청원여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 노원구)
서울 노원구 청원여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험은 상 난이도가 한 문항도 없고, 중 난이도가 11문항으로 절반이 넘습니다. 대신 중상 6문항이 5·9·13·16번과 서술형 18·19번에 흩어져 있어, 선택형 중간중간 고비가 하나씩 끼어 있는 구성입니다.
핵심 요약
- 21문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~21번 서술형 4문항
- 난이도: 하 4 / 중 11 / 중상 6 / 상 0
- 배치 단원: 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 1
- 눈에 띄는 점: 06 도함수의 활용 (3) 4문항 중 3문항이 중상
- 서술형 4문항: 18·19번 중상, 20·21번 중
청원여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
청원여자고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 ①~⑤ 선택형, 18~21번은 서술형입니다.
범위는 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지이고, 21문항 모두 이 범위 안에서 나왔습니다. 미분 쪽(04·05·06 단원)이 10문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 11문항입니다. 시험지 순서도 단원 순서를 거의 따릅니다. 1~9번이 도함수의 활용, 10~17번이 적분이고, 서술형 18~21번에서 다시 미분과 적분이 섞입니다.
적분 쪽에서는 08 정적분과 09 정적분의 활용이 5문항씩으로 똑같습니다. 반면 07 부정적분은 10번 한 문항뿐입니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 11문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 19% | 1·2·6·10 |
| 중 | 11 | 52% | 3·4·7·8·11·12·14·15·17·20·21 |
| 중상 | 6 | 29% | 5·9·13·16·18·19 |
| 상 | 0 | 0% | — |
중상 문항은 5·9·13·16번처럼 네 번호 간격으로 선택형 사이에 끼어 있고, 서술형 앞 두 문항인 18·19번도 중상입니다. 서술형 뒤 두 문항(20·21번)은 중입니다.
출제 단원 — 정적분 5문항, 정적분의 활용 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 08 정적분 | 5 | 11·12·13·17·19 | 중 3 / 중상 2 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 14·15·16·20·21 | 중 4 / 중상 1 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 2·4·6·8 | 하 2 / 중 2 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 4 | 5·7·9·18 | 중 1 / 중상 3 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 1·3 | 하 1 / 중 1 |
| 07 부정적분 | 1 | 10 | 하 1 |
단원별 난이도 차이가 분명합니다. 05 도함수의 활용 (2) 4문항은 하·중뿐인데, 06 도함수의 활용 (3)은 4문항 중 3문항(5·9·18번)이 중상입니다. 방정식의 실근, 부등식, 교점의 개수처럼 그래프를 해석하는 문항이 06 단원에 몰려 있기 때문입니다.
09 정적분의 활용 5문항은 역함수의 정적분, 곡선과 직선 사이 넓이, 넓이가 같을 조건, 움직인 거리, 곡선과 접선 사이 넓이로 유형이 모두 다릅니다.
시그니처 유형 — 그래프 해석형 도함수의 활용 (3)
이 시험의 중상 문항 6개 중 3개가 06 단원입니다.
- 5번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(서로 다른 영점과 교점 수로 극소 결정)
- 9번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(두 형태 부등식의 전 구간 최솟값 비교)
- 18번(서술) 중상 두 그래프의 교점의 개수(접선에서 변하는 삼차방정식의 근 수)
분석표의 난이도 근거를 보면 5번은 영점 후보를 나누고 교점 수로 경우를 고른 뒤 극소를 정합니다. 9번은 같은 x를 넣는 부등식과 서로 다른 입력을 넣는 부등식, 두 형태를 각각 최솟값과 극값의 차로 처리해 비교합니다. 18번은 판별식으로 경계를 만들고 양의 경계를 고른 뒤 그 전후로 근의 개수가 어떻게 바뀌는지 검증하는 서술형입니다. 경계값 전후를 직접 확인하는 습관이 세 문항 공통으로 필요합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (1) (1·3번) — 2문항
1번 하 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우, 접선의 절편 계산), 3번 중 롤의 정리(빈칸과 도함수값 대입).
2. 도함수의 활용 (2) (2·4·6·8번) — 4문항
2번 하 주어진 구간에서 삼차함수가 감소하기 위한 조건(도함수의 끝점 부호), 4번 중 같은 유형(감소 구간의 길이로 최소 계수 결정), 6번 하 함수의 최대·최소(구간의 임계점과 끝값 비교), 8번 중 최대·최소의 활용(모선이 고정된 원뿔의 부피 극대화).
