백운고(경기 의왕시) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
경기 의왕시 백운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 한 문장으로 요약하면 어려운 시험입니다. 20문항 중 중상 9문항, 상 3문항으로 중상 이상이 12문항이고, 13~18번 여섯 문항이 연속으로 중상 이상입니다. 하 난이도는 1번 하나뿐입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
- 난이도: 하 1 / 중 7 / 중상 9 / 상 3
- 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 2
- 상 난이도: 13번 곡선과 x축 사이의 넓이, 14번 실근의 개수, 18번 정적분을 포함한 등식
- 고비 구간: 13~18번 연속 중상 이상, 서술형 19·20번도 모두 중상
백운고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
백운고등학교는 경기 의왕시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.
범위는 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지입니다. 적분 쪽(07·08·09 단원)이 13문항, 도함수의 활용(05·06 단원)이 7문항으로 적분 비중이 훨씬 큽니다. 특히 09 정적분의 활용 6문항과 08 정적분 5문항에 상 난이도 두 문항과 중상 다섯 문항이 들어 있습니다.
문항 하나하나가 길다는 점도 특징입니다. 분석표의 난이도 근거를 보면 중상 문항은 세 단계, 상 문항은 네 단계 풀이로 분류돼 있습니다. 절댓값이 들어간 함수가 11·14·17·18번에 반복해서 등장해, 경우를 나누는 연습이 부족하면 뒤쪽에서 크게 막힙니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 12문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 1 |
| 중 | 7 | 35% | 2·3·4·5·6·10·12 |
| 중상 | 9 | 45% | 7·8·9·11·15·16·17·19·20 |
| 상 | 3 | 15% | 13·14·18 |
1~6번은 하·중입니다. 첫 중상이 7번(부정적분 관계식으로 함수 구하기) 에서 나오고, 7~12번은 중과 중상이 번갈아 나옵니다.
그리고 13번부터 18번까지 여섯 문항이 모두 중상 또는 상입니다. 상 세 문항 중 두 문항(13·14번)이 이 구간 앞쪽에 붙어 있고, 18번이 선택형 마지막입니다. 서술형 19·20번도 둘 다 중상이라, 시험 후반 8문항에는 중 난이도가 하나도 없습니다.
이런 구조에서는 1~6번과 10·12번, 중 이하 8문항을 빠르고 정확하게 끝내는 것이 출발점입니다. 그래야 뒤쪽 고난도 문항에 시간을 쓸 수 있습니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 6문항, 정적분 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 6 | 5·9·12·13·15·16 | 중 2 / 중상 3 / 상 1 |
| 08 정적분 | 5 | 2·3·17·18·20 | 중 2 / 중상 2 / 상 1 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 4·8·10·11 | 중 2 / 중상 2 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 3 | 6·14·19 | 중 1 / 중상 1 / 상 1 |
| 07 부정적분 | 2 | 1·7 | 하 1 / 중상 1 |
다섯 단원 모두에 중상 이상 문항이 있습니다. 쉬운 단원이 따로 없다는 뜻입니다. 상 세 문항은 09 정적분의 활용, 08 정적분, 06 도함수의 활용 (3)에 하나씩 나뉘어 있습니다.
시그니처 유형 — 절댓값과 구간별 함수
이 시험을 관통하는 소재는 절댓값과 구간에 따라 다르게 정의된 함수입니다.
- 2번 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분(절댓값 일차식)
- 11번 중상 사차함수가 극값을 가질 조건(절댓값 함수가 미분가능할 조건)
- 14번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 삼차곡선과 수평선의 교점)
- 17번 중상 정적분을 포함한 등식(절댓값이 들어간 피적분식)
- 18번 상 정적분을 포함한 등식(적분 항등식과 절댓값 함수의 두 극솟값)
- 13번 상 곡선과 x축 사이의 넓이(구간별로 정의된 함수의 세 영역)
- 20번(서술) 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분
절댓값 함수는 안쪽이 0이 되는 점에서 그래프가 꺾이거나 뒤집힌다는 것이 공통 출발점입니다. 2번처럼 구간을 나눠 적분하는 기본형부터, 14번처럼 절댓값 삼차곡선과 수평선의 교점 개수를 높이별로 분류하는 고난도형까지 단계적으로 나왔습니다. 그래프를 직접 그려 꺾이는 점과 극값 위치를 표시하는 습관이 필수입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (4·8·10·11번) — 4문항
4번 중 함수의 최대·최소(삼차함수 닫힌구간의 최댓값과 최솟값의 차), 8번 중상 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건, 10번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 11번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건.
8번과 10번은 극값 조건을 도함수의 근으로 바꾸는 문항입니다. 극값이 없으려면 도함수의 부호가 바뀌지 않아야 하고, 구간 안에서 극값을 가지려면 도함수의 두 근이 그 구간 안에 있어야 합니다. 10번은 도함수의 축, 구간 양 끝 값, 꼭짓점의 부호를 함께 확인합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (6·14·19번) — 3문항
6번 중 가속도(가속도가 최소인 시각과 속도 조건), 14번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 삼차곡선), 19번(서술) 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(구간에서 증가하는 조건).
