동탄중앙고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 경기 화성시)
경기 화성시 동탄중앙고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 구조가 아주 분명한 시험입니다. 1~8번은 하·중, 9번부터 20번까지 열두 문항은 전부 중상 또는 상입니다. 중상 이상이 12문항으로 시험의 60%이고, 그중 08 정적분이 5문항을 차지합니다.
핵심 요약
- 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
- 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 10 / 상 2
- 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 07 부정적분 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 09 정적분의 활용 2
- 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(16·18번, 둘 다 상), 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분(13·15번)
- 고비 구간: 9~20번 열두 문항 연속 중상 이상
동탄중앙고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
동탄중앙고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19·20번은 서술형입니다.
범위는 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지입니다. 적분 쪽(07·08·09 단원)이 12문항, 도함수의 활용(05·06 단원)이 8문항입니다. 적분 중에서도 08 정적분이 7문항으로 가장 많고, 넓이 문제 중심인 09 정적분의 활용은 2문항뿐입니다.
이 시험은 앞 8문항과 뒤 12문항이 완전히 다른 시험처럼 나뉩니다. 앞쪽 8문항은 한두 단계로 풀리는 하·중 문항이고, 9번부터는 분석표상 세 단계 이상 풀이가 필요한 중상·상 문항만 이어집니다. 앞 8문항을 얼마나 빨리, 틀리지 않고 끝내느냐가 뒤쪽에 쓸 시간을 결정합니다.
2025학년 난이도 분포 — 9번부터 전부 중상 이상
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 10% | 1·2 |
| 중 | 6 | 30% | 3·4·5·6·7·8 |
| 중상 | 10 | 50% | 9·10·11·12·13·14·15·17·19·20 |
| 상 | 2 | 10% | 16·18 |
1·2번이 하, 3~8번이 중입니다. 9번부터 20번까지는 하나의 예외도 없이 중상 이상입니다. 상 두 문항은 16번과 18번이고, 둘 다 방정식의 실근의 개수 문항입니다. 서술형 19·20번도 모두 중상입니다.
출제 단원 — 정적분 7문항, 그중 5문항이 중상
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 08 정적분 | 7 | 1·8·9·12·13·15·19 | 하 1 / 중 1 / 중상 5 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 3·7·16·18·20 | 중 2 / 중상 1 / 상 2 |
| 07 부정적분 | 3 | 2·4·11 | 하 1 / 중 1 / 중상 1 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 5·6·14 | 중 2 / 중상 1 |
| 09 정적분의 활용 | 2 | 10·17 | 중상 2 |
08 정적분 7문항 중 5문항이 중상입니다. 이 시험에서 가장 많은 점수가 걸린 단원이자 가장 어려운 단원입니다. 정적분 계산 공식보다 미적분의 기본정리, 정적분을 포함한 등식, 구간별 함수, 기함수의 성질을 활용하는 문항이 대부분입니다.
상 두 문항은 모두 06 도함수의 활용 (3) 에 있고, 09 정적분의 활용 두 문항은 모두 중상입니다.
시그니처 유형 — 절댓값 사차함수와 실근의 개수
이 시험의 상 두 문항은 같은 유형입니다.
- 16번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 사차함수, 단순근이 하나뿐인 조건)
- 18번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(미분가능하지 않은 점의 개수로 사차함수 복원)
두 문항 모두 사차함수에 절댓값을 씌운 그래프를 다룹니다. 분석표의 난이도 근거를 보면, 16번은 사차식의 근의 구조(단순근과 삼중근)를 논증하고 극값을 분류한 뒤 보기를 판정하며, 18번은 절댓값 함수가 미분가능하지 않은 점이 단순근에서 생긴다는 점을 쓰고 두 극솟값의 높이가 같은 배치를 찾아 사차식을 복원합니다. 근의 중복도와 그래프 모양의 관계, 그리고 절댓값을 씌웠을 때 꺾이는 점이 생기는 조건을 정리해 두는 것이 준비의 핵심입니다.
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분도 13·15번 두 문항에서 나왔습니다. 13번은 꺾이는 점에서 미분가능 조건으로 함수를 정한 뒤 세 구간으로 나눠 적분하고, 15번은 평행이동한 기함수를 구간별로 나눠 적분합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (5·6·14번) — 3문항
5번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(극소 조건과 극댓값), 6번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건(정수 계수의 개수), 14번 중상 함수의 극대·극소의 활용(이어 붙인 함수의 네 극값 위치 조건).
6번은 도함수가 항상 0 이상이어야 하므로 판별식 조건이 됩니다. 등호를 포함하는지 확인하고 정수 개수를 셉니다. 14번은 두 함수를 이어 붙인 함수가 극값을 네 개 갖는 조건을 찾고, 극값 위치의 합으로 계수를 구한 뒤 연결점의 연속성까지 확인합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (3·7·16·18·20번) — 5문항
3번 중 속도·가속도와 운동 방향(원점에 다시 도착하는 시각의 속도와 가속도), 7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(열린구간 삼차부등식), 16번 상 실근의 개수, 18번 상 실근의 개수, 20번(서술) 중상 접선의 개수(곡선 밖의 점에서 그은 세 접선).
