명문고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
명문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 네 개입니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 속도·위치·움직인 거리를 다루는 문항이 8개라는 점입니다. 미분 쪽(도함수의 활용 (3))과 적분 쪽(정적분의 활용) 양쪽에서 운동 문제가 반복해서 나왔습니다.
핵심 요약
- 22문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21·22번 서술형 2문항
- 난이도: 하 1 / 중 12 / 중상 8 / 상 1
- 배치 단원: 09 정적분의 활용 8 / 06 도함수의 활용 (3) 7 / 08 정적분 5 / 07 부정적분 2
- 두 번 나온 유형: 움직인 거리(2·22번)
- 최고 난도: 22번 상(서술형) — 두 점 사이 거리 조건과 움직인 거리
명문고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
명문고등학교는 경기 광명시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21·22번은 답과 풀이를 쓰는 서술형입니다.
정적분의 활용 8문항이 최다이고, 도함수의 활용 (3)이 7문항으로 뒤를 잇습니다. 적분 파트(07·08·09 단원)를 합치면 15문항입니다.
도함수의 활용 (2) 단원(극대·극소, 최대·최소)에 배치된 문항은 0개입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (3), 즉 방정식·부등식과 속도·가속도만 배치됐습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 12, 하는 1문항뿐
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 14 |
| 중 | 12 | 55% | 1·2·3·4·6·7·8·9·11·16·19·21 |
| 중상 | 8 | 36% | 5·10·12·13·15·17·18·20 |
| 상 | 1 | 5% | 22 |
하 난이도는 14번 한 문항뿐입니다. 1번부터 중 난이도로 시작하니 첫 문항부터 집중해서 풀어야 합니다.
중상은 5번부터 나옵니다. 이후 10·12·13·15번과 17·18·20번에 고르게 흩어져 있어, 중상 문항이 특정 구간에 몰리지 않고 시험 전체에 퍼져 있습니다.
상 난이도는 서술형 22번 하나입니다. 선택형에는 상이 없습니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 8, 도함수의 활용 (3) 7
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 8 | 1·2·7·17·18·19·20·22 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 7 | 3·5·6·9·12·16·21 |
| 08 정적분 | 5 | 4·8·10·14·15 |
| 07 부정적분 | 2 | 11·13 |
정적분의 활용 8문항 중 넓이 문항이 4개(1·17·18·19번), 위치·움직인 거리 문항이 4개(2·7·20·22번) 입니다.
시그니처 주제 — 속도·위치·움직인 거리 8문항
같은 유형명으로 두 번 나온 것은 움직인 거리(2·22번) 하나지만, 범위를 넓히면 운동 관련 문항이 8개입니다.
| 문항 | 단원 | 유형 | 난이도 |
|---|---|---|---|
| 2 | 정적분의 활용 | 움직인 거리 | 중 |
| 3 | 도함수의 활용 (3) | 위로 던진 물체의 위치와 속도 | 중 |
| 7 | 정적분의 활용 | 그래프에서의 위치와 움직인 거리 | 중 |
| 9 | 도함수의 활용 (3) | 위치의 그래프의 해석 | 중 |
| 16 | 도함수의 활용 (3) | 가속도 | 중 |
| 20 | 정적분의 활용 | 위치와 위치의 변화량 | 중상 |
| 21 | 도함수의 활용 (3) | 속도·가속도와 운동 방향 | 중(서술형) |
| 22 | 정적분의 활용 | 움직인 거리 | 상(서술형) |
위치를 미분하면 속도, 속도를 적분하면 위치의 변화량이라는 연결 하나로 여덟 문항이 이어집니다. 그리고 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 것, 즉 속도의 부호가 바뀌는 구간에서 절댓값을 씌워 적분하는 것이 반복해서 나옵니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분의 활용 — 넓이 (1·17·18·19번) — 4문항
1번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 17번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 18번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 19번 중 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴.
1번은 교점과 부호를 판정한 뒤 정적분으로 넓이를 구하는 기본형입니다.
17번은 곡선·직선·축 사이 영역을 나눠 두 정적분으로 넓이를 구합니다. 18번은 접선을 정하고 교점을 구한 뒤 넓이를 적분합니다.
19번은 삼차곡선에서 x축 위·아래 영역의 넓이 차로 상수를 구하는 문항입니다.
2. 정적분의 활용 — 위치와 거리 (2·7·20·22번) — 4문항
2번 중 움직인 거리, 7번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 20번 중상 위치와 위치의 변화량, 22번 상(서술형) 움직인 거리.
2번은 제동하는 물체가 멈추는 시각을 구한 뒤 속도를 적분해 총 이동거리를 구합니다.
