태장고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
태장고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 도함수의 활용 8문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용 12문항이 나왔습니다. 이 시험의 특징은 중상 8문항에 상 1문항까지, 어려운 문항이 9개라는 점입니다. 하 난이도는 세 문항뿐입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형
- 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 8 / 상 1
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 2 / 05 도함수의 활용 (2) 2
- 최다 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수) 3회(2·11·17번)
- 가장 까다로운 문항: 18번 상(그래프와 정적분으로 정의된 함수)
태장고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
태장고등학교는 경기 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 식과 과정을 쓰는 서술형입니다.
단원으로 묶으면 도함수의 활용(05·06 단원) 8문항, 적분(07·08·09 단원) 12문항입니다. 08 정적분과 06 도함수의 활용 (3)이 각 6문항으로 공동 1위입니다.
배치는 미분과 적분이 섞여 있습니다. 1·2번이 정적분, 3~5번이 도함수의 활용, 6번이 정적분의 활용, 7번이 부정적분입니다. 단원 순서대로 나오지 않으니 단원별 풀이 방식을 빠르게 바꿔야 합니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 9문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 15% | 1·3·19 |
| 중 | 8 | 40% | 2·4·5·6·8·9·10·12 |
| 중상 | 8 | 40% | 7·11·13·14·15·16·17·20 |
| 상 | 1 | 5% | 18 |
중상과 중이 각 8문항으로 같습니다. 하 난이도는 1·3번과 서술형 19번뿐입니다.
중상이 처음 나오는 곳이 7번입니다. 앞쪽에 있는 중상 문항이라 시간을 뺏기기 쉽습니다. 그리고 13~18번은 여섯 문항 연속 중상 이상입니다. 18번 상 문항까지 이어지는 구간이라, 1~12번에서 중 문항을 빠르게 처리해야 이 구간에 시간을 쓸 수 있습니다.
서술형 두 문항은 성격이 다릅니다. 19번은 하, 20번은 중상입니다. 19번은 반드시 맞혀야 하는 문항입니다.
출제 단원 — 정적분 6, 도함수의 활용 (3) 6
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 1·2·11·16·17·18 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 3·4·5·9·15·20 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 6·8·10·14 |
| 07 부정적분 | 2 | 7·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 12·13 |
08 정적분 6문항 중 4문항이 중상 이상(11·16·17번 중상, 18번 상)입니다. 이 시험의 고난도는 정적분 단원에 몰려 있습니다.
06 도함수의 활용 (3) 은 방정식·부등식·속도 문항이 모인 단원입니다. 6문항 중 3번은 하, 15·20번은 중상입니다.
시그니처 유형 — 정적분을 포함한 등식 3회
정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우) 이 2·11·17번 세 문항에서 나왔습니다. 난이도는 2번 중, 11번 중상, 17번 중상입니다.
- 2번 중 — 아래끝을 대입하면 적분값이 0이 된다는 점으로 상수를 정하고, 양변을 미분해 함숫값을 구하는 2단계.
- 11번 중상 — 양변을 미분해 함수의 형태를 정한 뒤, 아래끝 대입과 고정된 적분값을 다시 대입해 상수를 정하는 3단계.
- 17번 중상 — 미분가능성으로 일차함수를 정하고, 구간을 정수 단위로 나눈 적분으로 바꿔 목표 적분값을 구하는 3단계.
세 문항 모두 출발점은 같습니다. 아래끝(또는 위끝)을 대입하면 적분이 0이 되고, 양변을 미분하면 적분 기호가 사라진다. 이 두 가지를 손에 익히면 세 문항의 첫 단계가 열립니다.
여기에 속도·가속도와 운동 방향이 9번(중), 15번(중상)으로 두 번 나왔습니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분 (1·2·11·16·17·18번) — 6문항
1번 하 우함수·기함수의 정적분, 2번 중 정적분을 포함한 등식, 11번 중상 정적분을 포함한 등식, 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 17번 중상 정적분을 포함한 등식, 18번 상 그래프와 정적분으로 정의된 함수.
1번은 대칭 구간에서 홀수차항을 지우고 짝수차항만 적분하는 한 단계 문항입니다.
16번은 두 개의 극한 조건으로 이차함수의 값을 정하고, 적분 조건을 연립해 계수 후보를 찾은 뒤 실근이 없다는 조건으로 하나를 고르는 3단계 문항입니다.
18번이 이 시험에서 유일한 상 문항입니다. 주어진 함수의 반복 구조로 구간별 함수와 적분을 식으로 정하고, 절댓값이 들어간 적분의 영점 조건을 판별한 뒤, 조건을 만족하는 매개변수를 찾아 적분값을 계산하는 4단계입니다. 시간이 부족하면 마지막에 돌아오는 것도 방법입니다.
2. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식·속도 (3·4·5·9·15·20번) — 6문항
3번 하 위로 던진 물체의 위치와 속도, 4번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 5번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 9번 중 속도·가속도와 운동 방향, 15번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 20번 중상(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
3번은 높이 식에서 시간을 구해 속도 식에 대입하는 한 단계 문항입니다.
