이산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 경기 화성시)
경기 화성시 이산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험은 중상 9문항, 상 2문항으로 절반이 중상 이상입니다. 특히 13번부터 19번까지 일곱 문항이 연속으로 중상 또는 상이라, 선택형 후반이 이 시험의 승부처입니다. 단원으로는 08 정적분이 7문항으로 가장 많습니다.
핵심 요약
- 22문항 — 정답 기록 기준 1~19번 선택형, 20~22번 서술형 3문항
- 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 9 / 상 2
- 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 1 / 04 도함수의 활용 (1) 1
- 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(13·18번), 함수의 증가와 감소(7·16번), 끝에 변수가 있는 정적분 등식(15·22번)
- 상 난이도: 18번 실근의 개수, 19번 실근의 부호
이산고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
이산고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~19번은 ①~⑤ 선택형, 20~22번 세 문항은 서술형입니다.
범위는 도함수의 활용과 적분입니다. 적분 쪽(07·08·09 단원)이 12문항, 도함수의 활용(04·05·06 단원)이 10문항입니다. 도함수의 활용 쪽에서는 04 도함수의 활용 (1)의 평균값 정리도 12번 한 문항 나왔습니다.
시험지는 앞쪽이 쉽고 뒤로 갈수록 급격히 어려워지는 형태입니다. 1~3번이 하, 4~9번이 중이고, 10번부터 중상이 시작됩니다. 10~19번 열 문항 중 12번(평균값 정리, 중)을 빼면 전부 중상 이상입니다.
2025학년 난이도 분포 — 13~19번 연속 중상 이상
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% | 1·2·3 |
| 중 | 8 | 36% | 4·5·6·7·8·9·12·20 |
| 중상 | 9 | 41% | 10·11·13·14·15·16·17·21·22 |
| 상 | 2 | 9% | 18·19 |
1~9번 아홉 문항은 하·중입니다. 이 구간을 빠르게 끝내야 뒤쪽에 시간을 쓸 수 있습니다.
10번부터 난도가 올라가고, 13~19번은 일곱 문항 연속 중상 이상입니다. 상 두 문항이 18·19번, 선택형 마지막 두 자리에 나란히 있습니다. 서술형은 20번(부등식 증명)이 중, 21·22번이 중상입니다. 20번은 서술형 중 가장 먼저 확보해야 할 문항입니다.
출제 단원 — 정적분 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 08 정적분 | 7 | 3·8·9·10·15·17·22 | 하 1 / 중 2 / 중상 4 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 5·13·18·19·20 | 중 2 / 중상 1 / 상 2 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 1·11·14·21 | 하 1 / 중상 3 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 4·6·7·16 | 중 3 / 중상 1 |
| 07 부정적분 | 1 | 2 | 하 1 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 12 | 중 1 |
08 정적분 7문항 중 4문항이 중상입니다. 정적분 계산 자체보다 정적분으로 정의된 함수의 극한, 정적분을 포함한 등식, 구간별 함수의 정적분처럼 정적분의 성질을 쓰는 문항이 많습니다.
09 정적분의 활용은 1번(하)을 빼면 세 문항이 모두 중상입니다. 넓이와 움직인 거리 문항이 모두 세 단계 풀이로 분류돼 있습니다. 상 두 문항은 모두 06 도함수의 활용 (3) 에 있습니다.
시그니처 유형 — 수평선과 그래프의 교점
이 시험의 최고 난도는 방정식 f(x)=k를 그래프와 수평선의 교점으로 보는 문항에 모여 있습니다.
- 13번 중상 실근의 개수(절댓값 사차함수와 수평선의 교점 수가 홀수인 조건)
- 18번 상 실근의 개수(사차함수와 수평선이 두 점에서 만나는 높이의 최솟값)
- 19번 상 실근의 부호(삼차함수와 수평선, 근의 부호 개수가 바뀌는 높이)
세 문항 모두 극값의 높이를 기준으로 수평선의 위치를 나눠 교점 수를 세는 방식입니다. 18번은 두 극솟값이 같아야 한다는 조건을 논증하고 사차식을 복원해야 하며, 19번은 근의 부호 개수가 바뀌는 높이와 원점의 함숫값을 연결해 가능한 배치를 나눠야 합니다. 그래프 개형을 그리고 수평선을 위아래로 움직여 보는 연습이 반드시 필요합니다.
정적분 쪽에서는 끝에 변수가 있는 정적분 등식이 15번(선택, 중상)과 22번(서술, 중상) 에 반복됐습니다. 두 문항 모두 등식을 미분해 함수의 차수와 계수를 정하고, 특정 값을 대입해 상수를 결정하는 흐름입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (1)·(2) (4·6·7·12·16번) — 5문항
4번 중 함수의 극대·극소(삼차 도함수의 부호와 극댓값), 6번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 7번 중 함수의 증가와 감소(도함수의 중복근), 12번 중 평균값 정리(정의를 이용하는 경우), 16번 중상 함수의 증가와 감소(사차함수와 정수 중복근 조건).
7번은 도함수가 중복근을 가질 때 그 점에서 부호가 바뀌지 않는다는 점을 묻습니다. 중복근과 단순근을 구분해 보기를 판정합니다. 16번은 같은 개념을 사차함수로 확장한 중상 문항입니다.