20번은 곡선 밖의 점을 지나는 접선의 개수를 접점에 대한 삼차방정식의 실근 개수로 바꾸는 서술형입니다. 접선 식에 점을 대입해 접점 t에 대한 방정식을 만들고, 그 삼차함수의 극댓값과 극솟값 사이에서 실근이 세 개가 된다는 흐름입니다. 경계값에서 접선 개수가 어떻게 되는지까지 확인해 적어야 합니다.
3. 부정적분 (2·4·11번) — 3문항
2번 하 부정적분의 계산(후보를 미분해 검산), 4번 중 부정적분과 미분의 관계를 이용해 함수 구하기(극값 조건으로 상수 복원), 11번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식으로 함수 구하기(차수와 계수 결정).
11번은 최고차항이 상쇄되는 조건으로 차수를 먼저 정하는 것이 출발점입니다. 그 뒤 계수를 연립해 함수를 정하고 원래 항등식에 대입해 확인합니다.
4. 정적분 (1·8·9·12·13·15·19번) — 7문항
1번 하 적분 구간이 같은 정적분의 계산, 8번 중 주기함수의 정적분(두 주기 동안의 변화량), 9번 중상 미적분의 기본정리의 활용(적분 극한과 같은 미분계수 조건), 12번 중상 정적분을 포함한 등식(두 개의 변수형 적분 등식), 13번 중상 구간별 함수의 정적분(두 꺾임점의 미분가능 조건), 15번 중상 구간별 함수의 정적분(평행이동한 기함수), 19번(서술) 중상 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우).
8번은 주기함수의 적분이 한 주기 단위로 같다는 성질로 변화량을 계산합니다. 12번은 두 적분 등식을 차례로 처리해야 합니다. 첫 등식에서 함수를 정하고, 둘째 등식을 미분해 다른 함수를 복원합니다.
19번은 기함수 조건과 차의 차수로 다항함수의 꼴을 정하는 서술형입니다. 홀수 차 항만 남는다는 점을 쓰고, 계수 비교로 함수를 확정한 뒤 주어진 적분 조건을 검증하고 목표 구간을 적분합니다.
5. 정적분의 활용 (10·17번) — 2문항, 둘 다 중상
10번 위치와 위치의 변화량(두 점이 다시 만나는 시각이 하나뿐인 조건과 위치 차의 최대), 17번 곡선과 직선 사이의 넓이(포물선과 직선이 만드는 두 영역의 넓이 비).
10번은 위치 차를 나타내는 식이 양의 근을 하나만 가질 조건을 중근으로 연결하는 발상이 필요합니다. 17번은 두 영역의 넓이 비에서 넓이를 정하고, 교점 조건으로 곡선의 계수를 줄여 나갑니다.
주의 문항 — 상 2문항, 중상 10문항
16번 상 (절댓값 사차함수의 실근 개수) — 근의 구조 논증과 보기 판정이 함께 들어갑니다.
18번 상 (미분가능하지 않은 점과 사차함수 복원) — 선택형 마지막 문항으로, 네 단계 풀이입니다.
9번 중상 (미적분의 기본정리의 활용) — 첫 중상 문항이자 고난도 구간의 입구입니다.
10·17번 중상 (위치의 변화량, 넓이의 비) — 09 단원 두 문항 모두 중상입니다.
11·12·13·14·15번 중상 — 부정적분 관계식, 정적분 등식, 구간별 함수 적분, 극값 활용이 다섯 문항 연속입니다.
19·20번 중상 (서술) — 기함수 정적분과 접선의 개수를 풀이 과정까지 적어야 합니다.
동탄중앙고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 정적분·부정적분 기본 계산 — 1·2번 대비. 확보 구간.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 3번 대비.
- 부정적분과 미분의 관계, 적분상수 — 4번 대비.
- 극대·극소와 미정계수, 삼차함수 증가 조건 — 5·6번 대비.
- 구간에서 부등식이 성립할 조건 — 7번 대비.
- 주기함수의 정적분 — 8번 대비. 여기까지가 앞쪽 8문항입니다.
- 미적분의 기본정리와 적분으로 정의된 함수 — 9번 대비.
- 함수와 부정적분의 관계식(차수 결정) — 11번 대비.
- 정적분을 포함한 등식(변수형) — 12번 대비.
- ★ 구간별 함수의 정적분 — 13·15번 대비.
- 이어 붙인 함수의 극값 — 14번 대비.
- ★ 근의 중복도와 절댓값 사차함수의 그래프 — 16·18번 대비. 이 시험의 상 문항.
- 위치의 변화량, 곡선과 직선 사이 넓이 — 10·17번 대비.
- 우함수·기함수의 정적분 — 19번(서술) 대비.
- 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 — 20번(서술) 대비.
자주 나오는 질문
동탄중앙고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 경기 화성시 동탄중앙고 기준 20문항입니다. 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
08 정적분이 7문항으로 가장 많고, 06 도함수의 활용 (3) 5문항, 07 부정적분과 05 도함수의 활용 (2)가 각 3문항, 09 정적분의 활용 2문항입니다.
시험이 어려운 편인가요?
네. 9번부터 20번까지 열두 문항이 모두 중상 이상입니다. 하·중 난이도는 1~8번에만 있습니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
16번과 18번이 상 난이도이고, 둘 다 절댓값이 들어간 사차함수와 방정식의 실근의 개수를 다룹니다.
과년도 동탄중앙고 기출도 볼 수 있나요?
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