상일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

상일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원 중 정적분의 활용이 6문항으로 가장 많고, 서술형이 4문항(17~20번) 입니다. 수직선 위를 움직이는 점, 두 물체 사이 거리처럼 운동을 다룬 문항이 5문항이라는 점이 눈에 띕니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~16번 ①~⑤ 선택형, 17~20번 서술형 4문항
• 난이도: 하 4 / 중 8 / 중상 7 / 상 1
• 최다 배치 단원: 09 정적분의 활용 6문항, 부정적분·도함수의 활용 (3) 각 4문항
• 운동 관련 5문항: 5·11·15·17·20번
• 상 1문항: 16번 — 기함수와 역함수의 대칭을 이용한 넓이

상일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

상일고등학교는 경기 부천시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 분석표 정답 기록 기준으로 1~16번은 ①~⑤ 선택형, 17·18·19·20번은 서술형입니다.

미분 쪽(도함수의 활용 (2)·(3)) 7문항, 적분 쪽(부정적분·정적분·정적분의 활용) 13문항입니다. 적분 쪽이 두 배 가까이 많습니다. 적분 쪽 13문항 중 부정적분이 4문항입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 7문항

1~7번은 하·중만 있습니다. 8번에서 첫 중상이 나오고, 8~11번 네 문항이 연속 중상입니다. 12·13번에서 잠시 중으로 내려왔다가 14번 중상, 16번 상으로 다시 올라갑니다.

서술형 4문항은 17번 하, 18번 중, 19·20번 중상 순으로 어려워집니다. 17·18번을 빠르게 끝내고 19·20번에 시간을 남겨야 합니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 6문항

정적분의 활용 6문항 중 세 문항(16·19·20번)이 중상 이상이고, 그중 19·20번은 서술형입니다. 점수 차이는 정적분의 활용에서 날 가능성이 큽니다.

시그니처 — 운동 문제 5문항

움직이는 점이나 물체를 다룬 문항이 5·11·15·17·20번에 있습니다.

• 5번 중 (그래프에서의 위치와 움직인 거리) — 속도 그래프에서 부호와 처음 방향이 바뀌는 시각을 읽고, 넓이로 거리를 구합니다.
• 11번 중상 (함수의 최대·최소) — 두 물체 사이 거리를 함수로 세우고, 극점과 끝점을 모두 비교해 최대가 되는 순간의 속도를 구합니다.
• 15번 중 (위치 그래프와 정적분) — 위치와 속도를 구분하고, 부호별 넓이의 합으로 보기를 판정합니다.
• 17번 하 (서술형, 속도) — 위치함수를 미분해 속도 조건으로 미정계수를 정합니다.
• 20번 중상 (서술형, 움직인 거리) — 두 물체의 중점이 움직인 거리를 구합니다. 조건을 만족하는 시각을 정한 뒤, 중점의 속도의 절댓값을 적분합니다.

위치·속도·거리를 구분하는 것이 다섯 문항의 공통 출발점입니다. 15번처럼 위치 그래프가 주어지는 경우와 5번처럼 속도 그래프가 주어지는 경우를 헷갈리지 않아야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (4·6·8·13번) — 4문항

4번 중 두 부정적분의 차와 초기값, 6번 중 부정적분 항등식을 미분해 함수 결정, 8번 중상 구간별 도함수를 적분하고 함수의 연속성 이용, 13번 중 부정적분이 들어간 함수방정식에서 함수 결정.

8번은 오른쪽 구간을 먼저 적분하고, 이어지는 점에서 연속 조건으로 왼쪽 구간의 값을 구합니다. 구간이 나뉜 함수에서 적분상수를 따로 다뤄야 한다는 점이 핵심입니다.

2. 정적분 (1·3·7번)

1번 하 상수함수의 정적분, 3번 중 정적분 평균값 형태의 극한, 7번 하 미적분의 기본정리로 도함수의 정적분과 그래프의 함숫값 연결.

