학남고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
학남고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 대구 북구에 있는 학남고의 이번 시험은 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지 다섯 단원에 걸쳐 배치됐습니다. 가장 큰 특징은 21문항 중 19문항이 중 난이도라는 점입니다.
핵심 요약
- 21문항. 정답 기록 기준 1~16번은 ①~⑤ 선택형, 17~21번은 서술형 5문항
- 난이도: 하 1 / 중 19 / 중상 1 / 상 0
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 08 정적분 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2
- 미분 파트(05·06단원) 11문항, 적분 파트(07~09단원) 10문항으로 거의 반반
- 같은 유형 2회: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(8·17번)
학남고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
문항 수는 21개입니다. 분석표 정답 기록을 보면 1~16번은 ①~⑤ 중 하나, 17~21번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 서술형입니다.
단원은 미분과 적분이 거의 같은 비중입니다. 05 도함수의 활용 (2) 6문항과 06 도함수의 활용 (3) 5문항을 합친 미분 파트가 11문항, 07 부정적분 2문항, 08 정적분 5문항, 09 정적분의 활용 3문항을 합친 적분 파트가 10문항입니다.
배치 순서에서 눈여겨볼 점은 1번이 08 정적분 문항이라는 것입니다. 우함수·기함수의 정적분으로 시험이 시작한 뒤, 2번부터 다시 도함수의 활용으로 돌아갑니다. 서술형 다섯 문항도 미분과 적분이 섞여 있어 단원 순서대로 배치되지 않았습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 19문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 1 |
| 중 | 19 | 90% | 2~15·17~21 |
| 중상 | 1 | 5% | 16 |
| 상 | 0 | 0% | — |
하 1문항, 중상 1문항을 빼면 나머지 19문항이 전부 중입니다. 손도 못 댈 문항은 없지만, 비슷한 무게의 문항이 길게 이어지므로 실수 한두 개가 그대로 점수 차이가 됩니다.
유일한 하 난이도는 1번(우함수·기함수의 정적분) 입니다. 분석표의 난이도 근거는 "기함수항 제거와 우함수 적분" 한 단계입니다.
유일한 중상은 16번(정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우) 입니다. 두 상수 정적분으로 일차방정식을 세우고, 함수를 복원해 교점을 찾은 뒤, 절댓값 구간 넓이까지 적분하는 3단계로 기록돼 있습니다. 선택형 마지막 문항이라 시간을 남겨 두어야 합니다.
출제 단원 — 미분 11, 적분 10
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 6 | 2·3·4·5·6·21 |
| 08 정적분 | 5 | 1·13·15·16·18 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 7·8·10·17·20 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 9·14·19 |
| 07 부정적분 | 2 | 11·12 |
05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 극대·극소, 삼차함수의 증가·감소 조건, 도함수 그래프 해석, 최대·최소가 2~6번에 연달아 나오고, 서술형 21번(부피의 최대)까지 이어집니다.
08 정적분 5문항은 1번 하, 13·15번 중, 16번 중상, 서술형 18번으로 난이도가 고르게 퍼져 있습니다. 시험의 유일한 중상 문항도 이 단원입니다.
07 부정적분은 2문항(11·12번) 으로 가장 적습니다.
반복 출제 — 실근의 개수 2회
같은 유형이 두 번 쓰인 것은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수뿐입니다.
- 8번(중) — 열린구간에서 실근이 존재하는 조건과 정수 개수
- 17번(중, 서술형) — 삼차식이 서로 다른 세 실근을 갖는 조건
두 문항 모두 극값과 수평선 y=k의 높이를 비교하는 같은 뼈대입니다. 8번은 열린구간이라 경계를 포함하지 않는 점을, 17번은 서술형이라 범위를 엄격 부등호로 쓰는 점을 챙겨야 합니다.
운동 관련 문항도 세 번 나옵니다. 10번 가속도, 14번 움직인 거리, 20번 위로 던진 물체의 위치와 속도입니다. 미분(10·20번)과 적분(14번) 양쪽에서 속도를 다루니 함께 묶어 공부하면 효율적입니다.
단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (2·3·4·5·6·21번) — 6문항, 전부 중
2번 중 함수의 극대·극소. 삼차식 두 극값의 합.
3번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건. 도함수의 판별식과 등호 포함 여부를 따집니다.
4번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정. 두 극점과 극솟값으로 계수를 정합니다.
