천천고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

천천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 함수의 극대·극소부터 정적분의 활용까지 나왔습니다. 이 시험은 앞과 뒤가 뚜렷하게 갈립니다. 하 7문항이 모두 1~11번 안에 있고, 중상 6문항은 16번과 18~22번에 모여 있습니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록상 1~18번은 ①~⑤, 19~22번은 수치형 답
• 난이도: 하 7 / 중 9 / 중상 6 / 상 0
• 배치 단원: 정적분 8 / 도함수의 활용 (3) 5 / 정적분의 활용 4 / 도함수의 활용 (2) 4 / 부정적분 1
• 가장 까다로운 구간: 18~22번 다섯 문항 연속 중상
• 같은 유형이 두 번 나온 경우 없음 — 22문항에 서로 다른 유형이 고르게

천천고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

천천고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 번호, 19~22번 네 문항은 수치형 답으로 적혀 있습니다.

단원을 크게 나누면 미분 파트(도함수의 활용 (2)·(3)) 9문항, 적분 파트(부정적분, 정적분, 정적분의 활용) 13문항입니다. 적분 쪽이 더 많고, 특히 정적분 단원 하나에서 8문항이 나왔습니다.

같은 수원시의 영덕고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ(2025)와 비교하면 성격이 많이 다릅니다. 영덕고는 21문항 중 중상이 14문항, 하가 1문항이었는데, 천천고는 22문항 중 중상 6문항, 하 7문항입니다. 천천고는 기본 문항으로 점수를 쌓고 뒤쪽 여섯 문항에서 변별하는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 7, 중 9, 중상 6

1~11번 중 하가 7문항입니다. 정적분 계산, 속도·가속도, 극댓값 같은 교과서 기본 문항이 앞에 모여 있습니다. 여기서는 한 문항도 놓치면 안 됩니다.

12~17번은 16번을 빼면 모두 중입니다. 그리고 18~22번이 다섯 문항 연속 중상입니다. 수치형 답 19~22번이 모두 이 구간에 있으니, 앞에서 시간을 아껴 마지막 다섯 문항에 충분히 남겨야 합니다.

출제 단원 — 정적분 8문항

정적분 8문항 중 4문항(2·6·10·11번)이 하입니다. 구간이 같은 적분 합치기, 절댓값 적분, 상수로 놓고 다시 적분하기, 미적분의 기본정리처럼 계산 규칙을 묻는 문항입니다. 반면 19·22번은 정적분 단원의 중상으로, 정적분으로 정의된 함수를 깊이 다룹니다.

시그니처 구간 — 수치형 답 19~22번

이 시험의 승부처는 19~22번 네 문항입니다. 넷 다 중상이고 정답이 수치로 기록되어 있습니다. 문항마다 두 단원 이상이 겹쳐 있다는 공통점이 있습니다.

• 19번 두 그래프의 교점의 개수 · 정적분을 포함한 등식(끝과 피적분함수에 변수)
• 20번 사차함수가 극값을 가질 조건 · 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건
• 21번 함수의 극대·극소의 활용
• 22번 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소

19번은 적분이 들어간 방정식을 인수분해해 항상 중근이 되는 부분과 남은 이차식으로 나누고, 서로 다른 근이 정확히 두 개가 되는 경우를 따지는 문항입니다. 20번은 모든 실수에서 성립하는 부등식 조건으로 삼차함수 근의 중복도를 정하고, 절댓값이 붙은 함수가 미분가능하지 않은 점과 차수로 사차함수의 꼴을 결정합니다.

21번은 두 식 중 하나를 골라 정의된 함수에서 교점과 미분가능성을 따지는 문항이고, 22번은 적분으로 정의된 함수의 극값 조건으로 삼차함수가 같은 함숫값을 갖는 세 점을 찾는 문항입니다. 모두 3단계 풀이입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (8·9·17·21번) — 4문항

8번 하 함수의 극대·극소, 9번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 17번 중 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 21번 중상 함수의 극대·극소의 활용.

8번은 도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점에서 극댓값을 구하는 기본형입니다. 9번은 구간의 양 끝과 안쪽의 극점을 비교해 최대·최소 위치를 정하고 두 조건으로 계수를 구합니다. 17번은 어떤 구간에서 증가하고 다른 구간에서 감소할 조건을 도함수의 끝점 값으로 세우고, 두 부등식을 함께 만족하는 자연수 순서쌍을 셉니다.

2. 도함수의 활용 (3) (3·4·12·14·20번) — 5문항

3번 하 가속도, 4번 하 속도·가속도와 운동 방향, 12번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 14번 중 접선의 개수, 20번 중상 사차함수 극값 조건 · 부등식이 항상 성립할 조건.

