남양주다산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

남양주다산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원 중 가장 많은 것은 도함수의 활용 (2) 6문항으로, 극대·극소와 최대·최소 문제가 시험의 중심입니다. 상 난이도는 17번 한 문항이지만, 중상이 8문항으로 두껍습니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~18번 ①~⑤ 선택형, 19~21번 서술형 3문항
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 8 / 상 1
• 최다 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6문항, 정적분·도함수의 활용 (3) 각 5문항
• 극대·극소 관련: 3·15·17번 — 17번이 유일한 상
• 서술형 3문항: 19번 중, 20·21번 중상

남양주다산고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

남양주다산고등학교는 경기 남양주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 분석표 정답 기록 기준으로 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19·20·21번은 서술형입니다.

미분 쪽(도함수의 활용 (2)·(3)) 11문항, 적분 쪽(부정적분·정적분·정적분의 활용) 10문항으로 양쪽이 거의 반반입니다. 다만 유일한 상 문항(17번)과 중상 8문항 중 다섯 문항(12·14·15·16·20번)이 미분 쪽에 있어, 어려운 문항은 미분 쪽에 더 많습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 8문항

1~10번은 하·중만 있습니다. 하 3문항(1·2·5번)도 모두 이 안에 있습니다. 11번부터 중상이 시작되고, 11~18번 여덟 문항 중 13번 하나만 중입니다.

서술형은 19번이 중, 20·21번이 중상입니다. 선택형 뒷부분에서 시간을 너무 쓰면 서술형 두 문항을 마무리하기 어렵습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 6문항

부정적분은 1번 한 문항이고, 적분은 정적분 계산과 활용에 집중되었습니다. 도함수의 활용 (2) 6문항은 극대·극소(3·15·17번), 삼차함수가 증가할 조건(7번), 도함수의 그래프 해석(13번), 넓이의 최대(16번)로 나뉩니다.

시그니처 — 극대·극소 3문항, 갈수록 어려워진다

극대·극소를 다룬 문항이 3·15·17번에 있고, 난이도는 중 → 중상 → 상으로 올라갑니다.

• 3번 중 (함수의 극대·극소) — 곱으로 된 함수의 극값 조건에서 원래 함수의 미분값을 정합니다.
• 15번 중상 (함수의 극대·극소) — 구간마다 다르게 정의된 함수가 이어지는 점의 극솟값으로 상수를 정합니다.
• 17번 상 (극대·극소의 활용) — 절댓값이 씌워진 함수의 미분 불가능한 점을 단근으로 해석하고, 나머지 근이 중근 구조임을 찾아 극댓값과 근 사이 간격을 연결하는 4단계 문항입니다.

세 문항 모두 도함수가 0이 되는 점에서 부호가 바뀌는지를 확인하는 데서 시작합니다. 3번에서 곱의 미분을 정확히 하는 연습이 15·17번까지 이어집니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 증가·감소와 도함수의 그래프 (7·13·16번)

7번 중 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 계수 범위, 13번 중 도함수 차의 부호로 극값 판정, 16번 중상 수직이등분선 위의 점으로 만든 삼각형 넓이의 최대.

7번은 도함수의 판별식 조건으로 계수의 경계를 구하는 표준형입니다. 13번은 두 도함수의 차의 부호를 보고 보기마다 판정합니다. 16번은 두 점에서 거리가 같다는 조건으로 좌표 관계를 정하고, 넓이를 식으로 세워 미분합니다.

2. 방정식의 실근과 접선 (12·14·20번)

12번 중상 삼차방정식의 양근·음근 개수로 계수 판정, 14번 중상 짝수 차수 사차함수의 절댓값 방정식 실근 수, 20번 중상(서술형) 접선이 두 개일 조건.

12번은 삼차함수의 극값으로 경우를 나누고, 근의 부호와 상수항의 관계를 본 뒤 경계를 제외해 정수 개수를 셉니다. 14번은 높이별로 절댓값 방정식의 근 개수를 따집니다.

20번은 접점의 x좌표를 문자로 놓고 접선의 식을 세운 뒤, 중근이 생기는 높이를 경계로 조건을 맞춥니다. 서술형이니 접선의 식과 경계 조건을 모두 써야 합니다.