7번은 속도 그래프에서 부호별 넓이로 위치와 거리를 함께 구합니다.
20번은 속도의 부호가 바뀌는 시각의 순서를 정한 뒤 위치를 역산하는 문항입니다.
22번 서술형은 두 점의 위치를 구하고, 두 점 사이 거리가 처음으로 주어진 값이 되는 시각을 찾은 뒤 그때까지 움직인 거리를 구합니다. 속도가 바뀌는 구간을 나눠 절댓값 적분을 해야 하는 4단계 문항입니다.
3. 도함수의 활용 (3) (3·5·6·9·12·16·21번) — 7문항
3번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도, 5번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 6번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 9번 중 위치의 그래프의 해석, 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 중 가속도, 21번 중(서술형) 속도·가속도와 운동 방향.
3번은 속도가 0인 시각에서 최고 높이를 구합니다.
5번은 삼차방정식의 극값을 구한 뒤 양근·음근 조건으로 정수 범위를 정합니다.
6번은 사차부등식이 모든 실수에서 성립하도록 최솟값을 따지는 문항입니다.
12번은 절댓값을 씌운 삼차함수가 수평선과 네 점에서 만나는 조건입니다.
16번은 두 점의 위치가 같아지는 시각을 구한 뒤 가속도의 차를 계산합니다.
21번 서술형은 두 점의 속도를 구해 속도의 곱이 음수인 구간, 즉 서로 반대 방향으로 움직이는 시간을 찾는 문항입니다.
4. 정적분 (4·8·10·14·15번) — 5문항
4번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 8번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 10번 중상 정적분을 포함한 등식; 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 14번 하 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 15번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.
4번은 적분 구간을 뒤집어 상쇄시키는 문항입니다. 8번은 정적분에 변수의 제곱이 들어간 극한을 미분계수로 바꿔 계산합니다.
14번은 이 시험 유일한 하 난이도입니다. 상수인 정적분을 문자로 놓고 미정계수를 정하는 기본형입니다.
15번은 피적분함수의 부호 구조를 보고 정적분으로 정의된 함수가 극값을 하나만 갖는 조건을 찾습니다.
5. 부정적분 (11·13번) — 2문항
11번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 13번 중상 부정적분과 극대·극소.
11번은 등식을 미분해 도함수를 구하고 적분상수를 정합니다. 13번은 접선의 기울기를 적분해 함수를 만든 뒤 극솟값으로 상수, 극댓값까지 구합니다.
주의 문항 — 중상 8, 상 1
5·12번 중상 (실근의 부호·개수) — 극값과 수평선의 위치 관계를 정확히 그려야 합니다.
10번 중상 (변수 포함 정적분 등식), 13번 중상 (부정적분과 극대·극소), 15번 중상 (정적분 함수의 극값) — 미분과 적분을 오가는 문항입니다.
17·18번 중상 (넓이) — 영역을 나누는 단계에서 실수가 잦습니다.
20번 중상 (위치의 변화량) — 속도 부호 전환 순서가 관건입니다.
22번 상 서술형 (두 점 사이 거리와 움직인 거리) — 이 시험의 최고 난도입니다. 거리가 처음 주어진 값이 되는 시각을 정하는 근거를 분명히 써야 합니다.
명문고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 상수인 정적분 등식 — 14번 대비. 유일한 하 문항.
- 정적분 계산(구간 뒤집기), 정적분 꼴 극한 — 4·8번 대비.
- 함수와 부정적분 사이의 관계식 — 11번 대비.
- 곡선과 x축 사이의 넓이 — 1·19번 대비.
- ★ 위치·속도·가속도의 관계 — 3·9·16·21번 대비. 미분 방향.
- ★ 위치의 변화량과 움직인 거리 — 2·7·20·22번 대비. 적분 방향. 부호 바뀌는 구간 나누기.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 6번 대비.
- 방정식의 실근 부호·개수 — 5·12번 대비.
- 변수가 있는 정적분 등식 — 10번 대비.
- 부정적분과 극대·극소 — 13번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 15번 대비.
- 곡선과 직선·접선 사이의 넓이 — 17·18번 대비.
자주 나오는 질문
명문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~20번은 선택형, 21·22번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분의 활용 8문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 7문항, 정적분 5문항, 부정적분 2문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 서술형 22번 한 문항입니다. 중상은 8문항입니다.
극대·극소 단원은 안 나오나요?
이 시험지에는 도함수의 활용 (2) 단원 배치 문항이 없습니다. 다만 13번(부정적분과 극대·극소)과 15번(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소)처럼 적분 단원 안에서 극값을 다루는 문항은 있습니다.
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