과천외고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
과천외고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3) · 부정적분 · 정적분입니다. 이 시험의 특징은 도함수의 활용 세 단원이 15문항으로 절반을 훌쩍 넘는다는 점, 그리고 마지막 21·22·23번 세 문항이 연속으로 상이라는 점입니다.
핵심 요약
- 23문항 — 정답 기록 기준 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나
- 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 7 / 상 3
- 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 7 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 07 부정적분 1
- 두 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(13·23번)
- 상 3문항: 21·22·23번 — 시험 맨 끝에 연속 배치
과천외고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
과천외국어고등학교는 경기 과천시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록 기준으로는 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 정답이 적혀 있습니다.
미분과 적분으로 나누면 도함수의 활용 15문항(04·05·06 단원), 적분 8문항(07·08 단원) 입니다. 2학기 기말인데도 미분 쪽 비중이 큽니다.
정적분의 활용 단원(넓이·움직인 거리) 배치 문항은 0개입니다. 적분은 정적분 계산과 정적분 등식, 정적분으로 정의된 함수까지가 배치됐습니다. 움직인 거리와 관련된 6번은 도함수의 활용 (3)의 정지하는 물체의 속도 유형으로 분류됐습니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 3문항이 21~23번
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 13% | 1·3·6 |
| 중 | 10 | 43% | 2·4·5·9·10·12·14·17·18·19 |
| 중상 | 7 | 30% | 7·8·11·13·15·16·20 |
| 상 | 3 | 13% | 21·22·23 |
상 3문항이 마지막 세 자리에 몰려 있습니다. 시험지 끝으로 갈수록 어려워지는 구조가 분명합니다.
중상은 7번부터 나옵니다. 7·8번이 연속 중상이라 초반에 시간이 걸릴 수 있습니다. 반면 17~19번은 다시 중이니, 중간에 막혀도 뒤쪽 중 난이도 문항을 놓치지 않도록 하세요.
출제 단원 — 정적분 7, 도함수의 활용 (3) 7
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 7 | 1·2·5·18·19·20·22 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 7 | 6·10·11·13·15·21·23 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 7·9·12·16·17 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 4·8·14 |
| 07 부정적분 | 1 | 3 |
정적분과 도함수의 활용 (3)이 7문항씩으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 7문항 중 상이 2문항(21·23번), 중상이 3문항(11·13·15번) 이라 이 단원이 시험의 난도를 결정합니다.
시그니처 유형 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수
두 번 나온 유형은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(13·23번) 입니다. 13번은 중상, 23번은 상입니다.
13번은 합성방정식의 서로 다른 실근 개수를 묻습니다. 합성된 방정식을 양수·음수 높이의 수평선 두 개로 나눠 보고, 극값과 접하는 경계를 판정하는 순서입니다.
23번은 삼차함수의 대칭성과 극한 조건으로 도함수를 정한 뒤, 절댓값을 씌운 함수의 실근 개수를 판정합니다. 반례와 중간값 조건까지 따지는 4단계 풀이입니다.
여기에 15번(두 그래프의 교점의 개수) 도 수평선과의 교점 개수를 함수로 놓고 좌우극한을 따지는 문항입니다. 수평선을 위아래로 움직이며 교점 수를 세는 연습이 세 문항을 함께 대비하는 방법입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분 (1·2·5·18·19·20·22번) — 7문항
1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 2번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 5번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 18번 중 주기함수의 정적분, 19번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 20번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 22번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.
5번은 정적분 꼴의 극한을 미분계수 형태로 정리하는 문항입니다.
18번은 기함수와 주기 성질을 이용해 평행이동한 구간의 정적분을 나눠 계산합니다. 19번은 연속한 단위 구간의 정적분 사이 관계식(점화식) 을 세워 요구 구간까지 반복 계산합니다. 18·19번 모두 적분 구간을 나누고 붙이는 감각이 필요합니다.
20번은 적분 항등식에 특수한 x값을 넣어 조건을 얻고 다항함수의 계수를 구합니다.
