천안여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 충남 천안시)
충남 천안시 천안여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 문항 수가 많고 서술형이 7문항입니다. 상 난이도는 없고 하 6문항, 중 11문항으로 기본기 비중이 큽니다. 가장 많이 나온 단원은 05 도함수의 활용 (2) 7문항입니다.
핵심 요약
- 23문항 — 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~23번 서술형 7문항
- 난이도: 하 6 / 중 11 / 중상 6 / 상 0
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 3
- 반복 유형: 함수의 증가와 감소 3회(5·12·19번)
- 서술형 마지막 두 문항(22·23번)이 모두 중상
천안여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
천안여자고등학교는 충남 천안시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 ①~⑤ 선택형, 17~23번은 서술형입니다.
범위는 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지이고, 23문항 모두 이 범위 안에서 나왔습니다. 미분 쪽(05·06 단원)이 12문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 11문항으로 거의 반반입니다.
문항이 23개로 많은 대신 한 단계로 풀리는 하 난이도가 6문항입니다. 선택형 1~5번 중 네 문항이 하이고, 서술형 17·19번도 하입니다. 시간 안에 23문항을 다 다루려면 하·중 17문항을 빠르게 처리하는 속도가 중요합니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 하·중 17문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 6 | 26% | 1·2·4·5·17·19 |
| 중 | 11 | 48% | 3·6·8·9·10·12·13·15·18·20·21 |
| 중상 | 6 | 26% | 7·11·14·16·22·23 |
| 상 | 0 | 0% | — |
중상 6문항은 선택형 7·11·14·16번과 서술형 22·23번입니다. 선택형에서는 중상이 서너 번호 간격으로 끼어 있고, 서술형은 17~21번이 하·중이다가 마지막 두 문항에서 중상이 나옵니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 7 | 2·5·9·12·19·21·22 | 하 3 / 중 3 / 중상 1 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 11·13·14·15·18 | 중 3 / 중상 2 |
| 08 정적분 | 4 | 1·7·8·16 | 하 1 / 중 1 / 중상 2 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 3·4·20·23 | 하 1 / 중 2 / 중상 1 |
| 07 부정적분 | 3 | 6·10·17 | 하 1 / 중 2 |
05 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 가장 많지만 7문항 중 6문항이 하·중입니다. 중상은 서술형 22번(구에 내접하는 원뿔의 부피 최대) 하나입니다. 반대로 08 정적분은 4문항 중 2문항(7·16번)이 중상이라 문항 수 대비 난이도가 높습니다.
시그니처 유형 — 함수의 증가와 감소 3문항
05 단원에서 함수의 증가와 감소가 세 번 나왔습니다.
- 5번 하 함수의 증가와 감소(단조함수 정의로 두 점의 함숫값 비교)
- 12번 중 함수의 증가와 감소(두 점 차분몫이 양수인 조건과 단조 구간)
- 19번(서술) 하 함수의 증가와 감소(삼차함수 도함수 부호표로 단조 구간)
5번은 증가함수의 정의를 두 점의 함숫값 차 부호로 확인하는 문항이고, 12번은 두 점을 잇는 차분몫이 양수라는 조건을 단조성으로 해석한 뒤 도함수가 양수인 구간을 찾습니다. 19번은 도함수 부호표를 그려 증가·감소 구간을 적는 서술형입니다. 증가·감소의 정의, 차분몫, 도함수 부호 세 가지 표현을 서로 바꿔 읽을 수 있어야 합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (2·5·9·12·19·21·22번) — 7문항
2번 하 함수의 극대·극소(삼차함수 극대점과 극소점의 간격), 5·12·19번 함수의 증가와 감소, 9번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소(두 도함수 차의 부호와 극값), 21번(서술) 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(극값 조건과 도함수의 대칭으로 삼차함수 복원), 22번(서술) 중상 최대·최소의 활용(구에 내접하는 원뿔의 부피 최대).
22번은 높이를 변수로 부피 식을 세우고, 미분해 극값과 끝점을 비교한 뒤 밑면 반지름을 구하는 세 단계 서술형입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (11·13·14·15·18번) — 5문항
11번 중상 속도·가속도와 운동 방향(속도와 가속도, 운동 방향 보기 판정), 13번 중 두 그래프의 교점의 개수(삼차함수와 수평선 교점의 총수), 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(세 실근 극값 조건과 근의 곱), 15번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 안쪽 함수의 양근 수), 18번(서술) 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(정지점과 끝점의 모든 후보 비교).
