청구고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 대구 동구)

대구 동구 청구고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 가장 많이 나온 단원은 05 도함수의 활용 (2) 6문항이지만, 점수가 갈리는 곳은 따로 있습니다. 09 정적분의 활용 5문항 중 3문항이 중상이고, 선택형 12~14번이 세 문항 연속 중상입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~20번 서술형 6문항
• 난이도: 하 2 / 중 12 / 중상 6 / 상 0
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 09 정적분의 활용 5 / 08 정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 1
• 반복 유형: 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(2·13번), 곡선과 x축 사이의 넓이(5·8번), 삼차함수가 증가·감소하기 위한 조건(11·16번)
• 가장 까다로운 구간: 선택형 12·13·14번 연속 중상

청구고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

청구고등학교는 대구 동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~14번은 ①~⑤ 선택형, 15~20번 여섯 문항은 서술형입니다. 서술형 비중이 큰 편이라 풀이를 끝까지 적는 연습이 필요합니다.

범위는 도함수의 활용 후반부와 적분입니다. 미분 쪽(05·06 단원)이 10문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 10문항으로 정확히 반반입니다. 07 부정적분은 1번 한 문항만 따로 나왔고, 적분 문항은 대부분 정적분 계산과 넓이·위치·거리 문제로 나왔습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 6문항

하 난이도 두 문항은 1번(부정적분과 미분의 관계)과 3번(미적분의 기본정리) 입니다. 둘 다 정의를 그대로 쓰는 문항이라 빠르게 넘겨야 합니다.

선택형 중상은 8번과 12·13·14번입니다. 특히 12~14번 세 문항이 연속 중상이라 선택형 후반에서 시간이 많이 듭니다. 서술형 여섯 문항 중 중상은 17·20번 두 문항이고 나머지 네 문항(15·16·18·19번)은 중입니다. 서술형 중 난이도 네 문항은 꼭 챙겨야 할 점수입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 6문항, 정적분의 활용 5문항

문항 수만 보면 05 도함수의 활용 (2)가 가장 많지만 6문항 중 5문항이 중입니다. 반대로 09 정적분의 활용은 5문항 중 3문항(8·12·14번)이 중상으로, 이 시험에서 난도가 가장 높은 단원입니다.

시그니처 유형 — 같은 유형을 쉬운 버전과 어려운 버전으로

청구고 시험은 같은 유형을 두 번 내면서 난이도를 다르게 배치한 경우가 눈에 띕니다.

• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 2번 중(극점과 극값 조건), 13번 중상(두 기울기와 극댓값으로 삼차식 복원)
• 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5번 중(기울기와 통과점으로 함수 복원 후 넓이), 8번 중상(연속인 구간별 함수의 분할 넓이)
• 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 — 11번 중(닫힌구간에서 감소), 16번(서술) 중(실수 전체에서 감소)

2번과 13번을 보면, 2번은 극점과 극값 두 조건으로 계수를 정하면 끝나지만 13번은 계수 결정, 상수 결정, 극솟값 계산까지 세 단계입니다. 5번과 8번도 같은 관계입니다. 8번은 연속 조건으로 계수를 먼저 정하고, 구간마다 영점과 부호를 따져 넓이를 나눠 더해야 합니다.

11번과 16번은 증가·감소 조건을 구간과 실수 전체로 나눠 물었습니다. 실수 전체에서 감소하려면 도함수가 항상 0 이하여야 하므로 판별식 조건이 되고, 닫힌구간에서는 구간 양 끝에서 도함수 값을 확인하는 방식이 됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (2·4·6·11·13·16번) — 6문항

2번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 4번 중 함수의 최대·최소(닫힌구간 사차함수의 최솟값), 6번 중 함수의 증가와 감소(삼차식의 증감과 극값 진위 판정), 11번 중 주어진 구간에서 삼차함수가 감소하기 위한 조건, 13번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 16번(서술) 중 실수 전체에서 삼차함수가 감소하기 위한 조건.

4번은 도함수의 영점 가운데 구간 안에 있는 것만 골라 양 끝 값과 비교하는 기본 문항입니다. 6번은 보기 진위 판정형이라 증감표를 정확히 그려 두면 보기를 하나씩 확인할 수 있습니다.

2. 도함수의 활용 (3) (7·9·17·19번) — 4문항

7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(반직선에서 성립하는 부등식), 9번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(두 실근을 갖는 수평선 높이), 17번(서술) 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 19번(서술) 중 속도(양의 만남 시각에서 두 속도 차).