19번은 도함수를 인수분해한 뒤 남은 이차식이 구간에서 0 이상이 되도록 하는 서술형입니다. 이차함수의 축이 구간 안에 있는지 밖에 있는지로 경우를 나눠야 하므로, 경우 분류와 두 경우의 합집합까지 빠짐없이 서술해야 합니다.
3. 부정적분 (1·7번) — 2문항
1번 하 부정적분과 미분의 관계를 이용해 함수 구하기(지정된 점으로 적분상수 결정), 7번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식으로 함수 구하기.
7번은 항등식을 미분했을 때 곱의 미분 꼴이 나타나는 구조를 찾아야 풀립니다. 이 시험의 첫 중상이라 시간이 걸리면 표시해 두고 넘어가는 판단도 필요합니다.
4. 정적분 (2·3·17·18·20번) — 5문항
2번 중 절댓값 함수의 정적분, 3번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우), 17번 중상 정적분을 포함한 등식(끝과 피적분함수에 변수), 18번 상 정적분을 포함한 등식(끝에 변수), 20번(서술) 중상 구간별 함수의 정적분.
3번은 상수인 정적분을 하나의 문자로 두고 식을 세우는 기본형입니다. 17·18번은 변수가 들어간 정적분 등식을 미분하거나 특정 값을 대입해 함수를 복원한 뒤, 절댓값 조건까지 처리해야 합니다.
20번은 처음 구간에서의 최댓값을 누적해 정의한 함수를 적분하는 서술형입니다. 원래 함수의 극값과 그 값을 다시 만나는 점을 찾아 구간을 나누는 것이 핵심입니다.
5. 정적분의 활용 (5·9·12·13·15·16번) — 6문항
5번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건(넓이 비율), 9번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프에서 다시 만나는 시각), 12번 중 두 곡선 사이 넓이의 활용(이등분), 13번 상 곡선과 x축 사이의 넓이(구간별 함수의 세 영역), 15번 중상 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭인 것을 이용한 넓이, 16번 중상 두 곡선 사이의 넓이(같은 극소점을 갖는 삼차와 이차함수).
9번은 같은 위치에 오는 시각을 모두 구한 뒤, 속도가 0인 지점에서 거리를 나눠 더해야 합니다. 15번은 역함수의 적분을 y=x 대칭으로 원래 함수의 넓이와 연결하는 문항입니다. 13번은 연속 조건으로 계수를 정하고 영점과 부호를 모두 확인한 뒤 세 영역을 나눠 적분하는 네 단계 문항으로, 이 단원의 최고 난도입니다.
주의 문항 — 상 3문항, 중상 9문항
13번 상 (구간별 함수의 넓이) — 계수 결정, 영점과 부호 확인, 영역 분할, 적분 합산의 네 단계입니다.
14번 상 (절댓값 삼차곡선과 실근의 개수) — 교점 개수를 높이별로 분류하고 함수를 복원해야 합니다.
18번 상 (정적분을 포함한 등식) — 적분 항등식 미분, 절댓값 함수의 두 극솟값 분류가 이어집니다.
7·8·9·11번 중상 — 선택형 중반에 흩어져 있어 시간 배분을 흔듭니다.
15·16·17번 중상 — 13·14번 상 문항 직후에 이어지는 구간입니다.
19·20번 중상 (서술) — 경우 분류와 구간 분할을 모두 서술해야 합니다.
백운고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분과 적분상수 결정 — 1번 대비. 확보 문항.
- 닫힌구간의 최대·최소 — 4번 대비.
- ★ 극값을 가질 조건, 갖지 않을 조건 — 8·10·11번 대비. 도함수의 근으로 바꾸기.
- 위치·속도·가속도 — 6·9번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건과 경우 분류 — 19번(서술) 대비.
- ★ 절댓값 함수의 그래프와 실근의 개수 — 14번 대비.
- 함수와 부정적분의 관계식 — 7번 대비.
- 절댓값 함수의 정적분 — 2번 대비.
- 정적분을 포함한 등식(상수형·변수형) — 3·17·18번 대비.
- 구간별 함수의 정적분 — 20번(서술) 대비.
- 두 도형의 넓이가 같을 조건, 넓이의 이등분 — 5·12번 대비.
- ★ 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 13·16번 대비.
- 역함수와 넓이 — 15번 대비.
자주 나오는 질문
백운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 경기 의왕시 백운고 기준 20문항입니다. 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
09 정적분의 활용이 6문항으로 가장 많고, 08 정적분 5문항, 05 도함수의 활용 (2) 4문항, 06 도함수의 활용 (3) 3문항, 07 부정적분 2문항 순입니다.
시험이 어려운 편인가요?
네. 중상 9문항, 상 3문항으로 중상 이상이 12문항(60%) 입니다. 하 난이도는 1번 하나입니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
13번(구간별 함수와 x축 사이의 넓이), 14번(절댓값 삼차곡선과 실근의 개수), 18번(정적분을 포함한 등식) 이 상 난이도입니다.
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