14번은 서로 다른 세 실근이 생기는 경계를 극값으로 잡고, 근의 곱 부호로 정수를 고르는 문항입니다. 18번은 정지점과 끝점의 함숫값을 모두 후보로 놓고 절댓값의 최대를 비교하는 서술형입니다.
3. 부정적분 (6·10·17번) — 3문항
6번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기(관계식 미분과 초깃값), 10번 중 부정적분과 극대·극소(도함수 그림과 두 극값으로 함수 복원), 17번(서술) 하 부정적분과 미분의 관계(원시함수 미분).
4. 정적분 (1·7·8·16번) — 4문항
1번 하 우함수·기함수의 정적분(대칭 구간 적분), 7번 중상 정적분의 계산(미적분 성질과 반례 선별, 보기형), 8번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한(합성 위끝 정적분의 미분계수), 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(경계 극소의 매개변수).
7번은 정지점 반례, 적분상수, 선형성을 이용해 보기를 고르는 문항이라 성질을 정확히 알아야 합니다. 16번은 기본정리로 미분해 경계의 부호를 보고, 등호가 성립하는 매개변수를 검증한 뒤 지정 적분의 곱을 구합니다.
5. 정적분의 활용 (3·4·20·23번) — 4문항
3번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(영점에서 구간을 나눈 절댓값 정적분), 4번 하 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프의 부호 있는 넓이), 20번(서술) 중 함수와 그 역함수의 정적분(역함수와 대칭 영역), 23번(서술) 중상 두 곡선 사이의 넓이(절댓값 적분으로 다항식 복원, 가변 위끝 항등식의 계수, 교점과 정적분).
23번은 시험지 마지막 문항으로, 넓이를 구하기 전에 절댓값 적분과 적분 항등식으로 곡선을 먼저 복원해야 하는 세 단계 서술형입니다.
주의 문항 — 중상 6문항
7번 중상 (정적분 성질과 반례) — 보기형이라 하나라도 잘못 판단하면 틀립니다.
11번 중상 (속도·가속도와 운동 방향) — 가속도 계산, 거리 적분, 방향 부호를 모두 판정합니다.
14번 중상 (실근의 부호) — 근의 곱 부호와 정수 선별이 들어갑니다.
16번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극소) — 선택형 마지막 문항입니다.
22·23번 중상 (서술) — 원뿔 부피의 최대, 복원한 곡선 사이의 넓이를 풀이 과정까지 적어야 합니다.
천안여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 우함수·기함수 정적분, 극대·극소, 증가·감소의 정의 — 1·2·5번 대비. 확보 구간.
- 곡선과 x축 사이 넓이, 속도 그래프의 넓이 — 3·4번 대비.
- 함수와 부정적분의 관계식, 부정적분과 극값 — 6·10·17번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 8번 대비.
- 도함수 그래프로 극값 판정, 차분몫과 단조 구간 — 9·12번 대비.
- 교점의 개수, 절댓값 방정식의 근 개수 — 13·15번 대비.
- ★ 정적분의 성질과 반례 보기 — 7번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 보기 — 11번 대비.
- 실근의 부호와 근의 곱 — 14번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극소와 매개변수 — 16번 대비.
- 구간에서 부등식이 성립할 조건, 도함수 부호표, 미정계수 — 18·19·21번(서술) 대비.
- 역함수 대칭 넓이 — 20번(서술) 대비.
- ★ 구에 내접하는 원뿔의 부피 최대 — 22번(서술) 대비.
- ★ 적분 항등식으로 곡선 복원 후 넓이 — 23번(서술) 대비.
자주 나오는 질문
천안여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 충남 천안시 천안여고 기준 23문항입니다. 정답 기록상 1~16번은 선택형, 17~23번은 서술형 7문항입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
05 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 가장 많고, 06 도함수의 활용 (3) 5문항, 08 정적분과 09 정적분의 활용이 각 4문항, 07 부정적분 3문항입니다.
시험이 어려운 편인가요?
상 난이도는 없습니다. 하 6문항, 중 11문항이고 중상이 6문항입니다. 문항 수가 23개라 시간 배분이 관건입니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
상 문항이 없어 중상 6문항(7·11·14·16·22·23번) 이 가장 높은 난이도입니다. 서술형 22·23번이 시험지 마지막 두 문항입니다.
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