22번 상은 정적분으로 정의된 함수의 극값을 묻습니다. 도함수의 근의 중복도 구조를 파악하고, 양근이 존재하는지와 서로 다른 실근 수를 판정해야 합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (6·10·11·13·15·21·23번) — 7문항
6번 하 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 10번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 11번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 중상 두 그래프의 교점의 개수, 21번 상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 23번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
6번은 제동하는 열차의 속도가 0이 되는 시각을 구하는 확보 문항입니다.
10번은 두 함수의 차의 최솟값이 0 이상이라는 조건으로 바꿔 풉니다.
11번은 운동 방향이 두 번 바뀐다는 조건을 속도 방정식의 서로 다른 두 양근으로 바꾼 뒤 판별식과 근의 부호로 자연수 범위를 정합니다.
21번 상은 절댓값 경계가 있는 부등식에서 양·음 구간을 나눠 상한을 찾고 정수의 최솟값을 구하는 4단계 문항입니다.
3. 도함수의 활용 (2) (7·9·12·16·17번) — 5문항
7번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 9번 중 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 12번 중 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 16번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 17번 중 도함수의 그래프의 해석.
7번은 극대 조건으로 계수를 정한 뒤 다른 극값 위치까지 판정해 요구값을 구합니다.
9번은 구간에서 최댓값과 최솟값의 합 조건으로 상수를 정합니다.
16번은 구에 내접한 원뿔의 부피가 최대가 되는 높이를 찾는 문항입니다. 부피식을 한 변수로 세우는 것이 첫 단계입니다.
17번은 도함수 그래프의 부호로 증가·감소와 극값을 읽고 함숫값을 비교합니다.
4. 도함수의 활용 (1) (4·8·14번) — 3문항
4번 중 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 8번 중상 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우, 14번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우.
8번은 접점을 문자로 두고 곡선 밖의 점을 대입해 방정식을 세운 뒤 기울기가 양수인 접선을 고릅니다.
14번은 평균값 정리로 값의 상한을 구하고 그 상한이 실제로 가능한 함수를 확인합니다.
5. 부정적분 (3번) — 1문항
3번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 부정적분 후 주어진 값으로 적분상수를 정하는 확보 문항입니다.
주의 문항 — 중상 7, 상 3
7·8번 중상 — 앞쪽에 연속으로 나와 시간을 잡아먹기 쉽습니다.
11번 중상 (운동 방향 전환) — 조건을 이차방정식의 근 조건으로 옮기는 단계가 핵심입니다.
13·15번 중상 (실근·교점 개수) — 수평선 이동 연습으로 대비합니다.
16번 중상 (원뿔 부피 최대), 20번 중상 (변수 포함 적분 항등식).
21번 상 (부등식이 항상 성립할 조건), 22번 상 (정적분 함수의 극대·극소), 23번 상 (절댓값 함수의 실근 개수) — 세 문항 모두 4단계 풀이입니다. 20번까지 끝낸 뒤 남은 시간을 세 문항에 나눠 쓰는 계획을 미리 세워 두세요.
과천외고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 정적분 계산, 부정적분과 적분상수 — 1·3번 대비. 확보 구간.
- 정지하는 물체의 속도 — 6번 대비. 확보 문항.
- 상수인 정적분 등식, 정적분 꼴 극한 — 2·5번 대비.
- 접선의 방정식(접점·곡선 밖의 점) — 4·8번 대비.
- 평균값 정리 — 14번 대비.
- 극값·최대최소로 미정계수 정하기 — 7·9번 대비.
- 삼차함수의 증가 조건, 도함수 그래프 해석 — 12·17번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 10·21번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 11번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근 개수, 교점 개수 — 13·15·23번 대비.
- 최대·최소의 활용(부피) — 16번 대비.
- 주기함수·기함수의 정적분, 구간 점화식 — 18·19번 대비.
- 변수가 있는 정적분 등식 — 20번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 22번 상 대비.
자주 나오는 질문
과천외고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준으로 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분과 도함수의 활용 (3)이 각 7문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2) 5문항, 도함수의 활용 (1) 3문항, 부정적분 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 21·22·23번 3문항으로 시험 맨 끝에 연속으로 있습니다. 중상은 7문항입니다.
넓이 문제도 나오나요?
이 시험지에는 정적분의 활용 단원 배치 문항이 없습니다. 넓이를 구하는 문항은 나오지 않았습니다.
과년도 과천외고 기출도 볼 수 있나요?
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