인덕원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

인덕원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 상 난이도는 한 문항도 없지만, 중상이 11문항으로 절반에 가깝습니다. 배치 단원은 정적분 7문항, 정적분의 활용 6문항으로 적분 쪽이 무겁습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 23문항 모두 ①~⑤ 정답
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 11 / 상 0
• 최다 배치 단원: 08 정적분 7문항, 정적분의 활용 6문항
• 반복 소재: 곡선 밖의 점에서 그은 접선·직선(9·16·21번)
• 마지막 구간: 19~23번 다섯 문항 연속 중상

인덕원고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인덕원고등학교는 경기 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 분석표 정답 기록 기준으로 23문항 모두 ①~⑤ 중에서 답이 기록되어 있습니다.

문항 수가 많은 시험입니다. 미분 쪽(도함수의 활용 (1)·(2)·(3)) 9문항, 적분 쪽(부정적분·정적분·정적분의 활용) 14문항입니다. 손을 못 댈 상 문항은 없지만, 중상 11문항을 제한 시간 안에 얼마나 처리하느냐가 점수를 가릅니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 11문항

1~8번은 하·중만 있습니다. 9번에서 첫 중상이 나오고, 12번부터는 15·18번 두 문항을 빼고 모두 중상입니다. 특히 19~23번 다섯 문항이 연속 중상이라, 마지막 구간에 충분한 시간을 남겨야 합니다.

상이 없다는 것은 킬러 하나를 버리고 나머지를 지키는 전략이 통하지 않는다는 뜻이기도 합니다. 중상 문항에서 하나씩 흘리면 그대로 점수 차이가 됩니다.

출제 단원 — 정적분 7문항

정적분 7문항 중 중상이 4문항(13·17·20·23번) 입니다. 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분(13·17번), 정적분으로 정의된 함수(20번), 미적분의 기본정리 활용(23번)처럼 계산보다 함수 구조를 읽는 문항이 많습니다.

시그니처 — 곡선 밖의 점에서 그은 접선·직선 3문항

곡선 밖의 한 점을 지나는 접선이나 직선을 다룬 문항이 9·16·21번에 있고, 셋 다 중상입니다.

• 9번 중상 (접선의 개수) — 접점을 문자로 놓고 접선의 식을 세운 뒤, 바깥 점의 높이를 접점에 대한 함수로 보고 극값을 구해 접선이 세 개가 되는 범위를 정합니다.
• 16번 중상 (곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) — 바깥 점에서 그은 두 접선의 접점을 정하고, 두 접선의 교점을 기준으로 영역을 나눠 두 정적분을 더합니다.
• 21번 중상 (두 곡선 사이 넓이의 최솟값) — 바깥 점을 지나는 직선과 곡선의 두 교점의 차를 판별식으로 나타내고, 기울기에 대한 완전제곱식으로 최소를 정한 뒤 1/6 공식으로 넓이를 구합니다.

세 문항 모두 접점(또는 교점)의 x좌표를 문자로 두는 것에서 출발합니다. 이 첫 단계에 익숙해지면 세 문항이 같은 틀로 보입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 계산과 정적분으로 정의된 함수 (2·3·13·15·17·20·23번) — 7문항

2번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한과 미분계수, 3번 중 상수인 정적분을 문자로 놓아 다항함수 복원, 13번 중상 절댓값의 누적 최댓값으로 정의된 함수를 나눠 적분, 15번 중 덧셈 꼴 관계식에서 기함수 성질을 찾아 대칭 구간 적분, 17번 중상 반복 합성한 텐트 모양 함수의 적분, 20번 중상 극값이 하나인 정적분 함수와 피적분함수의 영점 중복도, 23번 중상 구간별 피적분함수의 연속성과 정적분 함수의 성질.

13번과 17번은 같은 유형(구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분) 입니다. 17번은 텐트 모양 함수를 여러 번 합성해도 적분값이 변하지 않는다는 성질을 찾아야 하는 문항입니다.

15번은 관계식에 반대 부호를 대입해 기함수임을 보이고, 대칭 구간 적분을 정리합니다.

2. 넓이 (1·10·16·18·21번)

1번 하 함수와 역함수의 정적분, 10번 중 포물선의 현과 평행한 접선 사이 넓이의 비, 16번 중상 바깥 점에서 그은 두 접선과 곡선 사이 넓이, 18번 중 세 영역 넓이의 등차 조건, 21번 중상 넓이의 최솟값.