4번은 삼차함수 그래프와 직선의 높이를 비교해 실근의 부호 조건을 정하고, 경계에서 중근이 되는 경우를 빼고 정수 높이를 더합니다.
5번은 두 함수의 차를 사차함수로 놓고 전체 최솟값을 구하는 문항입니다.
15번은 속도가 0이 되는 시점으로 운동 방향이 바뀌는 조건을 정하고, 위치 함수의 판별식 조건으로 자연수를 하나로 정한 뒤 위치를 계산하는 3단계입니다.
20번 서술형은 기본 구간에서 극값과 근을 구하고, 반복되는 구조를 이용해 높이별 교점 수를 따져 모든 k 값을 찾는 3단계 문항입니다. 경계값을 하나도 빠뜨리지 않는 것이 감점을 막는 길입니다.
3. 정적분의 활용 (6·8·10·14번) — 4문항
6번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 8번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(그래프 꼴), 10번 중 움직인 거리, 14번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우).
6번은 속도 그래프의 넓이로 위치와 거리를 정하고, 부호가 바뀌는 점에서 보기를 하나씩 판정합니다.
10번은 원점으로 돌아온다는 조건(변위 = 0) 으로 속도의 상수를 정하고, 속도가 0인 시점에서 구간을 나눠 움직인 거리를 계산합니다. 위치의 변화량과 움직인 거리의 차이를 정확히 알아야 합니다.
14번은 그래프가 x축 위아래로 나뉘는 영역을 판별하고, 적분 방향에 따라 부호를 정한 뒤 절댓값으로 넓이를 계산하는 3단계입니다.
4. 부정적분 (7·19번) — 2문항
7번 중상 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소 / 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 19번 하(서술형) 부정적분과 미분의 관계.
7번은 도함수 그래프와 극값 조건으로 도함수의 계수를 정하고, 부정적분과 초깃값으로 원래 함수를 복원하는 3단계 문항입니다. 앞쪽 7번에 놓인 중상이라는 점을 기억하세요.
19번은 부정적분에 초깃값을 대입해 적분상수를 정하는 한 단계 서술형입니다.
5. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소와 최대·최소 (12·13번) — 2문항
12번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 중상 함수의 최대·최소.
12번은 도함수의 대칭성과 극점으로 삼차함수의 계수 관계를 정하고, 두 극값의 차로 최고차항 계수를 구합니다.
13번은 움직이는 구간에서의 최솟값을 구간의 위치에 따라 나눠 구하고, 그 값이 최대가 되는 시점을 찾는 3단계 문항입니다.
주의 문항 — 중상 8문항, 상 1문항
7번 중상 — 도함수 그래프에서 원래 함수를 복원하는 문항. 앞쪽에 있습니다.
11·17번 중상 — 정적분을 포함한 등식. 미분과 대입의 순서가 중요합니다.
13번 중상 — 움직이는 구간의 최대·최소. 경우 나누기가 필요합니다.
14번 중상 — 넓이의 부호 판별.
15번 중상 — 운동 방향과 위치.
16번 중상 — 정적분으로 정의된 함수의 극한과 계수 결정.
18번 상 — 4단계 문항. 이 시험의 최고 난도입니다.
20번 중상(서술형) — 실근의 개수와 경계값 판별.
태장고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 우함수·기함수의 정적분 — 1번 대비. 확보 구간.
- 부정적분과 적분상수 — 19번 서술형 대비. 확보 구간.
- 위로 던진 물체의 위치와 속도 — 3번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식 — 2·11·17번 대비. 아래끝 대입과 양변 미분.
- 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 16번 대비.
- 속도 그래프와 위치·움직인 거리 — 6·10번 대비. 변위와 거리 구분.
- 곡선과 x축 사이 넓이 — 8·14번 대비. 부호 판별.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 9·15번 대비.
- 실근의 부호와 개수 — 4·20번 대비. 그래프와 직선의 높이 비교.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 5번 대비. 차함수의 최솟값.
- 극대·극소와 미정계수 — 12번 대비.
- 도함수 그래프로 함수 복원 — 7번 대비.
- 움직이는 구간의 최대·최소 — 13번 대비.
- 그래프와 정적분으로 정의된 함수 — 18번 대비. 마지막 단계.
자주 나오는 질문
태장고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분과 06 도함수의 활용 (3)이 각 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 09 정적분의 활용 4문항, 07 부정적분 2문항, 05 도함수의 활용 (2) 2문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
18번이 유일한 상 난이도입니다. 그래프와 정적분으로 정의된 함수를 다루는 4단계 문항입니다. 중상은 8문항입니다.
서술형은 어떤 문제가 나왔나요?
19번은 부정적분과 적분상수를 구하는 하 난이도 문항, 20번은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 따지는 중상 문항입니다.
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