3. 운동 문제 (4·6·19번) — 3문항

4번 중 속도가 0이 되는 시각으로 나눠 움직인 거리 적분, 6번 중 두 점의 속도 곱이 음수인 구간(서로 반대 방향으로 움직이는 구간), 19번 중(서술형) 위로 던진 물체가 땅에 떨어지는 순간의 속도.

4번은 정지 시각을 기준으로 부호를 나눈 뒤 거리를 적분합니다. 6번은 두 속도의 영점을 각각 구하고, 곱이 음수인 구간의 길이를 셉니다. 19번은 높이가 0이 되는 양의 시각을 구하고 그때의 속도를 계산하는 서술형입니다.

4. 정적분과 정적분으로 정의된 함수 (2·8·10·11·18번) — 5문항

2번 하 같은 구간의 피적분함수 차를 합쳐 계산, 8번 중 상수인 정적분 항을 문자로 놓아 함수 결정, 10번 중 주기함수의 정적분, 11번 중상 적분식을 두 번 미분하고 중근 조건 이용, 18번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최솟값.

10번은 주기와 기함수 성질로 남는 구간을 기본 구간 적분으로 바꿉니다. 18번은 구간이 움직이는 적분을 미분하면 양 끝 함숫값의 차가 된다는 점을 이용해 최소가 되는 점을 찾습니다.

5. 넓이 (5·9·21번)

5번 하 양의 포물선과 x축 사이 넓이, 9번 중 포물선과 직선 사이 두 넓이의 비(1/6 공식), 21번 중상(서술형) 사차곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이.

21번은 원점에서 접하는 인수 조건과 접선과의 차가 중근을 갖는 조건으로 함수를 정한 뒤 넓이를 적분합니다. 함수 결정과 넓이 계산이 이어지는 서술형이라 두 단계를 모두 써야 합니다.

주의 문항 — 상 1문항과 서술형 중상 2문항

17번 상 (함수의 극대·극소의 활용) — 절댓값 함수의 미분 불가능한 점, 중근 구조, 극댓값과 근 간격을 차례로 연결합니다. 이 시험에서 단계가 가장 많습니다.

20번 중상 (서술형, 접선의 개수) — 접점을 문자로 두는 방법을 모르면 출발이 어렵습니다.

21번 중상 (서술형, 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) — 함수부터 정해야 넓이를 구할 수 있어, 앞 단계에서 실수하면 끝까지 영향을 받습니다.

남양주다산고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 도함수로 함수 구하기와 기본 정적분 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 곡선과 x축 사이 넓이, 1/6 공식 — 5·9번 대비.
3. 속도·운동 방향·움직인 거리 — 4·6·19번 대비. 정지 시각부터 찾기.
4. 삼차함수가 증가할 조건 — 7번 대비. 판별식 활용.
5. 상수인 정적분을 문자로 놓기, 주기함수의 정적분 — 8·10번 대비.
6. ★ 극대·극소 (곱의 미분, 구간별 함수) — 3·15번 대비.
7. 도함수의 그래프 해석 — 13번 대비.
8. 넓이의 최대·최소 — 16번 대비.
9. 극값으로 실근의 부호·개수 판정 — 12·14번 대비.
10. 정적분으로 정의된 함수의 미분과 최소 — 11·18번 대비.
11. 접선의 개수 — 20번 대비. 접점을 문자로.
12. ★ 절댓값 함수의 미분 가능성과 극값 — 17번 대비. 이 시험의 최고 난도.
13. 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 21번 대비.

자주 나오는 질문

남양주다산고 2학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 수학Ⅱ 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19~21번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2) 6문항이 가장 많습니다. 정적분과 도함수의 활용 (3)이 각 5문항, 정적분의 활용 4문항, 부정적분 1문항입니다.

킬러 문항은 무엇인가요?

상 난이도는 17번 한 문항입니다. 절댓값이 씌워진 함수의 극대·극소를 다룹니다. 이 밖에 중상이 8문항이라 11번 이후 대부분이 만만하지 않습니다.

서술형은 어떤 문항인가요?

19번(위로 던진 물체의 속도, 중), 20번(접선의 개수, 중상), 21번(곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이, 중상) 입니다.

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