3번은 분모를 인수분해한 뒤 미적분의 기본정리로 극한을 함숫값으로 바꾸는 유형입니다.

3. 최대·최소와 부등식 (10·12·14번)

10번 중상 수직이등분선 위의 점으로 만든 삼각형 넓이의 최대, 12번 중 극소점이 구간 안에 있는지에 따른 최솟값, 14번 중상 역수 대칭 치환과 부등식의 경계.

10번은 두 점에서 거리가 같다는 조건으로 좌표를 정하고, 넓이 식을 미분합니다. 14번은 역수 대칭이 되도록 치환하는 발상이 필요하고, 등호가 없는 부등식이라 경계값을 빼고 정수의 합을 구합니다.

4. 방정식의 실근 (9·18번)

9번 중상 삼차방정식의 음근과 양근의 개수, 18번 중(서술형) 서로 다른 세 실근을 가질 매개변수의 범위.

18번은 극값이 존재할 조건, 극댓값과 극솟값의 곱이 음수일 조건을 차례로 쓰고, 중근이 되는 경계를 빼야 합니다. 서술형이니 경계를 제외하는 이유까지 써 두세요.

5. 넓이 (2·16·19번)

2번 하 일차함수와 x축 사이 넓이, 16번 상 기함수와 역함수의 대칭을 이용한 넓이, 19번 중상(서술형) 적분식을 미분해 함수를 정한 뒤 두 곡선 사이 넓이.

19번은 적분식을 두 번 미분해 함수를 구하고, 교점을 기준으로 위아래를 나눠 넓이를 적분합니다.

주의 문항 — 상 1문항과 서술형 중상 2문항

16번 상 (함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이) — 기함수의 대칭, 교점 사이에서 어느 그래프가 위인지 판정, 적분할 영역 복원, 역함수 쪽 영역을 y=x에 대해 옮겨 더하기까지 네 단계입니다. 이 시험의 유일한 상입니다.

19번 중상 (서술형, 두 곡선 사이의 넓이) — 함수를 먼저 구해야 넓이로 넘어갈 수 있습니다.

20번 중상 (서술형, 움직인 거리) — 두 물체의 위치 차와 중점을 동시에 다뤄야 해서 설정을 정확히 읽는 것이 먼저입니다.

상일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 상수함수·일차함수의 정적분과 넓이 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 미적분의 기본정리 — 7번 대비.
3. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 3번 대비.
4. 부정적분과 초기값, 부정적분 항등식 — 4·6·13번 대비.
5. 구간별 함수의 부정적분과 연속성 — 8번 대비.
6. ★ 위치·속도·움직인 거리, 그래프 읽기 — 5·15·17·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
7. 두 물체 사이 거리의 최대 — 11번 대비.
8. 함수의 최대·최소, 넓이의 최대 — 10·12번 대비.
9. 삼차방정식의 실근의 부호와 개수 — 9·18번 대비. 경계 제외 습관.
10. 부등식이 항상 성립할 조건 — 14번 대비.
11. 적분식을 미분해 함수 구하기와 두 곡선 사이 넓이 — 19번 대비.
12. ★ 역함수 대칭을 이용한 넓이 — 16번 대비. 이 시험의 최고 난도.

자주 나오는 질문

상일고 2학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 수학Ⅱ 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~16번은 ①~⑤ 선택형, 17~20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용 6문항이 가장 많습니다. 부정적분과 도함수의 활용 (3)이 각 4문항, 정적분과 도함수의 활용 (2)가 각 3문항입니다.

킬러 문항은 무엇인가요?

상 난이도는 16번 한 문항입니다. 기함수와 역함수의 대칭을 이용해 넓이를 구합니다. 서술형 19·20번도 중상이라 시간 배분이 중요합니다.

서술형은 몇 문항인가요?

17~20번 4문항입니다. 17번 하(속도), 18번 중(세 실근 조건), 19번 중상(두 곡선 사이 넓이), 20번 중상(움직인 거리)입니다.

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