2·4번은 같은 유형이 두 번 나왔습니다. 2번은 구간 끝점에서 도함수 부호만 보면 되고, 4번은 감소 구간의 길이 조건이 붙습니다. 8번은 모선 길이를 고정한 채 원뿔 부피를 식으로 세워 최대가 되는 점을 찾습니다.
3. 도함수의 활용 (3) (5·7·9·18번) — 4문항
5번 중상 실근의 개수, 7번 중 속도의 그래프의 해석(속도 부호로 방향·가속도 판정, 변위 계산), 9번 중상 부등식이 항상 성립할 조건, 18번(서술) 중상 두 그래프의 교점의 개수.
4. 부정적분 (10번) — 1문항
10번 하 부정적분과 미분의 관계(부정적분을 미분하여 함수 복원).
5. 정적분 (11·12·13·17·19번) — 5문항
11번 중 정적분을 포함한 등식(변수 적분을 두 번 미분하여 함수 복원), 12번 중 미적분의 기본정리(지정값 연립), 13번 중상 그래프와 정적분으로 정의된 함수(극값과 교점 수의 대칭 조건), 17번 중 주기함수의 정적분(보기 판정), 19번(서술) 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(주기 이동 적분의 미분과 최솟값).
13번은 도함수 부호로 극값을 잡고, 교점 수 조건이 대칭이 되도록 상수를 정하는 세 단계 문항입니다. 19번은 주기를 이용해 적분식을 치환하고 최소가 되는 위치를 찾은 뒤, 무리수 계수를 분리하는 서술형입니다.
6. 정적분의 활용 (14·15·16·20·21번) — 5문항
14번 중 함수와 그 역함수의 정적분(치환 계산), 15번 중 곡선과 직선 사이의 넓이(극대 수평선과 사차곡선), 16번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건(세 영역 넓이가 같을 높이), 20번(서술) 중 움직인 거리(두 점의 속도 일치와 방향 전환), 21번(서술) 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.
16번은 세 영역의 넓이 조건을 식으로 세우고, 근의 대칭합을 정리한 뒤 양의 근을 고르는 문항입니다. 20번은 속도 곡선과 수평선의 실근 수를 따지고, 방향이 바뀌는 구간을 나눠 적분하는 서술형입니다.
주의 문항 — 중상 6문항
5번 중상 (실근의 개수로 극소 결정) — 시험지 첫 중상 문항입니다.
9번 중상 (두 형태 부등식의 최솟값 비교) — 같은 x와 다른 입력을 구분하는 것이 핵심입니다.
13번 중상 (정적분 함수의 극값과 교점 수) — 적분 파트의 고비입니다.
16번 중상 (세 영역 넓이가 같을 조건) — 선택형 마지막 중상 문항입니다.
18·19번 중상 (서술) — 교점의 개수 경계 검증, 주기 이동 적분의 최솟값을 풀이 과정까지 적어야 합니다.
청원여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 접선의 방정식, 롤의 정리 — 1·3번 대비.
- 구간에서 삼차함수가 감소할 조건 — 2·4번 대비.
- 구간의 최대·최소, 원뿔 부피 최대 — 6·8번 대비.
- 속도 그래프 해석 — 7번 대비.
- 부정적분과 미분의 관계 — 10번 대비. 확보 구간.
- 정적분 등식, 미적분의 기본정리 — 11·12번 대비.
- 역함수의 정적분, 곡선과 직선 사이 넓이 — 14·15번 대비.
- 주기함수의 정적분 — 17번 대비.
- ★ 실근의 개수와 부등식의 항상 성립 조건 — 5·9번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극값 — 13번 대비.
- 넓이가 같을 조건 — 16번 대비.
- 교점의 개수 경계 검증 — 18번(서술) 대비.
- 주기 이동 적분의 최솟값 — 19번(서술) 대비.
- 움직인 거리, 곡선과 접선 사이 넓이 — 20·21번(서술) 대비.
자주 나오는 질문
청원여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 서울 노원구 청원여고 기준 21문항입니다. 정답 기록상 1~17번은 선택형, 18~21번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
08 정적분과 09 정적분의 활용이 5문항씩으로 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2)와 06 도함수의 활용 (3)이 각 4문항, 04 도함수의 활용 (1) 2문항, 07 부정적분 1문항입니다.
시험이 어려운 편인가요?
상 난이도는 없습니다. 중이 11문항으로 절반이 넘고, 중상은 6문항입니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
상 문항이 없어 중상 6문항(5·9·13·16·18·19번) 이 가장 높은 난이도입니다. 그중 3문항이 06 도함수의 활용 (3)입니다.
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