정화여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 대구 수성구)

대구 수성구 정화여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 출제는 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지 이어졌고, 그중 09 정적분의 활용과 06 도함수의 활용 (3)이 각 7문항으로 시험의 절반 이상을 차지했습니다. 상 난이도는 없지만 중 15문항이 넓게 깔려 있어 실수 관리가 승부처입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~19번 선택형, 20~23번 서술형 4문항
• 난이도: 하 1 / 중 15 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 7 / 06 도함수의 활용 (3) 7 / 07 부정적분 4 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 08 정적분 1
• 반복 유형: 부등식이 항상 성립할 조건(3·11번), 속도·가속도와 운동 방향(2·21번), 곡선과 직선 사이의 넓이(19·20번)
• 서술형 4문항 중 3문항이 중상(20·22·23번)

정화여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

정화여자고등학교는 대구 수성구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~19번은 ①~⑤ 선택형, 20~23번 네 문항은 서술형입니다.

범위는 도함수의 활용 후반부와 적분 전체입니다. 미분 쪽(05·06 단원)이 11문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 12문항으로 거의 반반입니다. 다만 08 정적분은 서술형 23번 한 문항뿐이고, 적분 문항 대부분은 넓이·위치·거리를 다루는 09 정적분의 활용으로 나왔습니다.

문항 배치는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1번이 곡선과 x축 사이의 넓이로 시작해 2·3번에서 도함수의 활용으로, 4·5번에서 부정적분으로 넘어갑니다. 단원이 번갈아 나오니 단원별 기본 공식을 고르게 정리해 둬야 앞쪽을 빠르게 넘길 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 1문항, 중 15문항

하 난이도는 1번 하나입니다. 2~12번은 전부 중이고, 13번에서 첫 중상이 나옵니다. 선택형 중상은 13·16·17·18번 네 문항으로 13~18번 구간에 몰려 있습니다.

서술형은 21번(중)을 빼면 20·22·23번이 모두 중상입니다. 선택형 뒤쪽과 서술형에 중상이 모여 있으니, 앞쪽 중 난이도 문항에서 시간을 아껴 두는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 정적분의 활용과 도함수의 활용 (3)이 각 7문항

05 도함수의 활용 (2) 네 문항은 모두 중입니다. 최대·최소와 도함수 그래프 해석이 중심이라 확보 구간으로 볼 수 있습니다. 반면 06 도함수의 활용 (3)은 7문항 중 3문항이 중상이고, 방정식의 실근과 부등식 조건이 여기 몰려 있습니다.

시그니처 유형 — 방정식·부등식과 도함수, 그리고 넓이

이 시험에서 두 번 이상 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 3번(사차식 최소), 11번(독립 두 변수의 최솟값과 최댓값)
• 속도·가속도와 운동 방향 — 2번(중점 위치의 속도와 운동 방향), 21번(서술, 두 속도 곱의 부호)
• 곡선과 직선 사이의 넓이 — 19번(곡선과 선분 사이의 두 넓이 차), 20번(서술, 절댓값 곡선과 직선)
• 함수와 부정적분 사이의 관계식으로 함수 구하기 — 9번(계수 비교), 18번(차수와 극한으로 복원)
• 최대·최소의 활용; 부피 — 12번(겉넓이 일정한 원기둥), 14번(대각선 일정한 원기둥)

12번과 14번은 둘 다 원기둥의 최대 부피입니다. 주어진 조건(겉넓이, 대각선)으로 부피를 한 변수의 식으로 만든 뒤 미분해 최대를 찾는 같은 흐름이니, 이 절차를 한 번에 익혀 두면 두 문항이 함께 열립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (10·12·14·15번) — 4문항, 전부 중

10번 도함수의 그래프의 해석(응용) — 도함수 부호로 원함수의 증감과 영점 수 판정, 12번 최대·최소의 활용(부피) — 겉넓이가 일정한 원기둥, 14번 최대·최소의 활용(부피) — 대각선이 일정한 원기둥, 15번 함수의 최대·최소 — 매개값별 닫힌구간의 최솟값 비교.

10번은 도함수 그래프만 보고 원함수를 읽는 문항입니다. 도함수의 부호로 증감과 극점을 정한 뒤 함숫값 대소로 보기의 진위와 영점 수를 판정합니다. 15번은 닫힌구간에서 극값과 양 끝 값을 비교하는 기본 절차를 두 번 반복하는 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·3·11·13·16·21·22번) — 7문항

2번 중 속도·가속도와 운동 방향, 3번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(사차식 최소), 11번 중 같은 유형(독립 두 변수), 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(극값 차와 삼차식), 16번 중상 삼차방정식의 근의 판별(근의 제곱합으로 정수근 탐색), 21번(서술) 중 속도·가속도와 운동 방향, 22번(서술) 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(홀삼차 절댓값의 네 실근 조건).

11번은 두 변수가 서로 독립이라는 점이 열쇠입니다. 한쪽의 최솟값이 다른 쪽의 최댓값보다 크거나 같아야 한다는 비교로 바꾸면 됩니다.

16번은 근과 계수의 관계로 정수근의 제곱합을 정한 뒤, 가능한 정수근 조합을 나눠 따지는 문항입니다. 단계가 셋이라 시간이 걸립니다.

22번은 이 단원의 서술형 중상입니다. 홀함수 조건으로 삼차식의 꼴을 먼저 정하고, 절댓값 그래프와 수평선이 네 점에서 만나는 조건을 극값의 높이와 연결합니다.

