영덕고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 경기 수원시)

이 글은 경기 수원시 영덕고등학교의 시험 분석입니다. 경상북도 영덕군에도 이름이 같은 영덕고가 있으니 학교를 꼭 확인하세요.

수원 영덕고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 도함수의 활용 후반부부터 정적분의 활용까지 나왔습니다. 결론부터 말하면 어려운 시험입니다. 21문항 중 14문항이 중상이고, 하 난이도는 2번 한 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록상 전 문항 ①~⑤
• 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 14 / 상 0
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 7 / 정적분의 활용 6 / 정적분 4 / 도함수의 활용 (3) 3 / 부정적분 1
• 복수 출제 유형: 삼차함수가 증가하기 위한 조건(7·9번), 정적분을 포함한 등식(14·21번)
• 16~21번 여섯 문항 연속 중상

수원 영덕고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

영덕고등학교(school_id 1217)는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록상 21문항 모두 ①~⑤ 번호로 적혀 있습니다.

단원을 크게 나누면 미분 파트(도함수의 활용 (2)·(3)) 10문항, 적분 파트(부정적분, 정적분, 정적분의 활용) 11문항입니다. 거의 반반입니다. 단일 단원으로는 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 최다, 정적분의 활용이 6문항으로 뒤를 잇습니다.

문항 배치는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1번이 정적분, 2번이 속도·가속도, 3번이 극대·극소, 4번이 넓이입니다. 미분과 적분이 처음부터 끝까지 섞여 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 14문항

하와 중을 합쳐 7문항입니다. 이 일곱 문항 중 15번을 빼면 모두 1~7번 안에 있습니다. 5번이 이미 중상이고, 8번부터는 15번 하나만 빼고 전부 중상입니다.

상 난이도는 없지만, 중상 14문항이 대부분 3단계 풀이입니다. 한 문항에 오래 붙잡히면 뒤에서 시간이 모자랍니다. 5번을 뺀 1~7번과 15번을 실수 없이 빠르게 처리하는 것이 이 시험의 첫 번째 과제입니다.

출제 단원 — 미분 10, 적분 11

정적분 4문항 중 3문항(14·16·21번)이 중상, 정적분의 활용 6문항 중 5문항이 중상입니다. 적분 파트 11문항 중 중 이하는 1번과 4번 두 문항뿐입니다. 적분 쪽이 더 어렵게 나왔습니다.

시그니처 유형 — 같은 유형이 미분과 적분에 걸쳐

두 번 나온 유형은 두 가지입니다.

• 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 — 7번(중), 9번(중상)
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 14번, 21번(둘 다 중상)

7번은 삼차함수가 실수 전체에서 증가하려면 도함수가 0 이상이어야 한다는 조건으로 중근을 결정하고, 부정적분으로 목표값을 구합니다. 9번은 같은 조건을 역함수가 존재할 조건으로 쓰고, 그 함수를 평행이동한 그래프와 직선의 교점을 찾아 넓이까지 구합니다. 미분 조건이 적분 문항의 출발점이 된 구조입니다.

14번과 21번은 정적분으로 정의된 함수를 다룹니다. 14번은 차수를 제한하고 대칭 구간 적분 조건으로 상수항을 정리하는 문항이고, 21번은 절댓값이 들어간 곱함수가 실수 전체에서 미분가능할 조건과 적분으로 정의된 함수의 영점을 함께 따지는 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (3·5·6·7·10·12·17번) — 7문항

3번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 중상 도함수의 그래프의 해석 (응용), 6번 중 최대·최소의 활용; 부피, 7번 중 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 10번 중상 함수의 극대·극소의 활용, 12번 중상 함수의 최대·최소, 17번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 갖지 않을 조건.

3번은 극대점과 극소점으로 도함수의 계수를 정하고, 극솟값으로 상수를 구해 극댓값을 계산하는 기본형입니다. 6번은 내접하는 원기둥의 부피를 높이에 대한 함수로 세우고 최대가 되는 높이를 구합니다.

5번은 도함수 그래프에서 부호가 바뀌는 구간을 모두 읽어 증감과 극값에 관한 보기를 판정하는 문항입니다. 10번은 절댓값이 붙은 함수가 미분가능하지 않은 점의 조건과 사차함수 그래프와 수평선의 교점 개수를 함께 따지는 문항입니다. 17번은 사차함수의 실근 중복도를 경우별로 나눠 극솟값이 없는 경우를 찾는 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·15·18번) — 3문항

2번 하 속도·가속도와 운동 방향, 15번 중 시각에 대한 길이의 변화율, 18번 중상 두 그래프의 교점의 개수.

