향동고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

향동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험에서 가장 큰 특징은 도함수의 활용 (2) 한 단원이 8문항으로 가장 많다는 점입니다. 2학기 기말이지만 적분만큼 미분 쪽 비중도 큽니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21·22번 서술형 2문항
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 6 / 상 4
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 8 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 2
• 두 번 나온 유형: 함수의 극대·극소(1·5번), 도함수가 주어질 때 함수 구하기(3·11번)
• 상 4문항: 15·17·19·20번

향동고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

향동고등학교는 경기 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21·22번은 답과 풀이를 쓰는 서술형입니다.

미분과 적분으로 나누면 도함수의 활용 12문항(05·06 단원), 적분 10문항(07·08·09 단원) 입니다. 도함수의 활용 (2)에서 극대·극소, 최대·최소, 증가·감소가 고르게 나왔습니다.

단원은 섞여서 배치됐습니다. 1번 도함수의 활용, 2번 정적분, 3번 부정적분이 차례로 나오고, 뒤로 가도 미분과 적분이 번갈아 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항이 15번 이후

1~3번이 하, 4~7번이 중으로 앞부분은 순서대로 난이도가 올라갑니다. 8번에서 첫 중상이 나오고, 상 4문항은 모두 15번 이후에 있습니다.

16번(중)이 상 문항 사이에 끼어 있다는 점도 기억해 두세요. 15번에서 막혔다고 뒤를 모두 건너뛰면 16번 같은 중 난이도 문항을 놓칠 수 있습니다.

서술형 21·22번은 둘 다 중 난이도입니다. 선택형 뒷부분보다 오히려 수월한 편이니, 서술형을 먼저 확보하는 순서도 고려해 볼 만합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)가 8문항

도함수의 활용 (2) 8문항이 전체의 36% 입니다. 이 단원에서 하(1번)부터 상(19번)까지 모든 난이도가 나왔습니다.

나머지 세 단원은 4문항씩 고르게 나왔고, 정적분의 활용 4문항 중 두 개(17·20번)가 상입니다.

시그니처 유형 — 극대·극소와 도함수에서 함수 구하기

두 번씩 나온 유형이 둘입니다.

• 함수의 극대·극소 — 1번(하)·5번(중)
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 3번(하)·11번(중상)

1번은 그래프에서 감소하다 증가하는 위치를 읽어 극소를 찾는 문항이고, 5번은 삼차함수의 극댓값을 계산하는 문항입니다. 같은 유형이 그래프 읽기에서 계산으로 한 단계 올라갑니다.

3번은 부정적분의 적분상수를 정하는 기본형이고, 11번은 곱과 차의 도함수 조건에서 다항함수를 다시 구하는 문항입니다. 11번은 근의 중복도와 차수를 함께 따져야 해서 중상입니다.

극대·극소는 이 두 문항 외에도 7번(삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건), 18번(사차함수가 극값을 가질 조건), 19번(극대·극소의 활용) 으로 이어집니다. 극값 관련 문항이 다섯 개인 셈입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·4·5·6·7·14·18·19번) — 8문항

1번 하 함수의 극대·극소, 4번 중 함수의 증가와 감소, 5번 중 함수의 극대·극소, 6번 중 함수의 최대·최소, 7번 중 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건, 14번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 18번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건, 19번 상 함수의 극대·극소의 활용.

4번은 도함수의 부호로 감소 구간을 판정합니다. 6번은 닫힌구간에서 극값과 양 끝값을 후보로 놓고 최댓값과 최솟값의 차를 구합니다. 양 끝값을 빠뜨리지 않는 것이 핵심입니다.

7번은 도함수의 판별식 조건으로 극값이 없을 범위를 정하고 정수 개수를 셉니다.

14번은 원기둥 부피가 최대가 되는 조건을 찾은 뒤 반구와 원기둥 부피를 합치는 문항입니다. 부피식을 세우는 첫 단계가 가장 중요합니다.

18번은 도함수가 0 이상인 범위에서 사차함수를 다시 구하고 극솟값을 계산합니다.

19번은 연속·미분가능한 접합 조건에서 후보를 고른 뒤 도함수의 극대 조건으로 걸러내는 4단계 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (10·13·15·21번) — 4문항

10번 중 속도·가속도와 운동 방향, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 21번 중(서술형) 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용.

