운양고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

운양고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 다섯 개입니다. 이 시험의 특징은 중상 9문항, 상 3문항으로 중상 이상이 12문항이라는 점, 그리고 같은 유형이 두 번 나온 경우가 한 번도 없을 만큼 유형이 넓게 퍼져 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나
• 난이도: 하 2 / 중 9 / 중상 9 / 상 3
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 2
• 23문항이 모두 서로 다른 유형
• 상 3문항: 17·18·21번

운양고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

운양고등학교는 경기 김포시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록 기준으로는 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 정답이 적혀 있습니다.

미분과 적분으로 나누면 도함수의 활용 11문항(05·06 단원), 적분 12문항(07·08·09 단원) 으로 거의 반반입니다.

함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수 단원에 배치된 문항은 0개입니다. 실제 배치는 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지입니다. 도함수의 활용 (1)(접선의 방정식·평균값 정리) 배치 문항도 없습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 12문항

하 난이도는 1·2번 두 문항뿐입니다. 정적분 계산과 적분상수 결정이라 빠르게 넘어갈 수 있습니다.

6번에서 첫 중상이 나오고, 9·10번도 중상입니다. 그 뒤 11~14번은 다시 중 네 문항이 이어지니, 앞의 중상에서 시간을 너무 쓰지 말고 이 구간을 확실히 챙기세요.

15번 이후 9문항은 전부 중상 이상입니다. 상 3문항(17·18·21번)도 모두 이 구간에 있습니다.

출제 단원 — 정적분 6, 도함수의 활용 (3) 6

다섯 단원이 2~6문항으로 고르게 나뉘었습니다. 정적분 6문항 중 뒤 세 문항(20·22·23번)이 모두 중상이고, 정적분의 활용 4문항 중 두 문항(17·18번)이 상입니다.

이 시험의 성격 — 23문항, 23개 유형

이 시험에서는 같은 유형명이 두 번 나온 경우가 없습니다. 23문항이 23개의 서로 다른 유형입니다. 몇 가지 유형만 집중적으로 연습하는 방식으로는 대비가 어렵고, 교과서 단원별 대표 유형을 빠짐없이 훑어야 하는 시험입니다.

다만 비슷한 발상은 반복됩니다.

• 속도와 운동 — 5번(운동 방향과 가속도), 11번(속도의 그래프 해석), 14번(그래프에서의 위치와 움직인 거리), 18번(두 점의 움직인 거리)
• 극값 조건으로 미정계수 정하기 — 6번(극대·극소), 9번(최대·최소), 22번(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소)
• 삼차방정식과 수평선 — 16번(실근의 부호), 21번(절댓값 삼차곡선과 교점 개수)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·3·8·20·22·23번) — 6문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 3번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 8번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 20번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 22번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 23번 중상 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수.

3번은 인접한 적분 구간을 하나로 연결해 계산합니다.

20번은 두 적분 항등식에 끝점을 대입하고 미분해 다항함수를 다시 구한 뒤 정적분을 계산합니다.

22번은 극대 조건으로 미지수를 정한 뒤 다른 부호 전환점에서 극솟값을 구합니다.

23번은 중근 조건으로 삼차함수를 정한 뒤 두 함수의 차를 절댓값 적분합니다. 부호가 바뀌는 점에서 구간을 나눠야 합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (5·10·11·15·16·21번) — 6문항

5번 중 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 11번 중 속도의 그래프의 해석, 15번 중상 시각에 대한 부피의 변화율, 16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 21번 상 두 그래프의 교점의 개수.

5번은 속도가 0이 되는 시각 중 실제로 부호가 바뀌는 시각을 골라 가속도를 구합니다. 속도가 0이라고 모두 방향이 바뀌는 것은 아니라는 점이 함정입니다.

10번은 반직선 구간에서 삼차부등식의 최솟값을 구하고, 등호가 없는 부등식의 정수 경계를 정합니다.

15번은 원뿔 속 수면 높이에 따른 부피의 시각에 대한 변화율을 구하는 문항입니다. 닮음비로 부피를 수면 높이 하나의 식으로 나타내는 것이 첫 단계입니다.