7번은 두 함수의 차를 새 함수로 두고, 그 구간에서의 증감으로 최솟값을 찾는 방식입니다. 9번과 17번은 둘 다 극값을 먼저 구해 수평선과의 교점을 따지는 문항이고, 17번은 여기에 음근과 양근의 개수 조건이 더해져 중상입니다.

3. 부정적분과 정적분 (1·3·15·18·20번) — 5문항

1번 하 부정적분과 미분의 관계, 3번 하 미적분의 기본정리(삼차함수 그림의 도함수 정적분), 15번(서술) 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 18번(서술) 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 20번(서술) 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우).

3번은 도함수를 적분하면 원함수 값의 차가 된다는 기본정리를 그림에서 읽는 문항입니다. 15번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 계산합니다. 18번은 정적분 값이 매개변수에 대한 이차식이 되므로 완전제곱식으로 최댓값을 찾습니다.

20번은 이 시험의 서술형 최고 난도 중 하나입니다. 변수가 들어간 정적분 등식을 두 번 미분해 함수를 복원하고, 복원한 삼차식의 두 극값을 구한 뒤, 서로 다른 세 실근 조건을 따지는 세 단계입니다.

4. 정적분의 활용 (5·8·10·12·14번) — 5문항

5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(기울기와 통과점으로 함수 복원), 8번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(연속인 구간별 함수), 10번 중 위치와 위치의 변화량(초기 위치와 구간별 속도 정적분), 12번 중상 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 14번 중상 움직인 거리(중점이 돌아오는 시각까지).

12번은 상수 정적분 방정식을 먼저 풀어 곡선을 정한 뒤 직선과의 교점을 찾아 넓이를 구합니다. 포물선과 직선 사이 넓이는 1/6 공식을 쓰면 계산이 짧아집니다.

14번은 두 점의 속도를 평균 내 중점의 위치를 만들고, 중점이 출발점으로 돌아오는 양의 시각을 구한 뒤, 그때까지 움직인 거리를 적분합니다. 도중에 방향이 바뀌므로 위치의 변화량이 아니라 거리라는 점을 놓치면 안 됩니다.

주의 문항 — 중상 6문항

8번 중상 (구간별 함수의 넓이) — 연속 조건, 영점과 부호, 넓이 합산의 세 단계입니다. 선택형 첫 중상입니다.

12번 중상 (포물선과 직선 사이의 넓이) — 상수 정적분으로 함수를 먼저 정해야 합니다.

13번 중상 (극대·극소와 미정계수) — 2번과 같은 유형이지만 조건이 하나 더 붙었습니다.

14번 중상 (움직인 거리) — 중점의 위치를 만드는 과정과 방향 전환을 함께 다룹니다.

17번 중상 (서술, 실근의 부호) — 극값과 근의 부호 조건을 정리해 정수 개수까지 셉니다.

20번 중상 (서술, 정적분을 포함한 등식) — 두 번 미분, 극값, 실근 조건이 이어집니다.

청구고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계, 미적분의 기본정리 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 함수의 증가·감소와 증감표 — 6번 대비.
3. ★ 삼차함수가 증가·감소하기 위한 조건 — 11·16번 대비. 구간과 실수 전체를 구분.
4. 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 2·13번 대비.
5. 닫힌구간의 최대·최소 — 4번 대비.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 7번 대비.
7. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수와 부호 — 9·17번 대비.
8. 속도와 두 점의 만남 — 19번 대비.
9. 절댓값 함수의 정적분 — 15번 대비.
10. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 18번 대비.
11. 정적분을 포함한 등식 — 20번 대비. 미분해서 함수 복원.
12. ★ 곡선과 x축 사이의 넓이, 구간별 함수의 넓이 — 5·8번 대비.
13. 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식) — 12번 대비.
14. 위치의 변화량과 움직인 거리 — 10·14번 대비.

자주 나오는 질문

청구고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 대구 동구 청구고 기준 20문항입니다. 정답 기록상 1~14번은 선택형, 15~20번은 서술형 6문항입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많고, 09 정적분의 활용 5문항, 08 정적분 4문항, 06 도함수의 활용 (3) 4문항, 07 부정적분 1문항 순입니다.

가장 어려운 단원은 어디인가요?

09 정적분의 활용입니다. 5문항 중 3문항(8·12·14번)이 중상입니다.

서술형은 얼마나 어렵나요?

서술형 6문항 중 중상은 17·20번 두 문항이고, 15·16·18·19번은 중 난이도입니다.

과년도 청구고 기출도 볼 수 있나요?

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