2번은 위치를 미분해 속도, 한 번 더 미분해 가속도를 구하는 이 시험의 유일한 하 난이도입니다. 15번은 가로등과 그림자 상황에서 닮음으로 그림자 길이를 식으로 세우고 시각에 대해 미분합니다. 가로등 쪽으로 걸어갈 때 부호가 음수가 되는 점을 확인해야 합니다. 18번은 절댓값이 있는 방정식을 구간별로 나눠 실근을 세는 문항입니다.

3. 부정적분 (11번) — 1문항, 중상

11번 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

관계식을 미분해 함수의 차수와 계수를 정하고, 나머지 조건으로 적분상수를 구한 뒤 극댓값까지 계산하는 3단계 문항입니다.

4. 정적분 (1·14·16·21번) — 4문항

1번 중 우함수·기함수의 정적분, 14번 중상 정적분을 포함한 등식; 끝에 변수가 있는 경우, 16번 중상 정적분을 포함한 등식; 끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 21번 중상 정적분을 포함한 등식 · 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

1번은 적분 구간을 합친 뒤 대칭 구간에서 홀수 차수 항이 사라지는 성질로 계산합니다. 16번은 피적분함수 안에 x가 있으니 먼저 전개해서 x를 적분 기호 밖으로 빼고, 주어진 값으로 계수를 정한 뒤 미분적분학의 기본정리로 마무리합니다.

5. 정적분의 활용 (4·8·9·13·19·20번) — 6문항

4번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 8번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 9번 중상 삼차함수가 증가하기 위한 조건 · 곡선과 직선 사이의 넓이, 13번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 19번 중상 접선의 방정식 · 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 20번 중상 삼차방정식의 근의 판별 · 두 곡선 사이의 넓이.

8번은 속도 그래프의 넓이를 부호를 살려 계산하고, 정지한 시각과 운동 방향이 바뀌는 시각을 구별해 보기를 판정합니다. 멈췄다고 방향이 바뀌는 것은 아니라는 점이 함정입니다. 13번은 두 넓이가 같다는 조건을 하나의 정적분 값이 0이라는 식으로 바꾸는 대표 유형입니다.

19번은 접선의 기울기 조건과 수직인 직선으로 두 접점을 구하고, 두 접선의 교점으로 영역을 나눠 넓이를 구합니다. 앞 단원인 접선의 방정식이 함께 나왔습니다. 20번은 두 곡선의 차를 인수분해해 중근이 생기는 경우를 따진 뒤 넓이를 구하는 문항입니다.

주의 문항 — 중상 14문항 중 특히

5번 중상 (도함수의 그래프 해석) — 앞자리 중상이라 시간 배분의 첫 고비입니다.

8번 중상 (위치와 움직인 거리) — 정지와 방향 전환을 구별해야 합니다.

10번 중상 (절댓값 함수의 미분가능성) — 미분불가능한 점의 조건을 정확히 알아야 합니다.

17번 중상 (사차함수 극값 조건) — 경우를 빠짐없이 나눠야 합니다.

21번 중상 (정적분 등식 + 미분가능성) — 마지막 문항으로 두 개념이 겹쳐 있습니다.

수원 영덕고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 속도·가속도 — 2번 대비. 확보 구간.
2. 극대·극소로 미정계수 구하기 — 3번 대비.
3. 최대·최소 활용(부피), 길이의 변화율 — 6·15번 대비.
4. ★ 삼차함수가 증가할 조건 — 7·9번 대비. 도함수 0 이상, 판별식.
5. 도함수 그래프 읽기 — 5번 대비. 부호 구간 표 만들기.
6. 절댓값 함수의 미분가능성과 교점 개수 — 10·18번 대비.
7. 사차함수의 극값과 중근 — 17번 대비.
8. 부정적분 관계식 — 11번 대비.
9. 대칭 구간 정적분 — 1번 대비.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수 — 14·16·21번 대비. 미분해서 식 만들기.
11. 곡선과 x축, 두 곡선 사이 넓이 — 4·13·20번 대비.
12. 위치와 움직인 거리 — 8번 대비.
13. 접선과 넓이 — 19번 대비. 접선의 방정식 복습.

자주 나오는 질문

영덕고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 수원 영덕고 기준 21문항입니다. 정답 기록상 21문항 모두 ①~⑤ 번호로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 7문항, 정적분의 활용이 6문항입니다. 미분 파트 10문항, 적분 파트 11문항으로 거의 반반입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 14문항으로 전체의 3분의 2입니다. 특정 한 문항이 아니라 시험 전체가 높은 수준입니다.

경북 영덕군 영덕고와 같은 학교인가요?

아닙니다. 이 글은 경기 수원시 영덕고등학교 분석입니다.

과년도 영덕고 기출도 볼 수 있나요?

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