문정고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 송파구)
서울 송파구 문정고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험은 20문항 모두 5점입니다. 선택형 14문항이 70점, 서술형 6문항이 30점이라 서술형 한 문항도 선택형 한 문항과 같은 무게입니다. 상 난이도는 없고 중이 11문항이지만, 중상 7문항 중 3문항이 06 도함수의 활용 (3)에 몰려 있습니다.
핵심 요약
- 20문항, 전 문항 5점 — 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~20번 서술형 6문항
- 난이도: 하 2 / 중 11 / 중상 7 / 상 0
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 09 정적분의 활용 5 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 3 / 05 도함수의 활용 (2) 2
- 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(12·14번, 둘 다 중상), 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(9·20번)
- 범위 라벨에 없는 05 도함수의 활용 (2) 문항 2개(5·13번)
문정고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
문정고등학교는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~14번은 ①~⑤ 선택형, 15~20번은 서술형입니다. 배점은 20문항 모두 5점으로 같습니다.
시험 범위 라벨은 도함수의 활용 (3)부터 정적분의 활용까지입니다. 실제 배치 단원을 세어 보면 범위 라벨에 없는 05 도함수의 활용 (2) 문항이 2개(5·13번) 있고, 그중 13번은 중상입니다. 미분 쪽(05·06 단원)이 8문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 12문항입니다.
배점이 모두 같기 때문에 쉬운 문항을 하나라도 놓치면 어려운 문항 하나를 틀린 것과 똑같이 5점이 빠집니다. 중 난이도 11문항을 실수 없이 가져가는 것이 점수 관리의 핵심입니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 11문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 10% | 1·15 |
| 중 | 11 | 55% | 2·3·4·5·6·9·10·11·16·17·18 |
| 중상 | 7 | 35% | 7·8·12·13·14·19·20 |
| 상 | 0 | 0% | — |
선택형에서는 7·8번, 그리고 12·13·14번 세 문항 연속이 중상입니다. 서술형은 15번 하, 16~18번 중, 19·20번 중상으로 뒤로 갈수록 어려워집니다. 하 난이도는 1번과 서술형 첫 문항 15번 두 개뿐입니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 6문항, 정적분의 활용 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 6·7·12·14·15·16 | 하 1 / 중 2 / 중상 3 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 3·9·11·19·20 | 중 3 / 중상 2 |
| 08 정적분 | 4 | 1·2·10·18 | 하 1 / 중 3 |
| 07 부정적분 | 3 | 4·8·17 | 중 2 / 중상 1 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 5·13 | 중 1 / 중상 1 |
06 도함수의 활용 (3) 6문항 중 3문항(7·12·14번)이 중상이고, 세 문항 모두 방정식의 실근과 관련됩니다. 09 정적분의 활용은 서술형 마지막 두 문항(19·20번)이 모두 중상입니다. 반면 08 정적분 4문항은 하·중뿐이라 확보 구간입니다.
시그니처 유형 — 방정식의 실근 세 문항
06 단원 중상 세 문항이 모두 방정식의 실근을 다룹니다.
- 7번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(삼차방정식 근의 개수와 부호)
- 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 방정식의 근 수와 구간 극값)
- 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(삼차함수의 중근 영점과 극댓값)
분석표의 난이도 근거를 보면 7번은 세 실근이 생기는 극값 구간을 잡고 근의 곱 부호로 정수를 고릅니다. 12번은 절댓값 함수의 교점 수로 높이를 정하고 삼차함수를 복원한 뒤 구간의 최대·최소를 구합니다. 14번은 중근 위치를 판정하고 극댓값 간격을 계산해 보기 수치를 판정합니다. 극댓값·극솟값과 수평선의 위치 관계를 그래프로 정리해 두는 것이 세 문항 공통 준비입니다.
곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이도 9번(중)과 20번(서술, 중상) 두 번 나왔습니다. 20번은 포물선과 두 접선이 만드는 영역의 넓이를 접점의 x좌표 차로 나타내는 식을 세우고, 교점 판별식과 양의 기울기 조건을 이어 가는 세 단계 서술형입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (5·13번) — 2문항, 범위 라벨 밖
5번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건(극솟점과 극댓점의 지정 범위), 13번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건(한 극값만 갖는 중복 정지점).
13번은 도함수를 인수분해하고, 정지점이 겹치는 예외 경우를 따진 뒤 최소 계수를 고르는 세 단계 문항입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (6·7·12·14·15·16번) — 6문항
6번 중 시각에 대한 부피의 변화율(원기둥 부피 변화율, 자연수 시각 선별), 7·12·14번 중상 실근의 부호·개수, 15번(서술) 하 속도·가속도와 운동 방향(두 원점 복귀 시각의 속도 차), 16번(서술) 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(합성함수의 값 범위와 실근 존재).