5번 중 도함수의 그래프의 해석 (응용). 도함수 그림에서 원함수의 증감과 극값을 읽고 보기의 참·거짓을 가립니다.
6번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정. 구간 내 최댓값 조건으로 계수를 구합니다.
21번 중 (서술형) 최대·최소의 활용; 부피. 구에 내접하는 원기둥의 최대 부피입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (7·8·10·17·20번) — 5문항, 전부 중
7번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건. 차함수의 최솟값으로 상수의 범위를 정합니다.
8번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 열린구간의 단조 구간과 최댓값, 경계 미포함을 반영한 정수 개수.
10번 중 가속도. 원점으로 돌아오는 시각의 가속도와 속도.
17번 중 (서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 서로 다른 세 실근 조건.
20번 중 (서술형) 위로 던진 물체의 위치와 속도. 최고점 도달 시각과 지면 도달 시각.
3. 부정적분 (11·12번) — 2문항
11번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 두 함숫값의 합으로 적분상수를 정합니다.
12번 중 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기. 양변을 미분한 뒤 이차방정식 근의 곱으로 미정계수를 구합니다.
4. 정적분 (1·13·15·16·18번) — 5문항
1번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우.
13번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우. 함수 복원 후 합성 다항식의 정적분.
15번 중 주기함수의 정적분. 한 주기 구간으로 바꿔 구간별로 적분합니다.
16번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우. 두 상수 정적분과 곡선 넓이.
18번 중 (서술형) 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우. 위끝·아래끝이 뒤바뀐 적분을 포함한 연립.
5. 정적분의 활용 (9·14·19번) — 3문항, 전부 중
9번 중 곡선과 x축 사이의 넓이. 부호가 바뀌는 구간을 나눠 절댓값으로 합산합니다.
14번 중 움직인 거리. 운동 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 나눕니다.
19번 중 (서술형) 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이.
주의 문항
16번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 시험에서 유일한 중상입니다. 정적분이 상수라는 점을 이용해 식을 세우는 데서 끝나지 않고 넓이 계산까지 이어지는 3단계 문항입니다.
5번 중 (도함수의 그래프의 해석) — 그림을 보고 보기의 참·거짓을 판단하는 형식이라 시간이 걸립니다. 도함수의 부호가 바뀌는 점이 원함수의 극값이라는 관계를 정확히 써야 합니다.
8번 중 (열린구간의 실근 개수) — 구간 끝을 포함하지 않으므로 정수 개수를 셀 때 경계값을 빼야 합니다.
19번 중 (역함수 그래프와 넓이, 서술형) — 직선 y=x에 대한 대칭을 이용하는 넓이 문항입니다. 분석표 난이도 근거는 대각선과의 교점과 반사 대칭을 정한 뒤 두 곡선 사이 넓이를 계산하는 2단계입니다.
학남고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 극대·극소와 미정계수 결정 — 2·4번 대비.
- 삼차함수가 실수 전체에서 증가·감소할 조건 — 3번 대비. 판별식의 등호 포함 여부까지.
- 도함수 그래프 해석 — 5번 대비.
- 닫힌구간·열린구간의 최대·최소 — 6·8번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 8·17번 대비. 극값과 수평선 비교.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 7번 대비.
- 속도·가속도, 위로 던진 물체 — 10·20번 대비.
- 최대·최소의 활용(부피) — 21번 서술형 대비.
- 부정적분과 적분상수 결정 — 11·12번 대비.
- 우함수·기함수, 주기함수의 정적분 — 1·15번 대비. 확보 구간.
- ★ 정적분을 포함한 등식(변수 끝·상수 끝) — 13·16번 대비.
- 적분 구간이 같은 정적분의 계산 — 18번 서술형 대비.
- 곡선과 x축 사이의 넓이, 움직인 거리 — 9·14번 대비.
- 역함수 그래프와 y=x 대칭 넓이 — 19번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
학남고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번은 선택형, 17~21번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 08 정적분과 06 도함수의 활용 (3)이 각 5문항, 09 정적분의 활용 3문항, 07 부정적분 2문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 중상은 16번 한 문항이고, 나머지는 하 1문항과 중 19문항입니다.
서술형은 어떤 단원에서 나왔나요?
17번(실근의 개수)·20번(위로 던진 물체)·21번(부피의 최대)은 미분, 18번(정적분의 계산)·19번(역함수 그래프와 넓이)은 적분입니다.
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