삼각산고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025)

삼각산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 배치 단원은 명제 · 함수 · 유리함수 · 무리함수 네 개이고, 가장 많은 단원은 07 명제 9문항입니다. 이 시험의 성격은 난이도 분포에서 바로 드러납니다. 하 11 / 중 12 / 중상 1 / 상 0. 손을 못 댈 문항은 거의 없고, 대신 중 난이도 12문항에서 얼마나 흘리지 않느냐가 점수를 가릅니다.

핵심 요약

• 24문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~24번은 답을 직접 쓰는 형태(6문항)
• 난이도: 하 11 / 중 12 / 중상 1 / 상 0
• 배치 단원: 07 명제 9 / 08 함수 7 / 09 유리식과 유리함수 4 / 10 무리식과 무리함수 4
• 대단원 비중: 집합과 명제 9문항(38%) vs 함수 15문항(63%)
• 유일한 중상: 22번(무리함수의 합성함수와 역함수)
• 두 번 나온 유형: 합성함수와 역함수(3·20번), 산술평균과 기하평균의 관계는 13·23번에 서로 다른 형태로 출제

삼각산고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가

삼각산고등학교는 서울 강북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 총 24문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 중에서 고르는 선택형이고, 19~24번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 보면 시험은 크게 두 덩어리입니다. 명제 9문항과 함수 파트 15문항(함수 7 · 유리함수 4 · 무리함수 4)입니다. 단원 순서대로 배치되어 있지 않고, 1번 명제 → 2·3번 함수 → 4번 무리함수 → 5·6번 명제처럼 앞부분부터 단원이 계속 바뀝니다. 시험지를 처음 넘길 때 단원이 섞여 있다는 걸 알고 들어가는 편이 낫습니다.

한 가지 짚어 둘 것이 있습니다. 2학기 기말 범위에서 집합 단원(집합의 뜻과 표현, 집합의 연산)을 떠올리는 학생이 많은데, 이 시험지의 배치 단원에는 집합 단원 문항이 없습니다. 실제로는 명제부터 무리함수까지가 출제됐습니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 11문항, 중상은 22번 하나

하 난이도가 거의 절반입니다. 1~10번 중 하가 아닌 문항은 6번과 8번 두 개뿐입니다. 앞쪽 열 문항은 빠르게 확보하고, 11~18번 여덟 문항이 전부 중 난이도로 이어지는 구간에서 시간을 쓰는 구조입니다.

답을 직접 쓰는 19~24번도 19·20·21번 세 문항이 하입니다. 서술형이라고 겁먹을 필요가 없는 문항들입니다. 반대로 22번 중상과 23·24번 중이 뒤쪽에 이어져 있어, 마지막 세 문항에 시간을 남겨 두는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 명제 9문항이 최다

명제 한 단원이 9문항(38%) 입니다. 명제의 뜻, 대우, 필요·충분조건, 삼단논법, '모든'과 '어떤', 대우를 이용한 증명, 그리고 산술평균과 기하평균의 관계까지 명제 단원의 거의 모든 소단원이 한 문항씩 나왔습니다.

함수 쪽은 08 함수 7문항이 중심이고, 유리함수와 무리함수가 4문항씩 나눠 가졌습니다. 유일한 중상인 22번은 무리함수 단원에 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 명제 (1·5·6·9·11·12·13·21·23번) — 9문항

1번 하 명제, 5번 하 명제의 대우를 이용하여 상수 구하기, 6번 중 '모든'이나 '어떤'이 있는 명제, 9번 하 충분·필요·필요충분조건이 되도록 하는 상수 구하기, 11번 중 충분·필요조건과 명제의 참, 거짓, 12번 중 삼단논법과 명제의 추론, 13번 중 산술평균과 기하평균의 관계(도형에서의 활용), 21번 하 대우를 이용한 명제의 증명, 23번 중 산술평균과 기하평균의 관계(합의 최솟값).

1번은 자유변수가 있는 문장(조건)과 참·거짓을 판별할 수 있는 문장(명제)을 구별하는 문항입니다. 5번은 대우를 적용해 이차식의 근을 구한 뒤 양수인 근만 고르는 문항이라, 근을 둘 다 답으로 쓰지 않는지가 실수 지점입니다.

