이의고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

이의고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 정적분 9문항, 도함수의 활용 7문항이 시험의 대부분을 차지합니다. 이 시험에서 가장 자주 나온 유형은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수로, 네 문항이 나왔고 그중 하나는 마지막 서술형 상 문항입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 5 / 상 3
• 배치 단원: 08 정적분 9 / 06 도함수의 활용 (3) 7 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 4회(5·10·14·20번)
• 상 3문항: 16·18번(정적분), 20번(서술형, 실근의 개수)

이의고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

이의고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

배치 단원을 보면 미분 파트(도함수의 활용)와 적분 파트가 함께 나왔습니다. 도함수의 활용 (3) 7문항과 부정적분·정적분·정적분의 활용 13문항입니다. 적분만 준비하고 들어가면 7문항을 놓치게 됩니다.

하 난이도는 1·3·8번 세 문항뿐입니다. 상은 16·18·20번 세 문항으로 하와 같은 수입니다. 중 9문항을 정확히 푸는 것이 기본이고, 뒤쪽 중상·상 8문항에서 등급이 갈립니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 3, 상 3

1~9번은 하와 중만, 10번부터 중상과 상이 나옵니다. 10번 이후 11문항 중 8문항이 중상 이상입니다.

상 3문항은 모두 4단계 풀이입니다(분석표 난이도 근거 기준). 16·18번은 선택형이지만 단계 수는 서술형 20번과 같습니다.

출제 단원 — 정적분 9, 도함수의 활용 7

정적분 9문항이 최다입니다. 정적분의 계산, 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수까지 고르게 나왔고, 상 2문항(16·18번)이 모두 정적분입니다.

도함수의 활용 (3) 7문항은 방정식의 실근의 개수, 부등식, 속도·가속도 문항입니다. 이 가운데 실근의 개수가 4문항입니다.

시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 4회

5·10·14·20번 네 문항이 같은 유형입니다. 난이도는 중 → 중상 → 중상 → 상으로 올라갑니다.

• 5번(중) — 삼차함수의 두 극값 높이를 구하고, 서로 다른 두 실근이 생기는 높이 중 양수인 것을 고릅니다.
• 10번(중상) — 짝수 차수만 있는 사차함수입니다. 두 극솟값의 구조를 정하고, 두 높이에서의 실근 수 합으로 접하는 조건을 찾습니다.
• 14번(중상) — 절댓값이 들어간 함수입니다. 절댓값 안의 부호로 범위를 나누고, 각 범위의 근의 개수를 센 뒤 임계 높이들을 비교합니다.
• 20번(상, 서술형) — 짝수 사차함수를 영점의 개수와 최솟값으로 먼저 결정하고, 추가 근이 생기지 않는 경계를 찾아 최소 양수를 구합니다.

네 문항 모두 "y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점 수" 로 바꿔 보는 것이 출발점입니다. 그래프를 그리고 극값 높이에 선을 그어 보는 습관이 네 문항을 모두 엽니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·2·3·6·7·13·16·18·19번) — 9문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 2번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 3번 하 우함수·기함수의 정적분, 6번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 7번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 13번 중 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 16번 상 두 그래프의 교점의 개수 · 정적분의 계산, 18번 상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 19번 중상(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.

1·3번은 확보 문항입니다. 3번은 홀수 차수 항이 대칭 구간에서 사라지는 성질을 씁니다.

6번은 (1/x)∫ 꼴의 극한입니다. 극한값이 적분하는 함수의 시작점 함숫값이 된다는 성질을 쓰고, 도함수를 적분해 함수를 구합니다. 7번은 접선의 기울기를 적분해 함수를 만들고, 주어진 정적분 값으로 상수를 정합니다.

13번은 구간마다 다르게 정의된 함수입니다. 경계에서 함숫값과 미분계수가 이어진다는 조건으로 계수를 정하고, 옮겨진 구간의 적분을 더합니다.

16번(상)은 구간별로 정의된 함수에서 높이별 교점 수를 따지고, 조건을 만족하는 후보 중 적분값으로 최댓값을 고르는 4단계 문항입니다. 18번(상)은 적분 등식을 미분한 도함수의 영점 구조를 분석하고, 중근 조건과 부호 조건으로 함수를 하나로 정한 뒤 절댓값 적분을 계산합니다.

