영덕고 2학년 2학기 기말고사 기하 기출 분석 (2025학년, 경기 수원시)

이 글은 경기 수원시 영덕고등학교의 시험 분석입니다. 경상북도 영덕군에도 이름이 같은 영덕고가 있으니 학교를 꼭 확인하세요.

수원 영덕고 2학년 2학기 기말 기하는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 평면벡터와 공간도형·공간좌표가 거의 반반으로 나왔습니다. 이 시험의 특징은 상 난이도가 0문항인 대신 중상이 9문항이라는 점, 그리고 중상 9문항 중 7문항이 공간 파트라는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록상 전 문항 ①~⑤
• 난이도: 하 2 / 중 11 / 중상 9 / 상 0
• 배치 단원: 벡터의 성분과 내적 6 / 공간도형 5 / 공간좌표 5 / 도형의 방정식 4 / 벡터의 연산 2
• 복수 출제 유형: 성분으로 주어진 벡터의 내적의 활용(8·22번)
• 가장 까다로운 구간: 17~22번 여섯 문항 연속 중상

수원 영덕고 고2 2학기 기말 기하는 어떤 시험인가

영덕고등학교(school_id 1217)는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 기하는 총 22문항이고, 정답 기록상 22문항 모두 ①~⑤ 번호로 적혀 있습니다.

단원을 묶으면 평면벡터(벡터의 연산, 벡터의 성분과 내적, 도형의 방정식) 12문항, 공간(공간도형, 공간좌표) 10문항입니다. 평면벡터가 조금 많지만, 난이도로 보면 무게중심은 공간 쪽입니다.

문항 배치는 대체로 1~10번 평면벡터, 11~21번 공간, 22번 다시 벡터입니다. 다만 20번(구와 평면의 위치 관계)은 배치 단원이 도형의 방정식으로 분류되어 있고, 22번은 벡터의 내적 문항이 마지막에 놓였습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 9문항

손을 못 댈 상 문항은 없습니다. 대신 중상이 9문항이고, 그중 17~22번 여섯 문항이 연속 중상입니다. 시험 후반부 체력이 점수를 가릅니다.

평면벡터 파트(1~10번)에서 중상은 9번 하나뿐입니다. 앞 10문항은 빠르게 처리하고 공간 파트에 시간을 남겨야 합니다.

출제 단원 — 벡터의 성분과 내적 6문항이 최다

공간도형 5문항 중 3문항(11·14·21번)이 중상, 공간좌표 5문항 중 3문항(17·18·19번)이 중상입니다. 공간 10문항 중 6문항이 중상이고, 도형의 방정식으로 분류된 20번(구와 평면)까지 넣으면 공간 관련 중상은 7문항입니다.

시그니처 유형 — 성분으로 주어진 벡터의 내적의 활용

같은 유형이 두 번 나온 것은 성분으로 주어진 벡터의 내적의 활용(8·22번) 하나입니다.

8번(중)은 벡터의 크기의 제곱을 매개변수에 대한 이차식으로 세우고, 최소가 되는 값을 찾는 문항입니다. 이차함수의 꼭짓점을 쓰는 2단계 풀이입니다.

22번(중상)은 내적 조건에서 점이 원 위를 움직인다는 것을 찾고, 각 원에서 내적의 최솟값을 구한 뒤 원의 중심이 움직이는 범위 전체에서 최솟값을 정하는 3단계 문항입니다. 같은 "내적의 활용"이지만 8번은 식 계산, 22번은 자취와 최솟값의 결합입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 벡터의 연산 (5·7번) — 2문항, 둘 다 중

5번 세 점이 한 직선 위에 있을 조건, 7번 평면도형에서 벡터의 연산.

5번은 위치벡터의 차로 두 벡터를 만들고 평행 조건으로 계수를 정하는 문항입니다. 7번은 사각형에서 두 중점을 잇는 벡터를 다른 벡터로 나타내고 계수를 비교합니다.

2. 벡터의 성분과 내적 (1·2·6·8·9·22번) — 6문항

1번 하 성분으로 주어진 평면벡터의 연산과 크기, 2번 중 벡터의 내적의 성질 (응용), 6번 중 자취의 방정식; 평면벡터, 8번 중 성분으로 주어진 벡터의 내적의 활용, 9번 중상 평면벡터의 내적, 22번 중상 성분으로 주어진 벡터의 내적의 활용.

2번은 두 벡터의 차의 크기를 제곱해 내적으로 전개하는 기본기 문항입니다. 6번은 두 벡터의 내적이 0이라는 조건이 원의 자취가 된다는 것을 이용해 중심과 반지름을 구합니다.

9번은 대각선의 중점이 같다는 조건으로 평행사변형임을 판정하고, 내적과 두 변의 길이로 사잇각을 구해 넓이를 계산하는 3단계 문항입니다. 평면벡터 파트의 유일한 중상입니다.

3. 도형의 방정식 (3·4·10·20번) — 4문항

3번 하 한 점과 방향벡터가 주어진 직선의 방정식, 4번 중 두 직선이 이루는 각의 크기, 10번 중 벡터방정식, 20번 중상 구와 평면의 위치 관계; 교선이 원인 경우.

4번은 두 직선의 방향벡터를 구해 내적의 절댓값으로 예각의 코사인을 계산합니다. 절댓값을 빼먹으면 둔각이 나옵니다. 10번은 두 벡터방정식이 나타내는 직선과 원을 찾고, 원의 중심에서 직선까지 거리에서 반지름을 빼 최단거리를 구합니다.

