조원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

조원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 도함수의 활용 10문항, 적분 10문항으로 미분과 적분이 정확히 반반입니다. 상 난이도는 없지만 중상이 7문항이고, 11번 이후에 몰려 있습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형
• 난이도: 하 4 / 중 9 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 3 / 09 정적분의 활용 3
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(3·17·18번)
• 가장 까다로운 구간: 13~18번 여섯 문항 중 다섯 문항이 중상

조원고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

조원고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) 10문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용 10문항입니다. 2학기 기말이지만 극대·극소와 그래프 분석 같은 미분 단원이 절반을 차지합니다.

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 대신 중상이 7문항으로 시험의 3분의 1을 넘습니다. 손을 못 댈 문항은 없지만, 3단계 풀이를 끝까지 정확하게 해내는 힘이 필요한 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 7문항, 상 0문항

1~10번에는 중상이 없습니다. 하 3문항(1·4·8번)과 중 7문항입니다.

11번부터 18번까지 8문항 중 6문항이 중상입니다. 12·15번만 중입니다. 분석표 기준으로 중상 7문항은 모두 3단계 풀이입니다.

서술형 두 문항은 난이도가 극단적으로 갈립니다. 19번은 하(1단계), 20번은 중상(3단계)입니다. 19번은 반드시 확보하고, 20번은 남은 시간에 맞춰 풀이 과정을 최대한 써야 합니다.

출제 단원 — 미분 10, 적분 10

도함수의 활용 (3)이 6문항으로 최다입니다. 실근의 개수, 교점의 개수, 삼차방정식의 근의 판별, 속도·가속도, 위로 던진 물체까지 다양한 활용이 나왔습니다.

도함수의 활용 (2) 4문항은 극대·극소, 증가·감소, 최대·최소의 활용입니다. 이 단원에는 중상이 없습니다.

적분 쪽은 부정적분 3, 정적분 4, 정적분의 활용 3으로 고르게 나뉘었습니다.

시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 3회

3·17·18번이 방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 물었습니다. 여기에 두 그래프의 교점의 개수(16번)와 삼차방정식의 근의 판별(13번) 까지 더하면, 그래프와 직선의 교점을 세는 문항이 다섯 개입니다.

• 3번(중) — 삼차함수의 두 극값 높이를 구하고, 그 사이 열린 범위에 들어가는 정수 k의 개수를 셉니다. 극값 높이에서는 중근이 생기므로 제외합니다.
• 17번(중상) — 절댓값이 들어간 함수입니다. 절댓값 안의 부호로 범위를 나누고, 서로 다른 세 실근을 갖는 정수 높이의 조건을 구합니다.
• 18번(중상) — 도함수의 그래프가 그림으로 주어지고, 두 함숫값으로 사차함수를 결정한 뒤, 절댓값을 씌운 함수에서 서로 다른 다섯 실근이 생기는 높이를 찾습니다.

세 문항 모두 극값의 높이가 경계입니다. 극값을 정확히 계산하고, 경계에서 근이 몇 개인지(중근 포함 여부)를 따지는 연습이 핵심입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·7·8·12번) — 4문항

1번 하 함수의 극대·극소, 7번 중 함수의 그래프와 증가·감소, 8번 하 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 12번 중 최대·최소의 활용; 부피.

1번은 도함수의 부호가 음에서 양으로 바뀌는 점에서 극솟값을 구하는 1단계 문항입니다.

8번은 도함수의 그래프가 주어지는 보기형입니다. 도함수가 x축을 뚫고 지나가는 점에서는 극값이 생기고, x축에 접하기만 하는 점에서는 부호가 바뀌지 않아 극값이 아니라는 점을 구별해야 합니다.

7번은 그래프 그림에서 부호가 정해지는 구간을 읽고, 그 열린구간 안의 정수를 판별합니다.

12번은 구에 내접하는 원뿔의 부피 최댓값입니다. 원뿔의 높이로 부피 함수를 세우고, 밑면이 구의 중심보다 위에 있는 경우와 아래에 있는 경우를 모두 포함한 범위에서 최댓값을 찾습니다.

2. 도함수의 활용 (3) (3·9·13·16·17·19번) — 6문항

3·17번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 9번 중 속도·가속도와 운동 방향, 13번 중상 삼차방정식의 근의 판별, 16번 중상 두 그래프의 교점의 개수, 19번 하(서술형) 위로 던진 물체의 위치와 속도.

9번은 속력의 최댓값을 묻습니다. 속력은 속도의 절댓값이므로, 정의역의 양 끝과 속도의 극값을 모두 비교해야 합니다. 운동 방향은 속도의 부호가 바뀌는 점에서 바뀝니다.

13번은 극소가 되는 위치로 도함수의 꼴을 정하고, 중근이 생기는 경우를 판별식으로 따지는 3단계 문항입니다.

