자운고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

자운고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 명제·함수·유리함수·무리함수 네 단원에 문항이 배치됐습니다. 이 시험은 앞쪽과 뒤쪽의 온도 차가 큰 시험입니다. 1~6번이 전부 하 난이도인 반면, 상 3문항(19·21·23번)이 모두 시험지 끝부분에 있습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21~23번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 8 / 중 8 / 중상 4 / 상 3
• 배치 단원: 함수 8 / 명제 7 / 무리식과 무리함수 4 / 유리식과 유리함수 4
• 상 3문항: 19번 서로 같은 함수, 21번 유리함수의 최대·최소, 23번 fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수
• 하 8문항 중 6문항이 1~6번에 연속 배치

자운고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가

자운고등학교는 서울특별시 도봉구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 총 23문항이고, 정답 기록 기준으로 1~20번은 선택형, 21~23번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

앞부분 1~6번은 명제·무리식·유리함수·함수의 기본 개념을 하나씩 확인하는 하 난이도 문항입니다. 7번부터 중 난이도가 시작되고, 17번 이후 일곱 문항은 전부 중상 이상입니다. 앞에서 확보한 시간을 뒤에서 쓰는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 8, 상 3

1~16번에는 중상 이상이 한 문항도 없습니다. 이 구간 16문항을 실수 없이 빠르게 처리하는 것이 1차 목표입니다.

17~23번 일곱 문항은 중상 4, 상 3입니다. 선택형 17~20번에 중상 3문항과 상 1문항(19번)이 있고, 답을 직접 쓰는 21~23번 중 21·23번이 상입니다. 서술형에 상 난이도가 두 문항이라, 끝까지 풀 시간을 남겨 두는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 함수 8, 명제 7

함수 8문항 중 4문항(17·18·19·23번)이 중상 이상입니다. 앞쪽 5·6번은 하 난이도로 쉽지만, 뒤쪽 함수 문항은 이 시험의 고비입니다.

무리함수 4문항은 전부 중 이하(3번 하, 7·12·13번 중)입니다. 반면 유리함수는 4번(하)·8번(중)으로 시작해 20번 중상, 21번 상으로 끝납니다.

시그니처 — 함수의 개수와 조건을 세는 후반 함수 문항

후반부 함수 문항은 조건을 만족하는 함수나 값을 세는 형태가 많습니다.

• 14번(중) — 상수함수와 항등함수 조건을 대입하고, 일대일대응의 개수에서 항등함수를 빼는 문항입니다.
• 18번(중상) — 합성함수를 나머지로 바꿔 생각하고, 함숫값 조건을 배수 조건으로 바꿔 범위 안의 최댓값과 최솟값을 더합니다.
• 19번(상) — 두 함수가 서로 같은 함수가 되는 정의역을 그래프의 교점 집합으로 보고, 부분집합의 개수로부터 교점 개수를 거꾸로 추론합니다. 인수분해와 중근 조건으로 경우를 나누는 4단계 문항입니다.
• 23번(상, 서술형) — 일대일대응에서 f를 세 번 합성한 것이 f와 같으면 두 번 합성한 것이 항등함수가 된다는 점을 이용해, 각 원소가 자기 자신에 대응하거나 두 원소끼리 맞바뀌는 구조를 세고 포함배제로 중복을 제거합니다.

"조건 → 구조 → 개수" 로 이어지는 사고 흐름이 이 시험 후반부의 공통점입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수 (5·6·9·14·17·18·19·23번) — 8문항

5번 하 함수의 뜻, 6번 하 합성함수의 함숫값 구하기, 9번 중 역함수의 성질, 14번 중 일대일함수와 일대일대응, 17번 중상 역함수의 그래프의 성질, 18번 중상 f∘g에 대한 조건이 주어진 경우, 19번 상 서로 같은 함수, 23번 상 합성함수 fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수(서술형).

9번은 일차함수가 자기 자신의 역함수가 되는 계수 조건을 세우고, 지나는 점으로 경우를 나눠 계수를 정합니다.

17번은 증가함수와 그 역함수의 교점이 f(x)=x의 해라는 성질을 이용합니다. 정의역이 제한된 구간에서 실근이 어디에 놓이는지, 접할 때와 경계를 지날 때를 나눠 자연수의 개수를 셉니다.

2. 명제 (1·2·10·11·15·16·22번) — 7문항

1번 하 명제, 2번 하 진리집합, 10번 하 명제와 역, 대우의 참, 거짓, 11번 하 충분조건·필요조건·필요충분조건, 15번 중 절댓값 기호를 포함한 절대부등식, 16번 중 집합의 연산과 필요충분조건, 22번 중상 충분·필요·필요충분조건과 진리집합(서술형).

명제 7문항 중 4문항이 하 난이도입니다. 1번은 참·거짓이 확정되는 문장 고르기, 2번은 배수 조건의 진리집합, 10번은 명제와 대우가 동치라는 점, 11번은 필요조건·충분조건 구별입니다.