20번은 첫 번째 구에 접하는 평면이 원점에서 얼마나 떨어질 수 있는지 범위를 구하고, 두 번째 구가 그 평면에 잘리는 원의 넓이가 최대가 되는 경우를 찾는 문항입니다.

4. 공간도형 (11·12·13·14·21번) — 5문항

11번 중상 공간에서의 위치 관계, 12번 중 꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각, 13번 중 삼수선 정리의 활용, 14번 중상 정사영의 넓이; 각의 크기가 주어지지 않은 경우, 21번 중상 정사영을 이용하여 각의 크기 구하기.

11번은 정팔면체의 모서리끼리의 위치 관계를 모두 분류하고 개수 조건을 결합하는 문항입니다. 입체를 머릿속으로 돌리기보다 모서리를 하나씩 기준으로 표를 만들어 세는 편이 실수가 적습니다.

12번은 정사각뿔에서 내분점을 잡고 꼬인 두 직선의 방향벡터로 각을 구합니다. 13번은 삼수선 정리로 단면에 직각삼각형을 만들어 높이나 점과 평면 사이 거리를 계산합니다.

14번은 정사면체에서 두 평면이 이루는 각을 먼저 구하고, 부분 넓이의 비율을 정한 뒤 정사영 넓이를 계산하는 문항입니다. 각이 주어지지 않으니 이면각부터 직접 구해야 합니다. 21번은 두 단면원과 정사영 삼각형이 만드는 최대 배치를 찾고 이면각을 계산합니다.

5. 공간좌표 (15·16·17·18·19번) — 5문항

15번 중 좌표평면 위로의 정사영, 16번 중 선분의 길이의 합의 최솟값, 17번 중상 같은 거리에 있는 점, 18번 중상 선분의 내분점이 좌표평면 또는 좌표축 위에 있을 때, 19번 중상 좌표평면 또는 좌표축에 접하는 구의 방정식.

16번은 같은 쪽에 있는 두 점 중 하나를 좌표평면에 대해 대칭시켜 최솟값을 구하는 대표 유형입니다. 17번은 좌표축·좌표평면 대칭으로 세 점을 정하고, 그 세 점이 만드는 직각삼각형의 외접원 중심을 찾는 문항입니다.

18번은 내분점·외분점의 성분식을 세우고, 좌표축 위와 좌표평면 위 조건으로 미지수 세 개를 정합니다. 19번은 세 좌표평면에 모두 접하는 구의 중심 위치를 경우별로 따지고, 반지름에 대한 이차방정식의 양의 근을 모두 확인해야 합니다.

주의 문항 — 중상 9문항

9번 중상 (평면벡터의 내적) — 평면벡터 파트의 유일한 중상입니다.

11번 중상 (정팔면체 위치 관계) — 빠뜨리지 않고 세는 것이 관건입니다.

14번 중상 (정사영 넓이) — 이면각을 직접 구해야 합니다.

17·18·19번 중상 (공간좌표) — 세 문항 연속 중상입니다. 대칭점, 내분점, 접하는 구 세 가지 모두 공식만으로는 안 되고 경우를 나눠야 합니다.

20번 중상 (구와 평면) — 범위를 구한 뒤 최대 조건을 찾는 2중 구조입니다.

21번 중상 (정사영과 각) — 최대 배치를 먼저 찾아야 합니다.

22번 중상 (내적의 활용) — 마지막 문항이라 시간이 부족해지기 쉽습니다.

수원 영덕고 고2 2학기 기말 기하 대비 학습 순서

1. 벡터의 성분 연산과 크기 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 세 점이 한 직선 위, 중점 벡터 표현 — 5·7번 대비.
3. 내적 전개와 자취 — 2·6번 대비. 내적 0이면 원.
4. ★ 내적의 최솟값 — 8·22번 대비. 이차식 최소와 원 위 최소.
5. 직선의 방정식과 두 직선의 각 — 3·4번 대비. 절댓값 잊지 않기.
6. 벡터방정식의 직선·원과 최단거리 — 10번 대비.
7. 평행사변형과 내적으로 넓이 — 9번 대비.
8. 정다면체의 위치 관계 세기 — 11번 대비.
9. 꼬인 위치의 각과 삼수선 정리 — 12·13번 대비.
10. ★ 이면각과 정사영 넓이 — 14·21번 대비.
11. 좌표평면 정사영과 대칭 최솟값 — 15·16번 대비.
12. ★ 같은 거리의 점, 내분점, 접하는 구 — 17·18·19번 대비.
13. 구와 평면이 만나는 원 — 20번 대비.

자주 나오는 질문

영덕고 2학년 2학기 기말 기하는 몇 문항인가요?

2025학년 수원 영덕고 기준 22문항입니다. 정답 기록상 22문항 모두 ①~⑤ 번호로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 벡터의 성분과 내적이 6문항으로 가장 많고, 공간도형과 공간좌표가 각 5문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 9문항이고, 그중 17~22번이 연속으로 붙어 있습니다.

경북 영덕군 영덕고와 같은 학교인가요?

아닙니다. 이 글은 경기 수원시 영덕고등학교 분석입니다.

과년도 영덕고 기출도 볼 수 있나요?

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