용산고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025)

용산고 1학년 2학기 기말 수학(공통수학2)은 2025학년 기준 총 24문항입니다. 출제 범위는 명제부터 무리함수까지이고, 명제 8문항 · 함수 8문항이 시험의 3분의 2를 차지합니다. 이 시험의 가장 뚜렷한 특징은 서술형이 6문항(19~24번) 으로 많다는 점, 그리고 중 난이도가 13문항으로 시험의 중심을 이룬다는 점입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~24번 서술형
• 난이도: 하 5 / 중 13 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 07 명제 8 / 08 함수 8 / 10 무리식과 무리함수 4 / 09 유리식과 유리함수 3 / 중학교 일차방정식의 활용 1
• 반복 유형: 절댓값 기호를 포함한 절대부등식(1·24번), 무리함수의 합성함수와 역함수(15·21번)
• 범위 라벨에 없는 중학교 일차방정식의 활용(소금물 농도) 문항이 1개(6번)

용산고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가

용산고등학교는 서울 용산구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 기말고사 수학은 2022 개정 교육과정 공통수학2이며 총 24문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~24번 여섯 문항은 서술형입니다.

시험 범위 라벨은 명제부터 무리함수까지입니다. 배치 단원도 대부분 이 안에 있지만 예외가 하나 있습니다. 6번은 중학교 1학년 일차방정식의 활용, 소금물 농도 문제입니다. 소금의 양이 변하지 않는다는 조건으로 일차방정식을 세우는 하 난이도 문항입니다.

또 16번은 명제 단원(산술평균과 기하평균의 관계)에 배치돼 있지만, 선분의 내분점 좌표로 길이와 넓이를 먼저 구해야 하는 문항입니다. 1학기 평면좌표 내용이 함께 쓰입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 13문항이 중심

중 난이도가 절반을 넘습니다. 상은 17번 한 문항이고, 중상 5문항은 13·14·16·18번(선택형)과 22번(서술형)입니다.

하 5문항은 전부 1~9번 안에 있습니다. 반면 13~18번 여섯 문항 중 다섯 문항이 중상 이상입니다(15번만 중). 선택형 후반 13~18번이 변별 구간이고, 서술형 여섯 문항은 22번을 빼면 전부 중 난이도입니다.

출제 단원 — 명제와 함수가 8문항씩

명제와 함수가 각 8문항(33%) 으로 시험의 3분의 2입니다. 유리함수·무리함수는 합쳐서 7문항입니다.

난이도로 보면 차이가 납니다. 명제 8문항 중 중상 이상은 16번 하나뿐이고, 함수 8문항 중에는 네 문항(14·17·18·22번)이 중상 이상입니다. 명제는 문항 수로, 함수는 난도로 무게를 갖는 구조입니다.

반복 유형 — 절대부등식이 처음과 끝에

절댓값 기호를 포함한 절대부등식이 1번(하)과 24번(중, 서술형)에 나왔습니다. 1번은 절댓값이 0 이상이라는 성질과 완전제곱식, 등호 반례를 판정하는 선택형이고, 24번은 절댓값을 인수분해한 뒤 삼각부등식을 양변 제곱의 차가 0 이상임을 보여 증명하는 서술형입니다. 같은 주제가 선택형 판정과 서술형 증명으로 두 번 나온 셈입니다.

무리함수의 합성함수와 역함수는 15번(중)과 21번(중, 서술형)입니다. 15번은 역함수 그래프의 대칭을 이용한 뒤 매개변수의 완전제곱으로 최솟값을 구하고, 21번은 증가함수와 그 역함수의 교점(고정점)을 비음수 근 조건으로 찾습니다. 증가함수와 역함수의 교점은 y=x 위에서 찾는다는 성질이 21번의 출발점입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 명제 (1·7·9·10·12·16·19·24번) — 8문항

1번 하 절댓값 기호를 포함한 절대부등식, 7번 중 산술평균과 기하평균의 관계(합의 최솟값 구하기), 9번 하 명제와 조건의 부정, 10번 중 '모든'이나 '어떤'이 있는 명제, 12번 중 충분·필요조건과 명제의 참, 거짓, 16번 중상 선분의 내분점(응용)과 산술평균과 기하평균의 관계(도형에서의 활용), 19번 중(서술형) 대우를 이용한 명제의 증명, 24번 중(서술형) 절댓값 기호를 포함한 절대부등식.

9번은 전칭명제를 부정할 때 '모든'이 '어떤'으로 바뀌고 결론이 부정되는 확보 문항입니다. 10번은 다섯 명제를 반례와 진리집합 관계로 판정합니다.

7번은 평행 조건(기울기)으로 곱을 고정한 뒤 두 양수 항의 최솟값을 구합니다. 16번은 내분점 좌표로 길이와 넓이를 구한 뒤 산술기하평균으로 최댓값을 찾는 문항입니다.

19번 서술형은 대우를 써서 증명하는 문항으로, 두 수가 공약수를 가지면 서로소가 아니라는 모순을 이용합니다. 증명 서술형이 19·24번 두 문항이라 증명 문장을 끝까지 쓰는 연습이 필요합니다.

2. 함수 (2·5·11·14·17·18·20·22번) — 8문항

2번 하 서로 같은 함수, 5번 중 역함수와 함숫값, 11번 중 fⁿ 꼴의 합성함수, 14번 중상 그래프가 주어질 때 합성함수의 함숫값 구하기, 17번 상 함수의 개수, 18번 중상 합성함수 fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수, 20번 중(서술형) 합성함수와 역함수, 22번 중상(서술형) 일대일대응이 되기 위한 조건.