10번은 포물선과 현의 차 식으로 평행사변형 넓이와 곡선 영역의 적분을 연결해 비례 관계를 구합니다. 18번은 그림의 양·음 세 영역을 등차 조건으로 묶고 가운데 영역을 적분합니다.

3. 접선과 부등식 (5·9·14·22번)

5번 중 평행한 두 접선의 절편 차와 두 직선 사이 거리, 9번 중상 접선의 개수, 14번 중상 독립된 두 변수에 대한 부등식이 항상 성립할 조건, 22번 중상 x가 음수인 범위에서 부등식이 항상 성립할 조건.

14번은 두 변수가 독립이라는 점에서 "한쪽의 최솟값 ≥ 다른 쪽의 최댓값"으로 바꾸는 발상이 핵심입니다. 22번은 곡선과 직선이 음수 범위에서 접하는 경계를 찾아 계수 범위를 정합니다.

4. 운동 문제 (11·12번)

11번 중 위로 던진 물체의 최고 높이와 땅에 닿는 순간의 속도, 12번 중상 누적 거리로 방향이 바뀌는 시각을 찾고 일정한 속도 구간의 거리 더하기.

5. 극대·극소와 최대·최소 (6·7·8·19번)

6번 중 높이 제약이 있는 원기둥 부피의 최대, 7번 중 주어진 극솟값과 도함수로 다른 극댓값 구하기, 8번 중 수평선 높이에 따른 세 실근의 부호, 19번 중상 두 도함수의 차로 원래 함수의 성질 판정.

6. 부정적분 (4번)

4번 하 접선의 기울기를 적분하고 지정점 대입.

주의 문항 — 19~23번 연속 중상

19번 중상 (도함수의 그래프의 해석) — 두 도함수의 차가 만드는 중근·단근으로 증감을 구성하고, 보기를 하나씩 검증합니다.

20번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 극값이 하나뿐이라는 조건을 근의 중복도로 해석해야 합니다.

21번 중상 (넓이의 최솟값) — 판별식, 완전제곱식, 1/6 공식이 이어지는 복합형입니다.

22번 중상 (구간에서 부등식이 항상 성립할 조건) — 접하는 경계를 정한 뒤 조건을 다시 검증하는 단계까지 있습니다.

23번 중상 (미적분의 기본정리의 활용) — 정적분 함수의 미분 가능성, 부호, 양 끝의 극한, 수평선과의 교점 개수를 보기마다 판정합니다.

인덕원고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 함수와 역함수의 정적분, 정적분 함수의 극한 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 상수인 정적분을 문자로 놓기, 접선 기울기 적분 — 3·4번 대비.
3. 평행한 접선과 두 직선 사이 거리 — 5번 대비.
4. 부피의 최대, 극값으로 미정계수 구하기 — 6·7번 대비.
5. 실근의 부호 — 8번 대비.
6. 위로 던진 물체, 움직인 거리 — 11·12번 대비.
7. 포물선의 현과 1/6 공식, 부호가 다른 영역의 넓이 — 10·18번 대비.
8. 기함수·우함수의 정적분 — 15번 대비.
9. ★ 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 9·16·21번 대비. 이 시험의 시그니처.
10. 부등식이 항상 성립할 조건 (두 변수, 범위 제한) — 14·22번 대비.
11. 구간별 함수의 정적분, 합성 함수의 적분 — 13·17번 대비.
12. 도함수 그래프 해석, 정적분으로 정의된 함수의 극값 — 19·20번 대비.
13. 미적분의 기본정리 활용 — 23번 대비.

자주 나오는 질문

인덕원고 2학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 수학Ⅱ 기준 23문항입니다. 분석표 정답 기록 기준으로 23문항 모두 ①~⑤ 정답입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 7문항, 정적분의 활용 6문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 5문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 부정적분과 도함수의 활용 (1)이 각 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 대신 중상이 11문항이고, 그중 다섯 문항(19~23번)이 마지막에 연속으로 있습니다.

접선 문제는 얼마나 나오나요?

접선이 직접 등장하는 문항은 4·5·9·16번이고, 곡선 밖의 점을 지나는 직선을 다룬 21번까지 넣으면 다섯 문항입니다.

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