서울세종고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 강남구 서울세종고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 도함수의 활용 후반부터 부정적분·정적분·정적분의 활용까지 나왔고, 적분 파트가 12문항으로 시험의 60%를 차지합니다. 상 난이도 두 문항(16·19번)은 둘 다 '미적분의 기본정리의 활용' 유형입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~20번 답을 직접 쓰는 문항 4개
• 난이도: 하 2 / 중 10 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 정적분 6 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 도함수의 활용 (2) 3 / 부정적분 1 / 함수의 연속 1
• 상 2문항: 16·19번 미적분의 기본정리의 활용
• 반복 주제: 수평선과 그래프의 교점 개수(14·15·16·19번)

서울세종고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가

서울세종고등학교는 서울 강남구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록상 1~16번은 ①~⑤ 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 문항입니다.

영역으로 나누면 이렇습니다.

• 미분 파트 7문항 — 도함수의 활용 (2) 3문항, 도함수의 활용 (3) 4문항
• 적분 파트 12문항 — 부정적분 1, 정적분 6, 정적분의 활용 5
• 함수의 연속 1문항 — 18번

범위 라벨에 없는 앞 단원 문항도 있습니다. 5번은 극대·극소 이전 내용인 삼차함수의 증가 조건이고, 18번은 함수의 연속 단원으로 분류됩니다. 시험 범위 밖처럼 보여도 실제로 출제됐으니 1학기 내용까지 손을 놓으면 안 됩니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항

1~10번은 하·중으로만 구성돼 있습니다. 하 2문항(1·2번)은 곡선과 x축 사이 넓이, 대칭 구간 기함수 적분이라 공식만 알면 끝나는 문항입니다.

난도가 올라가는 구간은 11번부터입니다. 11~16번 여섯 문항 중 13번을 빼면 모두 중상 이상이고, 16번이 상입니다. 답을 쓰는 17~20번도 17번만 중이고 18·20번 중상, 19번 상입니다.

출제 단원 — 정적분 6, 정적분의 활용 5

정적분 6문항 중 3문항이 16·19·20번, 즉 시험 끝부분의 고난도 문항입니다. 상 2문항과 마지막 20번(중상)이 모두 정적분 단원입니다.

정적분의 활용 5문항은 1번(하)부터 17번(중)까지 중 이하 난이도로 고르게 배치돼 있습니다. 넓이·위치·움직인 거리 공식을 정확히 쓰면 확보할 수 있는 구간입니다.

시그니처 주제 — 수평선과 그래프의 교점 개수

이 시험에서 가장 자주 쓰인 발상은 y = k 같은 수평선과 그래프가 몇 번 만나는지입니다.

• 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(극값 높이에서 서로 다른 실근)
• 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(수평선의 교점수와 정수 매개변수)
• 16번 상 미적분의 기본정리의 활용(정적분함수 복원과 수평선 교점수)
• 19번 상 미적분의 기본정리의 활용(수평선 교점수로 같은 극솟값 복원)

네 문항이 같은 그림을 다른 방향에서 묻습니다. 극댓값·극솟값의 높이에서 교점 개수가 바뀐다는 점이 공통 뼈대입니다. 14·15번이 기본이고, 16·19번은 여기에 정적분으로 정의된 함수가 얹혀 미분해서 원래 함수를 되찾는 단계가 추가됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) — 증가·감소와 극대·극소 (5·6·7번) — 3문항, 전부 중

5번 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건(도함수의 전 구간 부호, 판별식), 6번 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(연속 조건과 극댓값으로 계수 결정), 7번 함수의 최대·최소(닫힌 구간의 최대와 최소 비교).

5번은 f′(x) ≥ 0이 항상 성립할 조건을 판별식으로 바꾸는 문항입니다. 7번은 닫힌 구간에서 끝점 값과 극값을 모두 비교해야 합니다.

2. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식·속도 (8·9·14·15번) — 4문항

8번 중 속도·가속도와 운동 방향(두 속도가 같은 시각의 가속도), 9번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(두 함수 차의 최솟값), 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

9번은 두 함수의 차를 새 함수로 두고 그 최솟값이 0 이상이 되도록 하는 표준 풀이입니다.

3. 부정적분 (12번) — 중상

12번 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기(곱의 도함수 복원과 다항식 결정).

곱의 미분법을 거꾸로 읽어 원래 식을 되살리는 문항입니다. 적분상수를 조건으로 결정하는 단계까지 포함됩니다.