6번은 "어떤 실수에 대해 ~인 것이 존재한다"는 명제를 부정해 모든 실수에 대해 0 이상이라는 조건으로 바꾸고, 판별식으로 정수 개수를 세는 2단계 문항입니다. 9번은 부정 조건의 진리집합이 다른 집합에 포함되도록 양 끝점에 부등식을 세우는 문항입니다.

11번과 12번은 보기를 하나씩 판정하는 문항입니다. 11번은 필요조건의 함의 관계를 읽고 반례로 거짓 보기를 걸러내야 하고, 12번은 주어진 가정을 대우로 바꾼 뒤 삼단논법으로 이어지는 것과 이어지지 않는 것을 구별해야 합니다.

13번은 직각삼각형의 넓이를 두 변의 곱으로 바꾸고, 산술평균과 기하평균의 관계에서 등호 조건을 이용해 빗변 제곱의 최솟값을 구합니다. 23번도 산술평균과 기하평균의 관계지만, 이번에는 양수 두 항의 곱을 고정한 뒤 합의 최솟값을 구하고 등호가 실제로 성립하는지까지 확인해야 하는 서술형입니다.

21번은 "n이 5의 배수가 아니면 n²도 5의 배수가 아니다"라는 대우를 써서 증명하는 서술형입니다. 5로 나눈 나머지에 따라 경우를 나누고 각 경우의 제곱식을 빈칸에 채우는 형태입니다.

2. 함수 (2·3·10·14·17·19·20번) — 7문항

2번 하 합성함수의 함숫값 구하기, 3번 하 합성함수와 역함수, 10번 하 함수의 뜻, 14번 중 일대일함수와 일대일대응, 17번 중 구간별로 정의된 함수의 합성함수 방정식, 19번 하 함수의 정의역, 공역, 치역, 20번 하 합성함수와 역함수.

2번은 안쪽 함수부터 대입하는 합성함수의 기본입니다. 3번은 그림의 대응 화살표를 직접 읽어 합성과 역함수 값을 구합니다. 10번은 다섯 개의 식에 정의역의 모든 원소를 대입해 함숫값이 공역에 속하는지 확인하는 문항입니다.

14번은 일차함수가 증가하거나 감소한다는 점을 이용해 치역의 양 끝을 계산하고, 공역에 포함될 조건에서 정수 개수를 셉니다. 공역에 포함되는 것과 일대일인 것을 따로 확인해야 합니다.

17번이 함수 단원에서 가장 손이 많이 가는 문항입니다. 그림으로 주어진 함수가 세 구간의 일차식으로 이루어져 있고, 합성함수 방정식을 풀기 위해 역으로 값을 거슬러 올라가야 합니다. 구간의 경계(x=2, 4)에서 같은 값을 두 번 세지 않는 것이 핵심입니다.

19번은 일차·이차·유리·무리함수 네 개의 정의역과 치역을 각각 쓰는 서술형이고, 20번은 일차함수의 합성함수 식과 역함수를 이용한 값을 두 소문항으로 묻는 서술형입니다. 둘 다 하 난이도라 서술형에서 반드시 챙겨야 하는 점수입니다.

3. 유리함수 (7·16·18·24번) — 4문항

7번 하 유리함수의 그래프의 점근선, 16번 중 유리함수의 최대·최소, 18번 중 유리함수의 그래프의 활용, 24번 중 이차·유리 절댓값 조각함수와 직선의 교점 개수.

7번은 그래프에서 점근선의 교점을 읽어 계수를 정하고, 지나는 한 점을 대입해 나머지 계수를 구합니다. 16번은 부분분수로 변형한 뒤 계수의 부호에 따라 증가·감소가 갈리는 경우를 나누고, 주어진 최솟값 조건과 맞지 않는 경우를 제외해 상수를 구합니다.

24번은 이 시험 서술형 중 가장 길게 생각해야 하는 문항 가운데 하나입니다. 이차식과 유리식에 절댓값이 붙은 조각함수의 그래프를 그리고, 직선 y=t를 위아래로 움직일 때 교점 개수가 바뀌는 경계값을 찾아야 합니다. 점근선 위의 점은 그래프에 포함되지 않는다는 점까지 따져야 합니다.

