화홍고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

화홍고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험은 앞쪽 8문항 중 6문항이 하, 13번부터 끝까지 10문항 중 9문항이 중상 이상인 선명한 2단 구조입니다. 마지막 22번이 유일한 상 난이도입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 22문항 모두 ①~⑤로 기록
• 난이도: 하 6 / 중 7 / 중상 8 / 상 1
• 배치 단원: 정적분의 활용 7 / 정적분 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 부정적분 4 / 도함수의 활용 (2) 2
• 최다 단원: 정적분의 활용 7문항, 그중 4문항이 중상
• 최고 난도: 22번 상, 방정식 f(x)=k의 실근의 개수

화홍고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

화홍고등학교는 경기도 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 분석표의 정답 기록은 22문항 모두 ①~⑤로 되어 있습니다.

미분 파트(도함수의 활용)가 6문항, 적분 파트(부정적분·정적분·정적분의 활용)가 16문항입니다. 적분이 시험의 대부분을 차지하고, 특히 정적분의 활용 7문항 중 4문항이 중상이라 넓이와 움직인 거리를 얼마나 연습했는지가 점수를 가릅니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 6, 중상 8, 상 1

하 6문항이 모두 1~8번에 있습니다. 가속도, 정적분 계산, 증가·감소 조건, 절댓값 정적분, 정적분을 포함한 등식(상수 끝), 삼차함수가 극값을 가질 조건입니다. 전부 한 단계 풀이입니다.

반대로 13번부터 22번까지는 15번(중) 하나를 빼고 전부 중상 이상입니다. 분석표 난이도 근거상 이 구간 문항은 대부분 세 단계 이상 풀이이고, 22번은 네 단계입니다. 앞쪽을 빠르게 넘겨야 뒤 10문항에 시간을 쓸 수 있습니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항

정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 위치와 움직인 거리 3문항(5·15·16번), 넓이 4문항(9·13·19·21번)으로 나뉩니다.

부정적분 4문항 중 3문항(14·17·20번)이 중상입니다. 부정적분이 단순 계산이 아니라 극값·최대최소와 묶여서 나왔기 때문입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1·3·8·10·11·22번) — 6문항

1번 하 가속도, 3번 하 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 8번 하 삼차함수가 극값을 가질 조건, 10번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 11번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 22번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

8번은 도함수가 서로 다른 두 실근을 가져야 극값이 생긴다는 조건, 즉 판별식이 양수라는 조건으로 자연수 범위를 정합니다. 등호가 들어가면 안 된다는 점이 핵심입니다.

10번은 두 함수의 차로 사차함수를 만들고 그 최솟값이 양수가 되는 조건을 찾습니다.

22번은 이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 분석표 난이도 근거로는 극점 위치를 이용해 삼차함수를 미지수 두 개로 표현하고, 절댓값이 들어간 함수의 실근 개수 조건으로 두 계수를 결정한 뒤 검산하는 네 단계 풀이입니다. 그래프를 그려 y=k를 위아래로 움직이며 근의 개수를 세는 연습이 바탕입니다.

2. 부정적분 (6·14·17·20번) — 4문항

6번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 14번 중상 함수의 최대·최소 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 17번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 20번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

14번은 도함수의 그래프가 그림으로 주어지고, 그것으로 원래 삼차함수의 꼴을 정한 뒤 극값 조건으로 적분상수를 정하고 닫힌구간에서 최대·최소를 구합니다. 20번은 도함수의 중근·단순근 구조로 사차함수의 꼴을 정하고 극값 조건을 따지는 문항입니다.

17번은 함수와 그 부정적분 사이의 등식을 미분해 도함수를 복원하는 유형입니다. 세 문항 모두 "도함수 → 적분 → 적분상수 결정" 의 틀을 따르므로, 적분상수를 무엇으로 정하는지에 집중하세요.

3. 정적분 (2·4·7·12·18번) — 5문항

2번 하 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 4번 하 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 7번 하 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우), 12번 중 우함수·기함수의 정적분, 18번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우).

7번과 18번은 같은 "정적분을 포함한 등식"이지만 난이도가 하와 중상으로 갈립니다. 7번은 적분 구간이 상수라 정적분 값을 상수로 놓고 푸는 기본형이고, 18번은 적분 구간과 피적분함수에 변수가 있어 미분해서 풀어야 하는 응용형입니다.