19번(서술형)은 절댓값이 들어간 변수 적분을 구간별로 다항함수로 바꾸고, 닫힌구간의 양 끝과 극값을 비교해 최댓값과 최솟값의 차를 구합니다. 서술형이므로 비교한 후보값을 모두 적어 두는 것이 감점을 줄입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (4·5·8·10·11·14·20번) — 7문항

4번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도, 5·10·14·20번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 8번 하 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 11번 중 속도·가속도와 운동 방향.

4번은 위로 던진 물체가 다시 돌아오는 시각을 구하고, 그때의 속도와 가속도를 계산합니다. 출발 시각 0과 돌아오는 시각을 구별해야 합니다.

8번은 두 함수의 차가 항상 0 이상일 조건을 최솟값으로 판정하는 1단계 문항입니다.

11번은 운동 방향이 바뀌는 시각을 묻습니다. 속도가 0이 되는 순간이라도 중근이면 부호가 바뀌지 않아 방향이 바뀌지 않는다는 점이 핵심입니다.

3. 정적분의 활용과 부정적분 (9·12·15·17번) — 4문항

9번 중 움직인 거리, 12번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 15번 중상 위치와 위치의 변화량, 17번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

9번은 두 물체의 속도 부호를 확인하고 움직인 거리를 적분으로 나타냅니다. 거리는 속도의 절댓값을 적분한다는 점이 기본입니다.

12번은 증가하는 곡선과 감소하는 직선의 교점이 하나라는 것을 확인한 뒤, 두 넓이의 차를 교점 없이 한 번의 적분으로 처리합니다. 넓이 차 = 정적분이라는 발상이 시간을 크게 줄입니다.

15번은 두 번째로 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾고, 구간별로 부호를 붙여 위치를 계산합니다. 17번은 함수와 부정적분의 관계식에서 최고차항을 비교해 차수를 먼저 정하는 3단계 문항입니다.

주의 문항 — 중상 5문항 + 상 3문항

10번 중상 (사차함수 실근의 개수) — 짝수 함수의 대칭을 활용하세요.

14번 중상 (절댓값 함수 실근의 개수) — 부호 분기를 빠뜨리지 않는 것이 핵심입니다.

15번 중상 (위치의 변화량) — 방향이 바뀌는 시각을 정확히 찾아야 적분 구간이 정해집니다.

16번 상 (교점 개수 + 정적분) — 4단계, 후보를 좁힌 뒤 적분값으로 고릅니다.

17번 중상 (부정적분 관계식) — 차수 결정이 첫 단계입니다.

18번 상 (변수가 들어간 적분 등식) — 미분 후 도함수의 영점 중복 구조를 봐야 합니다.

19번 중상 (서술형, 정적분 함수 최대·최소) — 후보값 비교 과정을 답안에 남기세요.

20번 상 (서술형, 실근의 개수) — 함수 결정부터 경계 조건까지 4단계입니다.

이의고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 다항함수 정적분과 우함수·기함수 — 1·3번. 확보 구간.
2. 부등식이 항상 성립할 조건 — 8번. 확보 구간.
3. 위로 던진 물체, 속도·가속도와 운동 방향 — 4·11번 대비. 중근 주의.
4. 정적분을 포함한 등식(상수 끝, 변수 끝) — 2·7번 대비.
5. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 6번 대비.
6. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 13번 대비.
7. 움직인 거리, 넓이의 차 — 9·12번 대비.
8. ★ f(x)=k 실근의 개수 — 5·10·14·20번. 삼차 → 사차 → 절댓값 순서로.
9. 위치의 변화량 — 15번 대비.
10. 부정적분 관계식의 차수 결정 — 17번 대비.
11. 정적분 함수의 최대·최소(서술형) — 19번 대비.
12. 교점 개수와 변수 적분 등식(상) — 16·18번 대비.

자주 나오는 질문

이의고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 9문항이 가장 많고, 도함수의 활용 (3) 7문항, 정적분의 활용 3문항, 부정적분 1문항입니다.

미분 단원도 나오나요?

네. 도함수의 활용 (3)이 7문항 나왔습니다. 실근의 개수 4문항, 위로 던진 물체 1문항, 부등식 1문항, 운동 방향 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16·18·20번 세 문항입니다. 16·18번은 정적분, 20번은 서술형 실근의 개수 문항입니다.

과년도 이의고 기출도 볼 수 있나요?

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