16번은 범위에 따라 다르게 정의된 함수와 직선의 교점입니다. 주어진 두 근으로 삼차식을 세우고, 양수인 근이 하나뿐이라는 조건으로 중근을 결정합니다.

19번 서술형은 위로 던진 물체의 최고 높이를 구하는 1단계 문항입니다. 속도가 0인 시각을 구해 위치 식에 대입합니다. 서술형이니 속도 식, 시각, 대입 결과를 순서대로 쓰세요.

3. 부정적분과 정적분 (2·5·6·10·14·15·18번) — 7문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 5번 중 부정적분과 접선의 기울기, 6번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 10번 중 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 15번 중 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 18번 중상 실근의 개수 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

2번과 5번은 적분상수를 정하는 문항입니다. 2번은 초기값, 5번은 곡선이 지나는 점으로 적분상수를 결정합니다.

6번은 끝이 상수인 정적분이 하나의 상수라는 점을 이용합니다. 상수로 놓고 다시 적분해서 값을 구합니다.

10번은 적분 방향을 바꿔 하나로 합친 뒤 약분하는 문항입니다. 피적분함수를 합치면 분모가 약분되어 다항식 적분이 됩니다.

14번은 극한이 유한하려면 분자가 0이 되어야 한다는 조건에서 출발합니다. 미분계수의 정의로 적분값을 구하는 3단계 문항입니다.

15번은 구간마다 반복되는 꼴로 정의된 함수입니다. 경계에서 함숫값과 좌우 미분계수가 같다는 조건으로 기본 함수를 정하고, 옮겨진 구간의 적분을 더합니다.

4. 정적분의 활용 (4·11·20번) — 3문항

4번 하 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 11번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 20번 중상(서술형) 곡선과 직선 사이의 넓이.

4번은 속도 그래프와 시간축 사이의 넓이를 모두 더해 움직인 거리를 구합니다.

11번은 도함수의 그래프와 x축 사이 넓이가 극댓값과 극솟값의 차와 같다는 점을 이용합니다. 이 관계로 계수를 정하고, 적분상수를 구한 뒤 넓이 조건을 맞춥니다.

20번 서술형은 그림의 두 영역 넓이 조건을 다룹니다. 삼각형 전체 넓이와 두 영역의 관계로 넓이를 정하고, 교점을 매개변수로 놓아 적분식을 세운 뒤 양수 계수를 구합니다.

주의 문항 — 중상 7문항

11번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 도함수 넓이 = 극값의 차라는 연결을 알아야 합니다.

13번 중상 (삼차방정식의 근의 판별) — 중근 경우를 빠짐없이 따져야 합니다.

14번 중상 (정적분 함수의 극한) — 분자 0 조건이 출발점입니다.

16번 중상 (두 그래프의 교점) — 양수인 근이 하나라는 조건에서 중근을 끌어냅니다.

17번 중상 (절댓값 함수의 실근) — 절댓값 안의 부호 분기를 모두 확인하세요.

18번 중상 (도함수 그림 + 실근의 개수) — 사차함수 결정과 절댓값 그래프 해석이 이어집니다.

20번 중상 (서술형, 넓이) — 그림 해석, 적분식 세우기, 계수 결정 순서로 답안을 구성하세요.

조원고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 극대·극소와 도함수 그래프 해석 — 1·8번. 확보 구간.
2. 속도 그래프와 움직인 거리, 위로 던진 물체 — 4·19번. 확보 구간.
3. 증가·감소 구간 읽기 — 7번 대비.
4. 적분상수 결정 — 2·5번 대비.
5. 끝이 상수인 정적분 등식 — 6번 대비.
6. 적분 구간 합치기와 약분 — 10번 대비.
7. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 15번 대비.
8. 속력의 최댓값과 운동 방향 — 9번 대비.
9. 원뿔 부피 최대(최대·최소 활용) — 12번 대비.
10. ★ f(x)=k 실근의 개수와 교점의 개수 — 3·16·17·18번. 극값 높이가 경계.
11. 삼차방정식의 근의 판별 — 13번 대비.
12. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 14번 대비.
13. 도함수 그래프와 넓이, 넓이 조건 서술형 — 11·20번 대비.

자주 나오는 질문

조원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3) 6문항이 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (2) 4문항, 정적분 4문항, 부정적분 3문항, 정적분의 활용 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 7문항(11·13·14·16·17·18·20번)으로 많습니다.

서술형은 어렵나요?

19번은 하, 20번은 중상입니다. 19번은 위로 던진 물체의 최고 높이, 20번은 곡선과 직선 사이의 넓이 문항입니다.

과년도 조원고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

조원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기출 받아보기

2025학년 조원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.

📚 조원고 전체 기출이 궁금하다면?

👉 내신판에서 조원고등학교 기출 전체 보기

가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.

(경기 수원시 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)