이의고 2학년 2학기 기말고사 기하 기출 분석 (2025)

이의고 2학년 2학기 기말 기하는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 평면벡터 8문항, 공간도형 6문항, 공간좌표 6문항으로 나뉘어 범위 전체를 다뤘습니다. 이 시험에서 가장 눈에 띄는 것은 정사영입니다. 정사영을 쓰는 문항이 네 개이고, 그중 세 개가 중상입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 20문항 모두 ①~⑤
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 04 공간좌표 6 / 03 공간도형 6 / 06 벡터의 성분과 내적 5 / 07 도형의 방정식 2 / 05 벡터의 연산 1
• 시그니처: 정사영 4문항(10·15·16·17번) — 10·16·17번은 중상
• 유일한 상: 20번, 평면벡터 자취의 방정식

이의고 고2 2학기 기말 기하는 어떤 시험인가

이의고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 기하는 총 20문항입니다. 분석표의 정답 기록은 20문항 모두 ①~⑤로 되어 있습니다.

문항은 평면벡터와 공간도형·공간좌표가 섞여서 배치되어 있습니다. 1번이 공간좌표, 2번이 벡터, 3번이 공간도형입니다. 번호 순서가 단원 순서와 다르니, 문항을 읽자마자 평면 문제인지 공간 문제인지부터 구분하고 들어가세요.

난이도는 중 10문항이 절반입니다. 하 4문항은 모두 1~7번 안에 있고, 중상 5문항과 상 1문항은 10번 이후에 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항, 상 1문항

1~9번에는 중상 이상이 없습니다. 하 4문항과 중 5문항으로 이루어진 앞부분에서 시간을 아껴야 합니다.

10번부터 중상이 섞이기 시작합니다. 10·13·16·17·19번 중상 다섯 문항은 분석표 기준 모두 3단계 풀이이고, 마지막 20번 상은 4단계 풀이입니다.

출제 단원 — 공간 12문항, 평면벡터 8문항

공간도형과 공간좌표가 6문항씩, 합쳐서 12문항입니다. 평면벡터 세 단원은 8문항입니다.

공간도형 6문항은 난이도가 높은 편입니다. 하 1(7번), 중 2(3·14번), 중상 3(10·16·17번)입니다. 반면 공간좌표 6문항은 하 1(1번), 중 5문항으로 중상 이상이 없습니다. 공간좌표는 확보 구간, 공간도형은 변별 구간입니다.

시그니처 유형 — 정사영 4문항

이 시험에서 정사영을 쓰는 문항은 10·15·16·17번입니다.

• 10번(중상) — 정사영의 넓이; 각의 크기가 주어지지 않은 경우. 첫 번째 정사영의 도형과 넓이를 구하고, 다음 투영면과의 이면각을 결정한 뒤 다시 정사영 넓이를 계산합니다.
• 15번(중) — 좌표평면 위로의 정사영. yz평면에 정사영하면 x성분만 사라진다는 점을 이용해 두 길이를 구합니다.
• 16번(중상) — 정사영; 그림자의 길이와 넓이. 기울어진 밑면이 타원으로 정사영되는 것을 이용하고, 그림자를 두 영역으로 나눠 넓이를 더합니다.
• 17번(중상) — 정사영을 이용하여 각의 크기 구하기. 입체도형 위 세 점의 좌표와 넓이를 구하고, 투영면 위 삼각형 넓이와의 비로 삼각비를 계산합니다.

네 문항의 공통 도구는 (정사영 넓이) = (원래 넓이) × cosθ 한 줄입니다. 10번은 θ를 구해서 넓이로, 17번은 넓이 비로 θ를 거꾸로 구합니다. 같은 공식을 양방향으로 쓰는 연습이 필요합니다.

정사영 주변 개념인 삼수선의 정리(3번)와 이면각(14번) 도 출제됐습니다. 14번은 삼수선으로 교선에 수직인 두 길이를 구한 뒤 이면각의 코사인을 계산하는 문항이라, 정사영 문항과 같은 그림을 다룹니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 공간도형 (3·7·10·14·16·17번) — 6문항

3번 중 삼수선 정리의 활용, 7번 하 직선과 평면의 위치 관계, 10번 중상 정사영의 넓이, 14번 중 이면각, 16번 중상 정사영; 그림자의 길이와 넓이, 17번 중상 정사영을 이용하여 각의 크기 구하기.

3번은 도로와 진입로, 건물이 그려진 그림에서 삼수선 정리를 적용하는 문항입니다. 공간의 직각 관계를 정한 뒤 두 직각삼각형에서 길이를 계산합니다.

7번은 공간에서 수직·평행 관계를 보기별로 판정하는 1단계 문항입니다. 한 직선에 수직인 서로 다른 두 평면은 평행하다는 식의 성질을 정확히 알고 있어야 합니다.

2. 공간좌표 (1·4·8·11·15·18번) — 6문항

1번 하 삼각형의 무게중심, 4번 중 두 점 사이의 거리, 8번 중 점과 구 사이의 거리의 최댓값과 최솟값, 11번 중 선분의 내분점, 15번 중 좌표평면 위로의 정사영, 18번 중 구와 좌표평면의 교선.