12번은 부호가 뒤집힌 두 정적분을 하나로 합친 뒤, 대칭 구간에서 홀수 차수 항을 지우는 문항입니다.

4. 정적분의 활용 (5·9·13·15·16·19·21번) — 7문항

5번 중 위치와 위치의 변화량, 9번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 13번 중상 함수의 극대·극소 · 부정적분의 정의 · 곡선과 x축 사이의 넓이, 15번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 16번 중상 움직인 거리, 19번 중상 최대·최소의 활용(넓이), 21번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이.

위치·거리 3문항(5·15·16번) 은 위치의 변화량과 움직인 거리를 구별하는 것이 공통 핵심입니다. 15번은 속도 그래프의 부호와 넓이 조건으로 위치를 구하고, 16번은 두 점의 위치를 적분으로 구해 만나는 시각과 움직인 거리를 따진 뒤 보기를 판정합니다.

13번은 극값의 필요조건, 적분상수, 넓이와 정적분의 부호를 각각 판정하는 보기형 문항입니다. 개념을 정확히 알아야 반례를 떠올릴 수 있습니다.

19번은 매개변수에 따라 달라지는 넓이를 식으로 세우고 그 최솟값을 구합니다. 21번은 두 극솟값이 0이고 우함수라는 조건으로 사차함수의 꼴을 정한 뒤 곡선과 x축 사이 넓이를 구하는 세 단계 문항입니다.

주의 문항 — 상 1, 중상 8

22번 상 (f(x)=k의 실근의 개수) — 네 단계, 절댓값 함수 그래프로 근의 개수 세기.

13번 중상 (보기 판정) — 극값 필요조건과 넓이·정적분 부호 구별.

14·17·20번 중상 (부정적분 응용) — 적분상수를 무엇으로 정하는지가 핵심.

16번 중상 (움직인 거리) — 두 점의 위치와 만나는 시각.

18번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 미분 전에 변수를 적분 밖으로 빼기.

19·21번 중상 (넓이) — 함수 꼴 결정 후 넓이 계산.

같은 학기 화홍고 기하 기말과 비교

같은 2025학년 2학년 2학기 기말 화홍고 기하(20문항)는 하 3 / 중 13 / 중상 4 / 상 0 이었습니다. 수학Ⅱ는 하 6 / 중 7 / 중상 8 / 상 1 로, 쉬운 문항도 어려운 문항도 더 많은 양극형입니다. 두 과목을 함께 준비한다면 수학Ⅱ 뒷부분 10문항에 더 많은 연습 시간을 배정하는 편이 맞습니다.

화홍고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 가속도, 증가·감소 조건, 극값을 가질 조건 — 1·3·8번 대비. 확보 구간.
2. 기본 정적분 계산, 절댓값 정적분 — 2·4번 대비.
3. 정적분을 포함한 등식(상수 끝) — 7번 대비.
4. 우함수·기함수 정적분 — 12번 대비.
5. 부등식이 항상 성립할 조건, 실근의 부호 — 10·11번 대비.
6. ★ 위치의 변화량과 움직인 거리 — 5·15·16번 대비.
7. 곡선과 직선 사이 넓이 — 9번 대비.
8. ★ 도함수 그래프로 함수 복원, 적분상수 결정 — 14·17·20번 대비.
9. 정적분을 포함한 등식(변수 끝) — 18번 대비.
10. 극값·적분·넓이 개념 보기 판정 — 13번 대비.
11. 넓이의 최솟값, 사차함수 넓이 — 19·21번 대비.
12. ★ 절댓값 함수와 f(x)=k의 실근의 개수 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

화홍고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 분석표 정답 기록은 22문항 모두 ①~⑤로 되어 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 정적분 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 부정적분 4문항, 도함수의 활용 (2) 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 22번(방정식 f(x)=k의 실근의 개수) 한 문항입니다. 그 앞 13~21번에 중상 8문항이 몰려 있습니다.

어떤 순서로 풀면 좋을까요?

1~12번에 하 6문항, 중 6문항이 있습니다. 이 구간을 빠르게 정리하고 뒤쪽 중상 구간으로 넘어가는 것이 시간 배분에 유리합니다.

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