3. 부정적분 (4·5·9·18번) — 4문항

4번 중 부정적분과 극대·극소(극소 조건으로 미정계수), 5번 중 부정적분과 미분계수(유한 극한으로 함수 복원), 9번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식(미분 등식으로 바꿔 계수 비교), 18번 중상 같은 유형(차수와 극한으로 복원).

9번과 18번은 같은 유형인데 난이도가 다릅니다. 9번은 관계식을 미분해 계수를 비교하면 끝나지만, 18번은 차수 비교로 최고차수부터 정하고, 극한 조건으로 계수를 복원하고, 적분상수까지 결정해야 하는 세 단계입니다.

4. 정적분 (23번) — 서술형 1문항, 중상

23번(서술) 중상 우함수·기함수의 정적분. 차수 소거로 함수의 형식을 정하고, 극한 비로 계수를 복원한 뒤, 홀짝 항을 나눠 대칭 구간 정적분을 계산하는 흐름입니다.

08 정적분 단원은 이 한 문항뿐입니다. 그래도 배치는 서술형 마지막이라 비중이 작다고 넘기기 어렵습니다. 대칭 구간에서 기함수 항은 0, 우함수 항은 두 배라는 성질을 반드시 손에 익혀 두세요.

5. 정적분의 활용 (1·6·7·8·17·19·20번) — 7문항

1번 하 곡선과 x축 사이의 넓이(축과 포물선), 6번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그림), 7번 중 위치와 위치의 변화량(출발 시각이 다른 두 자동차의 만남), 8번 중 두 곡선 사이의 넓이(두 다항곡선의 분할 넓이), 17번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 19번 중 곡선과 직선 사이의 넓이(두 넓이 차), 20번(서술) 중상 곡선과 직선 사이의 넓이(절댓값 곡선의 분할 넓이).

6번은 위치와 움직인 거리를 구분하는 문항입니다. 위치는 부호를 살린 넓이의 합, 움직인 거리는 넓이의 절댓값 합입니다. 7번은 두 자동차의 출발 시각 차를 위치식에 반영하는 것이 핵심입니다.

17번 "두 도형의 넓이가 같을 조건" 은 두 넓이를 빼면 0이 되는 하나의 정적분으로 묶는 발상이 필요합니다. 20번은 절댓값 때문에 그래프가 꺾이는 점과 교점을 모두 찾아 구간을 나누는 서술형이라, 구간 분할에서 하나라도 빠뜨리면 점수를 잃습니다.

주의 문항 — 중상 7문항

13번 중상 (실근의 부호) — 극값 차로 계수를 정하고 근의 부호 조건으로 상수 범위를 구합니다. 선택형 첫 중상입니다.

16번 중상 (삼차방정식의 근의 판별) — 정수근 조합을 경우로 나눠야 합니다.

17번 중상 (두 도형의 넓이가 같을 조건) — 넓이 상쇄를 정적분 하나로 세우는 발상이 필요합니다.

18번 중상 (부정적분 관계식으로 함수 구하기) — 차수 결정, 계수 복원, 적분상수 결정의 세 단계입니다.

20번 중상 (서술, 절댓값 곡선과 직선의 넓이) — 구간 분할이 정확해야 합니다.

22번 중상 (서술, 실근의 개수) — 홀함수 조건과 절댓값 그래프를 함께 다룹니다.

23번 중상 (서술, 우함수·기함수의 정적분) — 함수 복원 후 대칭 적분까지 이어집니다.

정화여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 도함수 그래프로 원함수 해석하기 — 10번 대비.
2. 닫힌구간의 최대·최소 — 15번 대비. 극값과 양 끝 값 비교.
3. ★ 원기둥 최대 부피 — 12·14번 대비. 조건으로 한 변수 식 만들기.
4. 부등식이 항상 성립할 조건 — 3·11번 대비. 독립 두 변수는 최솟값과 최댓값 비교.
5. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수와 부호 — 13·22번 대비.
6. 근과 계수의 관계로 정수근 따지기 — 16번 대비.
7. 속도·가속도와 운동 방향 — 2·21번 대비. 속도 부호가 운동 방향.
8. 부정적분과 극값, 미분계수 — 4·5번 대비.
9. ★ 함수와 부정적분의 관계식으로 함수 구하기 — 9·18번 대비. 차수부터 정하기.
10. 우함수·기함수의 정적분 — 23번 대비.
11. 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 1·8번 대비.
12. 위치와 움직인 거리 구분 — 6·7번 대비.
13. ★ 곡선과 직선 사이의 넓이, 절댓값 함수의 구간 분할 — 19·20번 대비.
14. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 17번 대비.

자주 나오는 질문

정화여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 대구 수성구 정화여고 기준 23문항입니다. 정답 기록상 1~19번은 선택형, 20~23번은 서술형 4문항입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

09 정적분의 활용과 06 도함수의 활용 (3)이 각 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 07 부정적분 4문항, 05 도함수의 활용 (2) 4문항, 08 정적분 1문항입니다.

가장 어려운 문항은 무엇인가요?

상 난이도는 없습니다. 중상 7문항(13·16·17·18·20·22·23번)이 최고 난도이고, 그중 3문항이 서술형입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

하 난이도는 1번(곡선과 x축 사이의 넓이) 하나입니다. 대신 2~12번이 모두 중이고, 05 도함수의 활용 (2) 네 문항도 전부 중이라 여기서 점수를 지켜야 합니다.

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