숙지고 2학년 2학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025 수학Ⅱ)
숙지고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 도함수의 활용 후반부터 부정적분, 정적분, 정적분의 활용까지가 중심이고, 그중 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 상 난이도는 없고, 대신 중상 8문항이 시험 후반을 채웁니다.
핵심 요약
- 21문항 — 정답 기록 기준 전 문항 ①~⑤
- 난이도: 하 5 / 중 8 / 중상 8 / 상 0
- 배치 단원: 정적분의 활용 7 / 도함수의 활용 (3) 5 / 도함수의 활용 (2) 4 / 정적분 3 / 부정적분 1 / 도함수의 활용 (1) 1
- 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(5·18·20번), 위치와 위치의 변화량 2회(10·12번), 곡선과 x축 사이의 넓이 2회(15·16번)
- 운동(속도·위치·거리) 관련 문항: 10·11·12·14번 네 문항
숙지고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
숙지고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 분석표 정답 기록은 전 문항이 ①~⑤ 입니다.
배치 단원으로 묶으면 미분 파트(도함수의 활용) 10문항, 적분 파트(부정적분·정적분·정적분의 활용) 11문항으로 거의 반반입니다. 7번 접선의 방정식과 20번 미분가능성 문항은 분석표에서 이전 범위 누적 출제로 표시되어 있습니다. 기말 범위만 공부했다면 이 두 문항에서 손이 멈출 수 있으니, 접선과 미분가능성도 함께 복습해 두세요.
2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 8문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 5 | 24% | 1·4·7·10·11 |
| 중 | 8 | 38% | 2·3·5·6·8·9·15·16 |
| 중상 | 8 | 38% | 12·13·14·17·18·19·20·21 |
| 상 | 0 | 0% | — |
상 난이도는 없습니다. 대신 12번 이후 10문항 중 8문항이 중상입니다(15·16번만 중). 앞 11문항에서 시간을 아껴 뒤로 넘겨야 하는 구조입니다.
하 5문항은 1·4·7·10·11번입니다. 10·11번이 둘 다 운동 문항(위치, 속도와 운동 방향) 이라는 점이 눈에 띕니다. 운동 단원의 기본 개념만 잡혀 있으면 두 문항을 빠르게 확보할 수 있습니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 7 | 8·10·12·14·15·16·21 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 5·9·11·18·20 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 2·4·13·17 |
| 08 정적분 | 3 | 3·6·19 |
| 07 부정적분 | 1 | 1 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 7 |
정적분의 활용 7문항은 넓이 4문항(8·15·16·21번)과 운동 3문항(10·12·14번)으로 나뉩니다.
도함수의 활용 (3) 은 실근의 개수(5·18·20번), 부등식(9번), 속도·가속도(11번)로 구성됩니다.
시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 3회
5번(중), 18번(중상), 20번(중상) 세 문항이 같은 유형입니다.
- 5번 중 — 증감표의 부호 변화로 극대·극소를 판정하고, 서로 다른 세 실근을 가지려면 극솟값은 음수, 극댓값은 양수여야 한다는 조건으로 빈칸을 채웁니다.
- 18번 중상 — 사차함수의 극값 높이를 기준으로 교점 개수를 나누고, 등차수열의 각 항에 대한 교점 수를 더하는 문항입니다.
- 20번 중상 — 구간에 따라 다르게 정의된 함수가 미분가능하도록 조건을 세우고, 실근의 개수 조건으로 자연수 계수의 범위를 구합니다.
극값의 높이와 직선 y=k의 위치 관계를 그래프로 그리는 습관이 세 문항을 모두 관통합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 극대·극소 (2·4·13·17번) — 4문항
2번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 4번 하 함수의 극대·극소, 13번 중상 최대·최소의 활용(부피), 17번 중상 극대·극소의 활용.
2번은 극대점과 극댓값 조건으로 두 계수를 연립해 구한 뒤, 극소점에서의 값을 계산합니다.
4번은 보기 중 참인 것을 고르는 문항으로, 보기마다 반례를 확인해야 합니다.
13번은 모선의 길이가 정해진 입체의 부피 최대를 묻는 활용 문항입니다. 부피를 한 변수 함수로 나타내고 구간 안의 최대점을 찾습니다.
17번은 그림에 주어진 영점으로 함수의 부호 구조를 세우고, 극대·극소점의 순서와 개수를 검증하는 3단계 문항입니다.
