 중상 서술형 접선의 개수.

6번은 도함수로 두 극값을 구하고, 극값의 부호에 따라 실근의 개수를 세 경우로 나눕니다. 중근이 생기는 경계에서 조건을 만족하는 값을 확인하는 것이 마지막 단계입니다.

9번은 반지름과 높이로 입체의 부피를 함수로 세우고, 부피가 최대가 되는 높이를 구하는 활용 문항입니다. 반지름·높이가 양수라는 정의역 조건을 먼저 써야 합니다.

19번 서술형은 곡선 밖의 점에서 그을 수 있는 접선의 개수를 다룹니다. 접점을 t로 두고 접선이 점을 지난다는 조건으로 t에 대한 삼차방정식을 만든 뒤, 그 삼차함수의 극댓값·극솟값으로 서로 다른 세 실근이 생기는 범위를 판정합니다.

2. 부정적분 (4·5·20번) — 3문항

4번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 5번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 20번 중상 서술형 부정적분과 도함수의 정의를 이용하여 함수 구하기.

4번은 도함수와 초깃값으로 함수를 정하는 기본형이고, 5번은 두 함수의 합과 차의 도함수가 주어진 상태에서 두 함수를 각각 구합니다.

20번 서술형은 모든 실수 x, y에 대해 성립하는 함수 등식에서 출발합니다. 0을 대입해 f(0)을 구하고, 미분계수의 정의로 도함수를 끌어낸 뒤, 적분해서 함수를 복원하는 세 단계입니다. 서술형이라 각 단계를 빠짐없이 적어야 합니다.

3. 정적분 (1·8·13·15·16·17·18번) — 7문항

1번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 8번 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 13번 하 우함수·기함수의 정적분, 15번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 16번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 17번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 18번 중 서술형 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 정적분의 계산.

8번은 적분 구간을 먼저 정리한 뒤 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 적분합니다. 16번은 같은 절댓값 함수 정적분이지만 세 단계로 늘어난 문항입니다.

15번은 적분 구간과 피적분함수에 모두 x가 있는 등식입니다. 양변을 미분해 다항식 관계를 얻고, 아래끝을 대입해 계수를 정하는 표준 절차를 따릅니다. 피적분함수에 x가 있으면 미분하기 전에 x를 적분 밖으로 빼야 한다는 점이 실수 지점입니다.

17번은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분입니다. 분석표 근거상 구간 경계에서 함숫값이 이어지는지 확인하고, 기함수의 대칭성과 주어진 적분값으로 합산합니다.

18번 서술형은 도함수와 초깃값으로 함수를 구하고 정적분을 계산하는 두 단계입니다. 서술형 중 유일하게 중 난이도라 반드시 확보해야 하는 문항입니다.

4. 정적분의 활용 (3·7·12·14번) — 4문항

3번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 중 움직인 거리, 12번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 14번 중 두 곡선 사이의 넓이.

3번은 곡선이 x축 아래에 있는 구간이라 정적분 값이 음수로 나오고, 넓이는 그 부호를 바꿔야 합니다. 7번은 속도가 0이 되는 시각 앞뒤로 구간을 나눠 움직인 거리를 절댓값으로 적분합니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구별하는 것이 핵심입니다.

12번은 증가함수와 그 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 점을 이용해 넓이를 두 배로 계산하는 문항입니다. 14번은 두 곡선의 교점 세 개로 생기는 두 영역의 넓이를 각각 구해 더합니다.

주의 문항 — 중상 6문항

6번 중상 (f(x)=k의 실근의 개수) — 극값 부호로 경우 나누기.

12번 중상 (역함수와 넓이) — y=x 대칭을 떠올리지 못하면 적분식이 복잡해집니다.

15번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 미분 전에 x를 적분 밖으로 빼기.

16번 중상 (절댓값 함수의 정적분) — 조건으로 축과 영점 위치를 먼저 정해야 합니다.

19번 중상 서술형 (접선의 개수) — 삼차방정식의 실근 개수로 바꾸는 과정 서술.

20번 중상 서술형 (함수 등식과 도함수의 정의) — 0 대입 → 미분계수 정의 → 적분의 세 단계 서술.

율천고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 다항함수 정적분 계산, 우함수·기함수 성질 — 1·13번 대비. 확보 구간.
2. 속도·가속도, 부등식이 항상 성립할 조건 — 2·10번 대비.
3. ★ 도함수와 초깃값으로 함수 구하기 — 4·5·18번 대비. 세 번 나온 유형.
4. 최대·최소의 활용(부피) — 9번 대비. 정의역 확인.
5. 속도와 위치 — 11번 대비.
6. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 6번 대비.
7. ★ 절댓값 함수의 정적분 — 8·16번 대비.
8. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 17번 대비.
9. 정적분을 포함한 등식 — 15번 대비.
10. 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 3·14번 대비.
11. 움직인 거리 — 7번 대비.
12. 역함수와 넓이 — 12번 대비.
13. ★ 접선의 개수 서술 — 19번 대비.
14. 함수 등식과 도함수의 정의 — 20번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

율천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~17번은 선택형, 18~20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 5문항, 정적분의 활용 4문항, 부정적분 3문항, 도함수의 활용 (2) 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 최고 난도는 중상 6문항(6·12·15·16·19·20번)이고, 서술형 19·20번이 여기에 포함됩니다.

미분과 적분 중 어디에 집중해야 하나요?

적분입니다. 부정적분·정적분·정적분의 활용을 합치면 14문항입니다. 미분 파트는 도함수의 활용 6문항입니다.

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