10번은 위치를 미분해 속도와 운동 방향을 판정하는 진술 판정형입니다.

13번은 삼차곡선과 수평선의 교점 개수를 높이별로 나눠 세고 합을 구합니다.

15번은 사차방정식의 양근과 음근 개수를 판정하는 문항입니다. 수평선 높이의 범위를 정한 뒤 조건에 맞는 자연수를 골라야 합니다.

21번 서술형은 제한된 구간에서 함수의 최댓값을 구한 뒤 부등식이 항상 성립하는 최소 정수를 찾습니다. 등호가 없는 부등식이라 경계값 처리를 정확히 써야 합니다.

3. 정적분 (2·9·16·22번) — 4문항

2번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 9번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 16번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 22번 중(서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우.

9번은 피적분함수가 같은 정적분의 구간을 하나로 정리한 뒤 인수분해로 실근을 구합니다.

16번은 절댓값이 있는 정적분을 구간을 나눠 계산하고 미분값까지 구합니다.

22번 서술형은 상수인 정적분을 k로 놓고 식을 세우는 기본형입니다. 놓은 문자를 다시 대입해 함숫값을 구하는 과정까지 써야 합니다.

4. 정적분의 활용 (8·12·17·20번) — 4문항

8번 중상 움직인 거리, 12번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 17번 상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 20번 상 두 곡선 사이의 넓이.

8번은 가속 구간과 등속 구간의 거리를 나눠 더하는 문항입니다. 속도가 바뀌는 시각을 먼저 구해야 합니다.

12번은 접선을 구하고 교점을 찾은 뒤 넓이를 적분하는 3단계 문항입니다.

17번은 속력 그래프와 원점 통과 조건으로 위치를 역산하는 문항입니다. 속력은 크기만 주어지므로 방향(부호)을 어떻게 고를지 판단하는 단계가 들어가 상입니다.

20번은 적분 항등식과 두 곡선 사이의 넓이 조건으로 함수의 계수를 다시 구합니다.

5. 부정적분 (3·11번) — 2문항

앞의 시그니처 유형에서 다룬 도함수가 주어질 때 함수 구하기 두 문항입니다. 3번 하, 11번 중상입니다.

주의 문항 — 상 4문항

15번 상 (실근의 부호) — 사차방정식에서 양근·음근 개수를 따지는 문항입니다.

17번 상 (위치와 움직인 거리) — 속력 그래프에서 부호를 정하는 판단이 필요합니다.

19번 상 (극대·극소의 활용) — 접합 조건과 도함수의 극대 조건을 함께 씁니다.

20번 상 (두 곡선 사이의 넓이) — 넓이 조건으로 계수를 거꾸로 구합니다.

상 4문항 모두 4단계 풀이로 분류됐습니다. 중상 6문항까지 합치면 중상 이상 10문항입니다.

향동고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 그래프에서 극대·극소 읽기, 부정적분의 적분상수 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 정적분 계산 기본 — 2·9번 대비.
3. 도함수 부호로 증가·감소 판정 — 4번 대비.
4. 삼차함수의 극댓값 계산 — 5번 대비.
5. 닫힌구간의 최대·최소 — 6번 대비. 양 끝값 빠뜨리지 않기.
6. 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건 — 7번 대비.
7. 속도·가속도와 운동 방향 — 10번 대비.
8. 절댓값 정적분, 상수인 정적분 등식 — 16·22번 대비.
9. ★ 도함수 조건에서 다항함수 구하기 — 11·18번 대비.
10. 움직인 거리와 위치 — 8·17번 대비.
11. 곡선과 접선, 두 곡선 사이의 넓이 — 12·20번 대비.
12. 방정식의 실근 개수와 부호 — 13·15번 대비.
13. 최대·최소의 활용(부피), 부등식이 항상 성립할 조건 — 14·21번 대비.
14. ★ 접합 조건과 극대·극소의 활용 — 19번 상 대비.

자주 나오는 질문

향동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~20번은 선택형, 21·22번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2) 8문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3)·정적분·정적분의 활용이 각 4문항, 부정적분 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 15·17·19·20번 4문항입니다. 모두 15번 이후에 있습니다.

서술형은 어렵나요?

21·22번 두 문항 모두 중 난이도입니다. 21번은 부등식이 항상 성립할 조건, 22번은 상수인 정적분을 포함한 등식입니다.

과년도 향동고 기출도 볼 수 있나요?

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