2. 도함수의 활용 (3) — 부등식·운동 (9·11번)
9번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 11번 하 속도·가속도와 운동 방향.
9번은 도함수가 하나의 실근을 갖는 지점에서 전체 최솟값이 생긴다는 것을 이용해 정수 범위를 구합니다. 11번은 두 점의 속도 부호가 반대인 시간 구간을 찾는 문항입니다.
3. 부정적분·정적분 (1·3·6·19번) — 4문항
1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 3번 중 정적분의 계산, 6번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 19번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수).
1번은 도함수를 적분하고 초기값으로 적분상수를 정합니다. 3번은 그래프의 극값 좌표와 함숫값으로 다항식을 결정한 뒤 정적분을 계산합니다.
6번은 lim 1/(x−a)∫f(t)dt 꼴이 도함수의 정의라는 것을 알아보는 문항입니다.
19번은 정적분이 들어간 항등식을 미분해 계수를 정하고, 다시 대입해 목표 정적분을 계산하는 3단계 문항입니다.
4. 정적분의 활용 — 넓이 (8·15·16·21번)
8번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 15번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 16번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 21번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용(이등분).
8번은 곡선과 접선의 차가 접점에서 중근을 갖는 꼴로 인수분해된다는 점을 이용합니다.
16번은 세 점이 등간격일 때 삼차함수와 일차함수의 차를 만들고, 가운데 점을 기준으로 한 대칭으로 적분이 상쇄되는 성질을 씁니다.
21번은 도함수의 양 끝 값 조건으로 삼차함수의 계수 관계를 정하고, 직사각형 안에서 곡선이 나누는 넓이의 대칭을 이용해 보기를 판정합니다.
5. 정적분의 활용 — 운동 (10·12·14번)
10번 하 위치와 위치의 변화량, 12번 중상 위치와 위치의 변화량, 14번 중상 움직인 거리.
10번은 초기 위치 + 속도의 정적분으로 위치를 구하는 기본 문항입니다.
12번은 두 점 사이의 거리를 시간에 대한 삼차방정식으로 세우고, 모든 시간 해를 구한 뒤 마지막 시각까지의 변위를 계산합니다.
14번은 원점을 지나는 횟수를 판정하고 가속도 값을 구한 뒤, 속도의 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나눠 움직인 거리를 구합니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 것이 핵심입니다.
주의 문항 — 중상 8문항
12번 (위치의 변화량) — 시간 해를 빠짐없이 구해야 합니다.
13번 (부피 최대) — 활용 상황을 식으로 세우는 과정이 관건입니다.
14번 (움직인 거리) — 속도 부호에 따라 구간을 나눕니다.
17번 (극대·극소의 활용) — 그래프 정보로 함수를 재구성합니다.
18번 (실근의 개수와 수열) — 교점 개수 합산이 길게 이어집니다.
19번 (정적분을 포함한 등식) — 미분 후 재대입까지 확인합니다.
20번 (미분가능성과 실근의 개수) — 이전 범위인 미분가능성이 함께 나옵니다.
21번 (넓이의 이등분) — 대칭성 관찰이 풀이를 줄여 줍니다.
숙지고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분과 초기값 — 1번 확보.
- 접선의 방정식, 미분가능성 복습 — 7·20번(이전 범위 누적) 대비.
- 극대·극소와 미정계수 — 2·4번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 5·18·20번 대비. 극값 높이와 y=k 비교.
- 항상 성립하는 부등식 — 9번 대비.
- 최대·최소 활용(부피) — 13번 대비.
- 정적분 계산과 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 3·6번 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 19번 대비.
- 곡선과 x축, 곡선과 접선 사이의 넓이 — 8·15·16번 대비.
- 두 곡선 사이의 넓이와 이등분 — 21번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 11번 확보.
- ★ 위치의 변화량 vs 움직인 거리 — 10·12·14번 대비.
자주 나오는 질문
숙지고 2학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 분석표의 정답 기록은 전 문항 ①~⑤ 입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3)이 5문항, 도함수의 활용 (2)가 4문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 구간은 중상 8문항이고, 12번 이후에 몰려 있습니다.
기말 범위 밖 내용도 나오나요?
분석표 기준 7번(접선의 방정식)과 20번(미분가능성) 이 이전 범위 누적 출제로 표시되어 있습니다.
과년도 숙지고 기출도 볼 수 있나요?
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