1번은 세 점 좌표의 평균으로 무게중심을 구하는 1단계 문항입니다. 4번은 좌표평면에 대한 대칭과 원점에 대한 대칭으로 점을 옮긴 뒤 거리를 계산합니다. 대칭할 때 어느 성분의 부호가 바뀌는지가 실수 지점입니다.

8번은 구 위의 점까지 거리의 최댓값입니다. (중심까지 거리) + (반지름)이 가장 먼 거리라는 원리를 씁니다.

11번은 정육면체에 좌표를 잡고 공간의 내분점을 구한 뒤 거리를 계산합니다. 18번은 구가 세 좌표평면과 만나서 생기는 원의 반지름을 각각 구하고, 넓이 합을 이차함수로 보고 최솟값을 구하는 문항입니다.

3. 평면벡터 (2·5·6·9·12·13·19·20번) — 8문항

2번 하 성분으로 주어진 평면벡터의 연산과 크기, 5번 하 평면도형에서 벡터의 연산, 6번 중 두 직선이 이루는 각의 크기, 9번 중 선분의 내분점의 위치벡터, 12번 중 평면벡터의 내적, 13번 중상 자취의 방정식; 평면벡터 · 한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식, 19번 중상 삼각형에서 위치벡터의 활용, 20번 상 자취의 방정식; 평면벡터.

5번은 대각선이 서로를 이등분하는 사각형에서 벡터식을 판정하는 1단계 문항입니다.

6번은 두 직선의 방향벡터를 구하고 내적으로 각을 구하는 문항입니다. 직선이 이루는 각은 예각이므로 내적의 절댓값을 쓴다는 점을 기억하세요.

9번은 두 내분점의 위치벡터를 구한 뒤 계수의 비를 계산합니다. 12번은 벡터 크기의 제곱과 내적의 관계로 식을 세우고, 가능한 길이 중 최댓값을 고릅니다.

13번은 내적 조건으로 직선과 원의 자취를 정한 뒤, 고정점에서의 최대 거리와 수선의 발 조건을 함께 쓰는 3단계 문항입니다.

19번은 삼각형 세 변을 같은 비로 내분하는 점들의 벡터 합에서 고정된 부분이 0이 되는 것을 이용합니다. 삼각부등식의 등호 조건과 넓이 계산까지 이어집니다.

주의 문항 — 중상 5문항 + 상 1문항

10번 중상 (정사영의 넓이) — 정사영을 두 번 거칩니다. 첫 정사영 도형을 정확히 그리는 것이 먼저입니다.

13번 중상 (자취와 법선벡터) — 내적 식을 직선의 방정식으로 읽어내는 것이 핵심입니다.

16번 중상 (그림자의 넓이) — 그림자를 두 영역으로 나누는 발상이 필요합니다.

17번 중상 (정사영으로 각 구하기) — 좌표를 잡아 넓이를 계산하는 3단계입니다.

19번 중상 (삼각형의 위치벡터) — 벡터 합에서 고정항이 사라지는 것을 먼저 보아야 합니다.

20번 상 (자취의 방정식) — 이 시험의 최고 난도입니다. 분석표 기준 4단계 풀이로, 내적이 0인 수직 조건으로 점의 위치를 정하고, 위치벡터의 자취가 원이 되는 것을 찾은 뒤, 원 위의 점까지 거리의 최댓값과 최솟값을 곱합니다.

이의고 고2 2학기 기말 기하 대비 학습 순서

1. 평면벡터의 성분 연산과 크기 — 2번. 확보 구간.
2. 평행사변형에서의 벡터 연산 — 5번. 확보 구간.
3. 공간좌표의 무게중심·대칭·거리 — 1·4번 대비.
4. 직선과 평면의 위치 관계 — 7번 대비.
5. 내분점의 위치벡터(평면·공간) — 9·11번 대비.
6. 방향벡터와 두 직선이 이루는 각 — 6번 대비. 내적의 절댓값.
7. 내적과 벡터의 크기 — 12번 대비.
8. 구 위의 점까지 거리, 구와 좌표평면의 교선 — 8·18번 대비.
9. 삼수선의 정리와 이면각 — 3·14번 대비.
10. ★ 정사영 공식 양방향 — 10·15·16·17번. 넓이로, 그리고 각으로.
11. 삼각형에서의 위치벡터 — 19번 대비.
12. ★ 평면벡터 자취(직선·원) — 13·20번 대비.

자주 나오는 질문

이의고 2학년 2학기 기말 기하는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 분석표의 정답 기록은 20문항 모두 ①~⑤로 되어 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 공간도형 6문항, 공간좌표 6문항이 가장 많습니다. 평면벡터는 벡터의 성분과 내적 5, 도형의 방정식 2, 벡터의 연산 1로 모두 8문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20번 한 문항입니다. 중상은 10·13·16·17·19번 다섯 문항입니다.

정사영은 몇 문항 나왔나요?

10·15·16·17번 네 문항입니다. 15번은 중, 나머지 세 문항은 중상입니다.

과년도 이의고 기출도 볼 수 있나요?

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