3번은 위치를 두 번 미분해 가속도, 4번은 속도가 0이 되는 시각 앞뒤로 부호가 바뀌는지 확인해 운동 방향을 판단합니다. 14번은 접점을 문자로 두고 접선이 지나는 조건을 삼차식으로 세운 뒤, 그 삼차식의 극값 사이 범위로 접선이 세 개가 되는 조건을 구합니다.

3. 부정적분 (1번) — 중

1번 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기. 도함수를 적분하고 주어진 함숫값으로 적분상수를 정합니다.

4. 정적분 (2·6·10·11·13·15·19·22번) — 8문항

2번 하 적분 구간이 같은 경우, 6번 하 절댓값 기호를 포함한 함수, 10번 하 정적분을 포함한 등식; 끝이 상수인 경우, 11번 하 미적분의 기본정리, 13번 중 주기함수의 정적분, 15번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 19·22번 중상.

6번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 적분합니다. 10번은 정적분 값을 상수로 놓고, 그 상수를 넣은 식을 다시 적분해 상수를 구하는 대표 유형입니다.

13번은 우함수에서 홀수 차수 항이 사라지는 성질과, 주기함수는 한 주기 길이의 구간이면 어디서 적분해도 값이 같다는 성질을 함께 씁니다. 15번은 극한이 존재하려면 분자가 0이 되어야 한다는 조건과 미분계수의 정의를 정적분과 연결합니다.

5. 정적분의 활용 (5·7·16·18번) — 4문항

5번 중 두 곡선 사이의 넓이, 7번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 16번 중상 움직인 거리, 18번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건.

7번은 속도 그래프의 넓이로 처음 방향이 바뀌는 위치를 찾고, 전체 움직인 거리는 넓이의 절댓값을 모두 더해 구합니다. 위치와 움직인 거리를 헷갈리지 않는 것이 핵심입니다.

16번은 두 점의 속도를 적분해 위치의 차를 식으로 만들고, 정지 시각을 기준으로 구간을 나눠 총 이동 거리를 구하는 문항입니다. 18번은 원점에서 접하고 두 점에서 만나는 조건으로 두 그래프의 차를 인수 꼴로 세운 뒤, 넓이가 같다는 조건으로 좌표를 정합니다.

주의 문항 — 중상 6문항

16번 중상 (움직인 거리) — 12~17번 중 유일한 중상이라 의외의 자리에서 시간을 씁니다.

18번 중상 (넓이가 같을 조건) — 그래프 차의 인수 꼴을 먼저 정해야 합니다.

19번 중상 (적분 방정식과 교점 개수) — 인수분해가 출발점입니다.

20번 중상 (사차함수 극값 + 부등식) — 근의 중복도와 미분가능성을 동시에 다룹니다.

21번 중상 (극대·극소의 활용) — 두 식이 바뀌는 지점의 미분가능성을 따져야 합니다.

22번 중상 (적분으로 정의된 함수의 극값) — 마지막 문항으로 세 단계를 끝까지 이어가야 합니다.

천천고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산(같은 구간, 절댓값) — 2·6번 대비. 확보 구간.
2. 미적분의 기본정리, 끝이 상수인 적분 등식 — 10·11번 대비. 확보 구간.
3. 속도·가속도와 운동 방향 — 3·4번 대비.
4. 극대·극소와 최대·최소로 계수 구하기 — 8·9번 대비.
5. 부정적분으로 함수 복원 — 1번 대비.
6. 두 곡선 사이 넓이, 위치와 움직인 거리 — 5·7·16번 대비.
7. 주기함수·우함수 정적분 — 13번 대비.
8. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 15번 대비.
9. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 12번 대비.
10. 접선의 개수 — 14번 대비. 접점을 문자로 두기.
11. 구간별 증가·감소 조건 — 17번 대비.
12. ★ 넓이가 같을 조건 — 18번 대비.
13. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극값·교점 — 19·22번 대비.
14. ★ 근의 중복도와 미분가능성 — 20·21번 대비.

자주 나오는 질문

천천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록상 1~18번은 ①~⑤ 번호, 19~22번은 수치형 답입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (3) 5문항, 정적분의 활용과 도함수의 활용 (2)가 각 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 6문항(16·18·19·20·21·22번)이고, 그중 다섯 문항이 18번 이후에 몰려 있습니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

정적분 계산부터입니다. 하 7문항 중 4문항이 정적분 단원이고, 뒤쪽 19·22번도 정적분입니다. 기본 계산과 정적분으로 정의된 함수를 함께 다져야 합니다.

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