12번은 평균값 정리로 함숫값의 범위를 정하는 문항입니다. 이번 시험에서 04 단원 문항은 이것 하나입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (5·13·18·19·20번) — 5문항
5번 중 속도·가속도와 운동 방향(운동 방향이 바뀌는 시각의 가속도), 13번 중상 실근의 개수, 18번 상 실근의 개수, 19번 상 실근의 부호, 20번(서술) 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.
20번은 부등식을 증명하는 서술형입니다. 좌변과 우변의 차를 새 함수로 두고, 주어진 범위에서의 증감으로 최솟값이 0 이상임을 보이고, 등호가 성립하는 경우까지 밝히는 흐름입니다. 결론만 쓰면 감점될 수 있으니 증감표와 최솟값, 등호 조건을 모두 적는 습관이 필요합니다.
3. 부정적분 (2번) — 1문항
2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 항별로 적분하고 주어진 함숫값으로 적분상수를 정하는 확보 문항입니다.
4. 정적분 (3·8·9·10·15·17·22번) — 7문항
3번 하 적분 구간이 같은 정적분의 계산, 8번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수), 9번 중 피적분함수가 같은 정적분(뒤집힌 적분 구간과 수열의 일반항), 10번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 15번 중상 정적분을 포함한 등식(끝에 변수), 17번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 22번(서술) 중상 정적분을 포함한 등식(끝에 변수).
8번은 상수인 정적분을 문자로 두고 식을 세우는 기본형입니다. 10번은 극한값이 존재하려면 분자가 0으로 가야 한다는 조건으로 함숫값을 정하고, 이어서 미분계수의 정의로 연결합니다.
17번은 구간 끝에서 최솟값을 기준으로 정의한 함수를 적분하는 문항입니다. 임계점과 같은 높이를 갖는 다른 교점을 찾아 구간을 나누는 과정이 핵심입니다.
5. 정적분의 활용 (1·11·14·21번) — 4문항
1번 하 곡선과 x축 사이의 넓이(포물선), 11번 중상 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭인 것을 이용한 넓이, 14번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건(포물선 결정), 21번(서술) 중상 움직인 거리.
11번은 역함수 쪽 넓이를 y=x 대칭으로 원래 함수 쪽 넓이로 바꾸는 발상이 필요합니다. 21번은 소문항 두 개로 된 서술형으로, 첫 조건으로 상수를 정한 뒤 속도가 0이 되는 시각에서 구간을 나눠 움직인 거리를 구합니다. 위치의 변화량이 아니라 거리이므로 속도의 부호가 바뀌는 구간은 부호를 바꿔 더해야 합니다.
주의 문항 — 상 2문항, 중상 9문항
18번 상 (사차함수와 수평선의 교점) — 두 극솟값이 같다는 조건을 끌어내고 사차식을 복원하는 네 단계입니다.
19번 상 (삼차함수의 실근의 부호) — 가능한 배치를 나누고 비율 조건으로 걸러내야 합니다.
10·11번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극한, 역함수와 넓이) — 중상 구간의 시작입니다.
13~17번 중상 — 실근의 개수, 넓이가 같을 조건, 정적분 등식, 사차함수의 증감, 구간별 함수의 정적분이 다섯 문항 연속으로 이어집니다.
21·22번 중상 (서술) — 움직인 거리와 정적분 등식을 풀이 과정까지 적어야 합니다.
이산고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 곡선과 x축 사이 넓이, 도함수로 함수 구하기, 정적분 계산 — 1·2·3번 대비. 확보 구간.
- 극대·극소와 미정계수 — 4·6번 대비.
- ★ 도함수의 중복근과 증가·감소 — 7·16번 대비.
- 평균값 정리 — 12번 대비.
- 속도와 운동 방향, 가속도 — 5번 대비.
- 부등식의 증명(차함수의 최솟값) — 20번(서술) 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수와 부호 — 13·18·19번 대비. 이 시험의 최고 난도.
- 정적분을 포함한 등식(상수형) — 8번 대비.
- 피적분함수가 같은 정적분의 성질 — 9번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 10번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식(변수형) — 15·22번 대비.
- 구간별 함수의 정적분 — 17번 대비.
- 역함수와 넓이, 넓이가 같을 조건 — 11·14번 대비.
- 움직인 거리 — 21번(서술) 대비.
자주 나오는 질문
이산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 경기 화성시 이산고 기준 22문항입니다. 정답 기록상 1~19번은 선택형, 20~22번은 서술형 3문항입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
08 정적분이 7문항으로 가장 많고, 06 도함수의 활용 (3) 5문항, 09 정적분의 활용과 05 도함수의 활용 (2)가 각 4문항, 07 부정적분과 04 도함수의 활용 (1)이 각 1문항입니다.
시험이 어려운 편인가요?
중상 9문항, 상 2문항으로 중상 이상이 11문항(50%) 입니다. 특히 13~19번 일곱 문항이 연속 중상 이상입니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
18번(사차함수와 수평선의 교점) 과 19번(삼차함수의 실근의 부호) 이 상 난이도입니다.
과년도 이산고 기출도 볼 수 있나요?
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