4. 무리함수 (4·8·15·22번) — 4문항

4번 하 무리함수의 그래프의 성질, 8번 중 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 15번 중 무리함수의 그래프의 활용(도형의 넓이), 22번 중상 무리함수의 합성함수와 역함수.

4번은 보기 판정 문항으로, 그래프가 지나는 사분면과 정의역·치역, 그리고 평행이동만으로 겹칠 수 있는지를 따집니다. 제곱근 앞의 부호가 다르면 평행이동만으로는 겹치지 않는다는 점이 판정 포인트입니다.

8번은 무리식 부분을 0 이상인 새 변수로 치환해 직선의 절편을 나타내고, 그 변수의 최솟값에서 교점이 생기는 경계를 찾는 문항입니다. 15번은 두 무리함수와 x축의 교점으로 밑변을 잡고, 넓이 조건에서 교점의 높이를 정한 뒤 상수를 구합니다.

주의 문항 — 22번 중상

22번 중상 (무리함수의 합성함수와 역함수) — 이 시험에서 유일한 중상입니다. 난이도 근거는 3단계입니다.

1. 증가함수와 그 역함수의 교점은 직선 y=x 위에 있다는 성질로 범위를 좁힌다.
2. 두 교점 사이의 거리에서 근의 차를 정하고 상수를 계산한다.
3. 제곱하기 전의 부호와 정의역을 확인해 맞지 않는 근을 버린다.

1단계를 모르면 역함수 식을 직접 구해 연립하느라 시간이 크게 듭니다. 3단계를 빼먹으면 답을 하나 더 쓰게 됩니다. 답을 직접 쓰는 문항이라 마지막 확인 단계가 그대로 감점으로 이어집니다.

중 난이도 중에서는 17번(구간별 함수의 합성함수 방정식) 과 24번(절댓값 조각함수의 교점 개수) 이 경계값 처리 때문에 실수가 나기 쉬운 문항입니다.

삼각산고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 명제와 조건의 구별, 진리집합 — 1·9번의 토대.
2. 대우와 대우를 이용한 증명 — 5·21번 대비. 나머지로 경우 나누는 증명은 직접 써 보기.
3. '모든'·'어떤'이 있는 명제의 부정 — 6번 대비. 부정한 뒤 판별식으로 연결.
4. 필요·충분조건과 삼단논법 보기 판정 — 11·12번 대비. 반례 찾는 연습.
5. ★ 산술평균과 기하평균의 관계 — 13·23번 대비. 등호 조건 확인까지 한 세트.
6. 함수의 뜻, 정의역·공역·치역 — 10·19번 대비. 확보 구간.
7. 합성함수와 역함수 — 2·3·20번 대비. 안쪽부터 대입.
8. 일대일대응과 치역 계산 — 14번 대비.
9. 구간별로 정의된 함수의 합성 — 17번 대비. 경계값 중복 주의.
10. 유리함수의 점근선과 최대·최소 — 7·16번 대비.
11. 절댓값이 붙은 유리함수 그래프와 교점 개수 — 18·24번 대비.
12. 무리함수 그래프의 성질과 직선과의 위치 관계 — 4·8·15번 대비.
13. ★ 무리함수와 역함수의 교점 — 22번 대비. y=x 위의 교점, 부적합한 근 버리기.

자주 나오는 질문

삼각산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19~24번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 07 명제가 9문항으로 가장 많습니다. 이어서 08 함수 7문항, 유리함수 4문항, 무리함수 4문항입니다.

집합 단원은 나오지 않았나요?

이 시험지의 배치 단원에는 집합의 뜻과 표현, 집합의 연산 문항이 없습니다. 명제부터 무리함수까지가 실제 출제 단원입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 중상은 22번 한 문항뿐이고, 무리함수와 역함수의 교점을 다루는 서술형입니다.

서술형은 어렵나요?

19~24번 여섯 문항 중 19·20·21번은 하 난이도입니다. 22번이 중상, 23·24번이 중이라 서술형 뒤쪽 세 문항에 시간을 남겨 두는 것이 좋습니다.

과년도 삼각산고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

삼각산고 1학년 2학기 기말 공통수학2 기출 받아보기

2025학년 삼각산고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.

📚 삼각산고 전체 기출이 궁금하다면?

👉 내신판에서 삼각산고등학교 기출 전체 보기

가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.

(서울 강북구 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)