4. 정적분 (2·3·11·16·19·20번) — 6문항

2번 하 우함수·기함수의 정적분(대칭 구간에서 기함수 적분 소거), 3번 중 정적분을 포함한 등식; 끝에 변수가 있는 경우(끝점 대입과 미분), 11번 중상 정적분을 포함한 등식; 끝이 상수인 경우(두 정적분을 상수로 치환), 16번 상 미적분의 기본정리의 활용, 19번 상 미적분의 기본정리의 활용, 20번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(실근 개수 조건에서 적분 최솟값).

'정적분을 포함한 등식'이 3·11번 두 번 나왔습니다. 두 유형을 구별하는 것이 핵심입니다.

• 끝에 변수가 있으면(3번) → x에 끝점을 대입해 한 식, 양변을 미분해 또 한 식
• 끝이 상수면(11번) → 정적분 값을 문자로 두고 연립

20번은 정적분 값을 매개변수에 대한 식으로 만든 뒤 그 최솟값을 구합니다. 실근 개수 조건으로 매개변수 범위를 먼저 정해야 합니다.

5. 정적분의 활용 (1·4·10·13·17번) — 5문항

1번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 4번 중 위치와 위치의 변화량(같은 위치가 되는 시각), 10번 중 함수와 그 역함수의 정적분(역함수 대칭으로 넓이), 13번 중 움직인 거리(방향 전환 시각과 이동 거리), 17번 중 두 곡선 사이의 넓이.

위치의 변화량과 움직인 거리를 구별하세요. 4번은 속도를 그대로 적분한 위치 변화량, 13번은 속도의 절댓값을 적분한 움직인 거리입니다. 13번은 운동 방향이 바뀌는 시각을 먼저 찾아야 합니다.

10번은 역함수 그래프가 y = x에 대칭이라는 점을 이용해, 계산하기 어려운 역함수 적분을 원래 함수 쪽 넓이로 바꾸는 유형입니다.

6. 함수의 연속 (18번) — 중상

18번 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속(불연속점에서 곱함수 연속 조건).

교점 개수로 정의된 함수는 개수가 바뀌는 지점에서 불연속입니다. 그 불연속점에서도 곱한 함수가 연속이 되도록 조건을 맞춰 삼차식을 결정하는 흐름입니다.

주의 문항 — 상 2·중상 6

16번 상 (미적분의 기본정리의 활용) — 극한 조건에서 함숫값을 추론하고, 수평선 교점 수로 두 극솟값이 같다는 것까지 복원해야 합니다.

19번 상 (미적분의 기본정리의 활용) — 사차함수의 극값에 따른 근의 개수를 분류하고, 정적분 조건으로 함수를 결정합니다.

11번 중상 (끝이 상수인 정적분 등식) — 상수로 치환하는 과정을 놓치면 막힙니다.

12번 중상 (곱의 도함수 복원) — 부정적분 파트의 유일한 문항입니다.

14·15번 중상 (실근의 개수) — 16·19번으로 가는 디딤돌입니다.

18번 중상 (함수의 연속) — 범위 라벨 밖 단원이라 대비가 빠지기 쉽습니다.

20번 중상 (정적분 함수의 최솟값) — 마지막 문항입니다.

서울세종고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 곡선과 x축 사이 넓이, 대칭 구간 적분 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 삼차함수가 증가할 조건(판별식) — 5번 대비.
3. 극값으로 미정계수 결정, 닫힌 구간 최대·최소 — 6·7번 대비.
4. 속도·가속도, 부등식이 항상 성립할 조건 — 8·9번 대비.
5. 위치의 변화량과 움직인 거리 구별 — 4·13번 대비.
6. 두 곡선 사이 넓이, 역함수와 넓이 — 10·17번 대비.
7. ★ 정적분을 포함한 등식 두 유형 — 3·11번 대비.
8. 부정적분과 미분의 관계 — 12번 대비.
9. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 14·15번 대비. 시그니처 주제.
10. 교점 개수로 정의된 함수의 연속 — 18번 대비.
11. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 20번 대비.
12. ★ 미적분의 기본정리 + 수평선 교점 수 — 16·19번 상 대비.

자주 나오는 질문

서울세종고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 문항입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 6문항, 정적분의 활용 5문항입니다. 부정적분까지 합친 적분 파트가 12문항입니다.

킬러 문항은 어디인가요?

16·19번 두 문항이 상 난이도이고 둘 다 '미적분의 기본정리의 활용'입니다. 두 문항 모두 수평선과 그래프의 교점 개수 조건이 들어갑니다.

시험 범위 밖 문항도 나왔나요?

범위 라벨에 없는 앞 단원 문항이 있습니다. 5번 삼차함수의 증가 조건, 18번 함수의 연속입니다.

과년도 서울세종고 기출도 볼 수 있나요?

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