2번은 정의역의 세 원소에서 함숫값을 비교하는 확보 문항, 5번은 두 조각 구간을 구분해 역상을 계산하는 문항입니다.

11번과 18번은 둘 다 합성을 거듭했을 때 항등함수가 되는 조건을 다룹니다. 11번은 그 조건으로 대응을 정한 뒤 주기를 계산하고, 18번은 조건을 만족하는 대응을 모두 세는 문항입니다.

17번이 이 시험의 유일한 상 문항입니다. 절댓값이 들어간 이차함수 그래프의 교점 개수를 먼저 정한 뒤, 그 조건에 맞게 함수를 배정하는 경우를 셉니다.

20번 서술형은 합성함수의 역함수에서 순서를 뒤집어 소거하는 문항이고, 22번 서술형은 세 조각으로 된 함수가 일대일대응이 되도록 치역을 이어 붙인 뒤 이차식과 역상을 구하는 문항입니다.

3. 무리함수 (4·13·15·21번) — 4문항

4번 하 무리함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동, 13번 중상 유리함수의 그래프가 지나는 사분면과 무리함수의 그래프의 성질, 15번 중 무리함수의 합성함수와 역함수, 21번 중(서술형) 무리함수의 합성함수와 역함수.

4번은 이동한 식에 한 점을 대입하는 확보 문항입니다. 13번은 유리함수가 지나는 사분면과 무리함수의 치역을 함께 따진 뒤 정수 격자점 개수를 세는 복합 문항입니다.

4. 유리함수 (3·8·23번) — 3문항, 전부 중

3번 그래프를 이용하여 유리함수의 식 구하기, 8번 유리함수의 그래프의 활용, 23번(서술형) 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계.

3번은 그림의 두 점근선과 절편으로 계수를 정합니다. 8번은 두 단조 그래프의 양 끝점을 비교해 자연수 개수를 셉니다.

23번 서술형은 분모가 0이 되는 점을 먼저 확인하고, 직선의 기울기가 0인 경우를 따로 처리한 뒤 판별식을 쓰는 문항입니다. 기울기 0인 경우를 빠뜨리는 것이 가장 흔한 감점 지점입니다.

5. 범위 라벨 밖 — 소금물 농도 (6번)

6번 하 농도에 대한 문제(소금 또는 물을 넣거나 물을 증발시키는 경우).

중학교 1학년 일차방정식의 활용입니다. 소금의 질량이 보존된다는 조건으로 식을 세우면 바로 풀립니다. 난이도는 하이지만 고1 2학기 범위만 공부했다면 낯설 수 있는 문항입니다.

주의 문항 — 중상 이상 6문항

13번 중상 (유리함수 사분면·무리함수 치역) — 두 함수를 함께 따지고 격자점까지 셉니다.

14번 중상 (그래프로 합성함수의 함숫값) — 조각 그래프를 반복 합성하고 역상과 근의 합까지 구합니다.

16번 중상 (내분점과 산술기하평균) — 명제 단원 중 유일한 중상입니다.

17번 상 (함수의 개수) — 이 시험의 최고난도입니다.

18번 중상 (fⁿ이 항등함수가 되는 함수의 개수) — 경우를 빠짐없이 세야 합니다.

22번 중상 (일대일대응 조건, 서술형) — 서술형 중 유일한 중상입니다.

용산고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 명제와 조건의 부정, 서로 같은 함수, 무리함수 이동 — 2·4·9번 대비. 확보 구간입니다.
2. 소금물 농도 일차방정식 — 6번 대비. 중1 내용 한 번 훑기.
3. ★ 절댓값 절대부등식의 판정과 증명 — 1·24번 대비. 같은 주제 두 문항.
4. '모든'·'어떤' 명제, 충분·필요조건 — 10·12번 대비.
5. 대우를 이용한 증명 — 19번 서술형 대비.
6. 산술평균과 기하평균(평행 조건, 내분점 도형) — 7·16번 대비.
7. 역함수와 함숫값, 합성함수의 역함수 — 5·20번 대비.
8. ★ fⁿ이 항등함수가 되는 조건 — 11·18번 대비.
9. 그래프로 합성함수의 함숫값 구하기 — 14번 대비.
10. 절댓값 이차함수 그래프와 함수의 개수 — 17번 대비. 최고난도.
11. 세 조각 함수의 일대일대응 조건 — 22번 서술형 대비.
12. 유리함수 식 구하기와 그래프의 활용 — 3·8번 대비.
13. 유리함수와 직선의 위치 관계(기울기 0 별도 처리) — 23번 서술형 대비.
14. ★ 무리함수의 역함수와 y=x 위의 교점 — 13·15·21번 대비.

자주 나오는 질문

용산고 1학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~24번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 명제와 함수가 각 8문항으로 가장 많습니다. 무리식과 무리함수 4문항, 유리식과 유리함수 3문항이고, 중학교 일차방정식의 활용이 1문항 있습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번 한 문항(함수의 개수)입니다. 중상은 5문항(13·14·16·18·22번)입니다. 중 난이도가 13문항으로 가장 많아, 실수를 줄이는 것이 점수를 지키는 길입니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

19~24번 여섯 문항입니다. 대우를 이용한 증명(19번), 합성함수와 역함수(20번), 무리함수의 역함수(21번), 일대일대응 조건(22번), 유리함수와 직선의 위치 관계(23번), 절대부등식 증명(24번)입니다.

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