15번은 위치가 0이 되는 양의 시각을 구해 속도를 비교하는 한 단계 서술형이라 서술형 중 가장 먼저 확보할 문항입니다. 16번은 안쪽 함수의 값 범위를 먼저 구한 뒤 바깥 함수의 최솟값을 따지는 순서입니다.
3. 부정적분 (4·8·17번) — 3문항
4번 중 부정적분과 극대·극소(도함수 복원과 삼차함수 극댓값), 8번 중상 부정적분과 미분의 관계(원시함수의 단조 조건과 운동 방향 보기), 17번(서술) 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기(도함수 그림의 복원과 부호).
8번은 원시함수를 미분하고 단조 조건으로 계수 경계를 정한 뒤 운동 방향 보기를 판정하는 세 단계 문항입니다.
4. 정적분 (1·2·10·18번) — 4문항
1번 하 미적분의 기본정리(정적분 평균 극한), 2번 중 우함수·기함수의 정적분(대칭 정적분 계수 연립), 10번 중 정적분을 포함한 등식(위끝·아래끝이 상수, 일차함수 꼴 복원), 18번(서술) 중 정적분을 포함한 등식(아래끝에 매개변수, 경계 연립과 항등식 검증).
10번과 18번은 같은 '정적분을 포함한 등식'이지만 꼴이 다릅니다. 10번은 적분값을 상수로 놓고 연립하고, 18번은 아래끝을 대입해 매개변수를 정한 뒤 미분합니다.
5. 정적분의 활용 (3·9·11·19·20번) — 5문항
3번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건(포물선의 양·음 영역 넓이 비), 9번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(접선과 곡선의 구간 정적분), 11번 중 위치와 위치의 변화량(두 점 사이 거리의 최대), 19번(서술) 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 20번(서술) 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.
19번은 불동점(f(x)=x의 근)의 합과 곱으로 함수를 정하고, 역함수의 대칭식을 세워 정적분으로 넓이를 구하는 세 단계 서술형입니다.
주의 문항 — 중상 7문항
7번 중상 (삼차방정식 근의 부호) — 선택형 첫 중상 문항입니다.
8번 중상 (원시함수의 단조 조건과 운동 방향) — 미분과 운동이 함께 들어갑니다.
12·13·14번 중상 — 절댓값 방정식, 사차함수 극값 조건, 삼차 중근과 극댓값이 세 문항 연속으로 나옵니다.
19·20번 중상 (서술) — 역함수 대칭 넓이, 포물선과 두 접선 사이 넓이를 풀이 과정까지 적어야 합니다.
문정고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 미적분의 기본정리, 우함수·기함수 정적분 — 1·2번 대비. 확보 구간.
- 넓이가 같을 조건, 부정적분과 극값 — 3·4번 대비.
- 구간에서 극값을 가질 조건 — 5번 대비. 범위 라벨 밖이지만 출제됐습니다.
- 부피의 변화율 — 6번 대비.
- 곡선과 접선 사이 넓이, 정적분 등식(상수형), 위치의 변화량 — 9·10·11번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 부호와 개수 — 7·12·14번 대비. 이 시험의 핵심 고난도.
- 원시함수의 단조 조건과 운동 방향 — 8번 대비.
- 사차함수가 한 극값만 가질 조건 — 13번 대비.
- 원점 복귀 시각과 속도, 합성함수 부등식 — 15·16번(서술) 대비.
- 도함수 그림으로 함수 복원, 정적분 등식(변수형) — 17·18번(서술) 대비.
- ★ 역함수 대칭 넓이, 포물선과 두 접선 사이 넓이 — 19·20번(서술) 대비.
자주 나오는 질문
문정고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 서울 송파구 문정고 기준 20문항입니다. 정답 기록상 1~14번은 선택형, 15~20번은 서술형이고, 모든 문항이 5점입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
06 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많고, 09 정적분의 활용 5문항, 08 정적분 4문항, 07 부정적분 3문항, 05 도함수의 활용 (2) 2문항입니다.
시험 범위 밖 단원도 나왔나요?
범위 라벨에 없는 05 도함수의 활용 (2) 문항이 2개(5·13번) 있습니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
상 문항은 없고 중상 7문항(7·8·12·13·14·19·20번) 이 가장 높은 난이도입니다. 배점이 모두 5점이라 중상 문항이 특별히 배점이 높지는 않습니다.
과년도 문정고 기출도 볼 수 있나요?
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