21번 상은 절댓값을 씌운 삼차곡선과 수평선의 교점 수를 높이별로 나눠 합하는 4단계 문항입니다.

3. 도함수의 활용 (2) (4·6·9·13·19번) — 5문항

4번 중 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 6번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 9번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 중 도함수의 그래프의 해석, 19번 중상 최대·최소의 활용; 넓이.

4번은 삼차함수가 증가하는 구간의 최대 길이를 구합니다.

9번은 닫힌구간에서 극값 후보와 양 끝값을 비교해 최댓값 조건으로 상수를 정하고 최솟값을 구합니다.

13번은 두 도함수 그래프의 위아래 관계로 증가·감소와 극값을 판정합니다.

19번은 교점 좌표로 삼각형 넓이를 함수로 세운 뒤 허용 구간에서 최댓값을 찾습니다.

4. 정적분의 활용 (7·14·17·18번) — 4문항

7번 중 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴, 14번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 17번 상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 18번 상 움직인 거리.

7번은 부호가 바뀌는 점에서 나눠 두 적분을 더하는 기본형입니다.

14번은 꺾은선 모양 속도 그래프에서 구간별 넓이로 위치와 총 이동거리를 판정합니다.

17번 상은 함수와 역함수 그래프가 y=x에 대해 대칭인 성질로 둘러싸인 넓이를 반으로 나눠 구합니다.

18번 상은 두 점 사이 거리가 최대가 되는 시각을 찾고, 그 시각까지 움직인 거리를 속도 부호에 따라 나눠 적분합니다.

5. 부정적분 (2·12번) — 2문항

2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 12번 중 부정적분과 함수의 연속성. 12번은 구간별 원시함수를 연속 조건으로 이어 붙이는 문항입니다.

주의 문항 — 상 3문항

17번 상 (역함수 대칭과 넓이) — 대칭 구조를 먼저 알아차려야 계산이 짧아집니다.

18번 상 (두 점의 최대 거리와 움직인 거리) — 최대 거리 시각을 구한 뒤 거리 적분까지 4단계입니다.

21번 상 (절댓값 삼차곡선과 교점 개수) — 수평선 높이별 경우 나누기가 핵심입니다.

상 3문항 모두 4단계 풀이입니다. 여기에 15번 이후 중상 6문항(15·16·19·20·22·23번) 이 더해지니, 15번 이전에서 시간을 아껴 두는 것이 중요합니다.

운양고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 계산, 부정적분의 적분상수 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 인접 구간 정적분, 정적분 꼴 극한 — 3·8번 대비.
3. 삼차함수가 증가하는 구간 — 4번 대비.
4. 운동 방향과 가속도, 속도 그래프 해석 — 5·11번 대비. 실제 부호 전환 확인.
5. ★ 극값·최대최소로 미정계수 정하기 — 6·9번 대비.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 10번 대비.
7. 구간별 원시함수와 연속성 — 12번 대비.
8. 두 도함수 그래프 해석 — 13번 대비.
9. 곡선과 x축 사이 넓이, 위치와 움직인 거리 — 7·14번 대비.
10. 부피의 변화율 — 15번 대비. 닮음으로 식 세우기.
11. ★ 삼차방정식 실근의 부호, 교점 개수 — 16·21번 대비.
12. 최대·최소의 활용(넓이) — 19번 대비.
13. 변수가 있는 정적분 등식, 정적분 함수의 극값 — 20·22번 대비.
14. 절댓값 정적분 — 23번 대비.
15. ★ 역함수 대칭 넓이, 두 점의 움직인 거리 — 17·18번 상 대비.

자주 나오는 질문

운양고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준으로 23문항 모두 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분과 도함수의 활용 (3)이 각 6문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2) 5문항, 정적분의 활용 4문항, 부정적분 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·18·21번 3문항입니다. 중상도 9문항이라 중상 이상이 12문항입니다.

함수의 극한도 시험에 나오나요?

이 시험지에는 함수의 극한과 연속 단원 배치 문항이 없습니다. 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지가 배치됐습니다.

과년도 운양고 기출도 볼 수 있나요?

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