15번은 보기형으로, 제곱의 합과 삼각부등식으로 성립하는 보기를 고르고 나머지는 반례로 거릅니다.

16번은 명제를 집합의 포함·배반 관계로 옮겨 집합식이 항상 성립하는지 판별합니다.

22번(서술형) 은 첫 번째 조건에서 두 진리집합이 겹치지 않는다는 것을 이끌어내고, 나머지 조건을 이차식이 항상 0 이상이라는 조건으로 바꿔 판별식과 경계 조건의 공통부분을 구합니다.

3. 무리식과 무리함수 (3·7·12·13번) — 4문항, 전부 중 이하

3번 하 무리식의 계산, 7번 중 무리함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동, 12번 중 무리함수의 그래프의 성질, 13번 중 무리함수의 그래프의 활용(도형의 넓이).

7번은 평행이동한 뒤 y축에 대칭이동하면 x를 -x로 바꾼다는 점을 식에 적용하고 좌표를 대입합니다. 12번은 그래프의 끝점과 y절편으로 계수를 정한 뒤 새 무리함수의 정의역과 개형을 판별합니다.

13번은 두 무리함수 그래프가 한 점에 대해 대칭이라는 점을 이용해, 한쪽 영역을 옮겨 붙여 직사각형 넓이로 계산합니다.

4. 유리식과 유리함수 (4·8·20·21번) — 4문항

4번 하 유리함수의 그래프의 점근선, 8번 중 유리함수의 그래프의 성질, 20번 중상 유리함수의 최대·최소, 21번 상 유리함수의 최대·최소(서술형).

8번은 유리함수를 표준형으로 바꿔 정의역·치역·대칭성과 지나는 사분면을 판별합니다.

20번은 분자와 분모를 x로 나눠 분모를 최소로 만드는 문제로 바꾸고, 산술기하평균의 등호 조건으로 최댓값을 구합니다.

21번(서술형) 은 두 부등식을 매개변수의 상한과 하한으로 각각 분리하고, 경계가 되는 함수의 최솟값과 최댓값을 구하는 4단계 문항입니다. 같은 유형인 20번과 이어서 출제됐습니다.

주의 문항 — 상 3문항, 중상 4문항

17번 중상 (역함수의 그래프의 성질) — 제한된 정의역에서 실근 위치를 따져야 합니다.

18번 중상 (f∘g 조건) — 나머지와 배수 조건으로 바꾸는 발상이 필요합니다.

19번 상 (서로 같은 함수) — 부분집합 개수에서 교점 개수를 거꾸로 추론하는 4단계 문항입니다.

20번 중상 (유리함수의 최대·최소) — 산술기하평균의 등호 위치까지 구해야 합니다.

21번 상 (유리함수의 최대·최소, 서술형) — 매개변수 경계를 두 개로 나눠 각각 처리합니다.

22번 중상 (충분·필요조건과 진리집합, 서술형) — 판별식과 엄격한 부등호 경계를 함께 따집니다.

23번 상 (fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수, 서술형) — 구조를 찾은 뒤 포함배제로 중복을 빼야 합니다.

자운고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 명제·진리집합·역과 대우 기본 — 1·2·10·11번 대비. 확보 구간.
2. 무리식 계산과 유리함수 점근선 — 3·4번 대비. 확보 구간.
3. 함수의 뜻과 합성함숫값 — 5·6번 대비. 확보 구간.
4. 무리함수 평행이동·대칭이동과 그래프 성질 — 7·12번 대비.
5. 유리함수 표준형과 그래프 성질 — 8번 대비.
6. 자기 자신이 역함수인 일차함수 — 9번 대비.
7. 무리함수 그래프의 대칭과 넓이 — 13번 대비.
8. 일대일대응과 항등함수 개수 — 14번 대비.
9. 절대부등식 보기 판정 — 15번 대비.
10. 집합의 포함·배반으로 명제 판별 — 16번 대비.
11. 증가함수와 역함수의 교점 — 17번 대비.
12. 합성함수와 나머지·배수 조건 — 18번 대비.
13. ★ 서로 같은 함수와 교점 개수 — 19번 대비.
14. ★ 유리함수의 최대·최소(산술기하평균, 매개변수 경계) — 20·21번 대비.
15. 충분·필요조건과 판별식 서술 — 22번 대비.
16. ★ fⁿ이 항등함수가 되는 함수 세기 — 23번 대비.

자주 나오는 질문

자운고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~20번은 선택형, 21~23번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

함수가 8문항으로 가장 많고, 명제 7문항, 무리식과 무리함수·유리식과 유리함수가 각 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19·21·23번 세 문항입니다. 그중 21·23번 두 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

하 8문항은 1~6번과 10·11번입니다. 1~16번 구간에는 중상 이상 문항이 없으니 여기서 시간을 아껴야 합니다.

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