단대부고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 강남구)
서울 강남구 단대부고(단국대학교사범대학부속고등학교) 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 가장 눈에 띄는 점은 네 단원이 정확히 5문항씩 나눠 가졌다는 것입니다. 05 도함수의 활용 (2), 06 도함수의 활용 (3), 08 정적분, 09 정적분의 활용이 각 5문항입니다. 그리고 중상 9문항이 시험의 중심입니다.
핵심 요약
- 22문항 — 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~22번 서술형 8문항
- 난이도: 하 1 / 중 10 / 중상 9 / 상 2
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 5 / 07 부정적분 1 / 03 미분계수와 도함수 1
- 반복 유형: 곡선과 x축 사이의 넓이(6·15번), 삼차방정식의 근의 판별(8·19번)
- 고비 구간: 서술형 15~22번 여덟 문항 중 중상·상이 6문항
단대부고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
단국대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~14번은 ①~⑤ 선택형이고, 15~22번 여덟 문항은 답을 직접 쓰는 서술형입니다. 서술형 비중이 큰 편입니다.
배치 단원은 도함수의 활용 10문항(05·06 단원), 적분 11문항(07~09 단원), 그리고 03 미분계수와 도함수 1문항(22번) 입니다.
선택형 1~6번은 하 1문항, 중 5문항으로 출발이 무난합니다. 7번에서 첫 중상이 나오고, 11~13번이 연속 중상입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 9문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 1 |
| 중 | 10 | 45% | 2·3·4·5·6·8·9·10·14·19 |
| 중상 | 9 | 41% | 7·11·12·13·15·17·18·20·21 |
| 상 | 2 | 9% | 16·22 |
상 난이도는 16·22번 두 문항뿐이고, 둘 다 서술형입니다. 대신 중상이 9문항으로 두껍습니다. 손을 못 댈 문항은 적지만, 중상에서 실수 없이 끝까지 가는 힘이 등급을 가릅니다.
서술형 여덟 문항 중 중 난이도는 19번 하나입니다. 나머지는 중상 5문항(15·17·18·20·21번), 상 2문항(16·22번)입니다. 서술형 구간에 들어서기 전에 시간을 충분히 남겨야 합니다.
출제 단원 — 네 단원이 5문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 2·3·7·12·16 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 4·8·13·17·19 |
| 08 정적분 | 5 | 5·11·14·18·20 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 6·9·10·15·21 |
| 07 부정적분 | 1 | 1 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 22 |
네 단원이 5문항씩 균등합니다. 어느 단원도 가볍게 넘길 수 없는 구조입니다.
09 정적분의 활용이 5문항이라는 점이 특징입니다. 곡선과 x축 사이의 넓이(6·15번), 역함수 그래프의 대칭을 이용한 넓이(9번), 움직인 거리(10번), 두 곡선 사이의 넓이(21번)까지 넓이·거리 유형을 골고루 물었습니다.
22번(상)은 03 미분계수와 도함수 단원의 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 문항입니다. 도함수의 활용·적분만 준비하면 놓치는 문항입니다.
시그니처 유형 — 넓이 2회, 근의 판별 2회
곡선과 x축 사이의 넓이가 6번(중, 선택형)과 15번(중상, 서술형) 에 나왔습니다. 6번은 "포물선과 가로축 사이 넓이"로 기본형이고, 15번은 "조각함수의 적분넓이 최대화"로 넓이를 식으로 세운 뒤 최댓값까지 구하는 응용형입니다. 같은 유형이 선택형에서 기본, 서술형에서 응용으로 다시 나오는 구조입니다.
삼차방정식의 근의 판별도 8번(중)과 19번(중, 서술형) 두 번입니다. 8번은 "극값으로 서로 다른 실근 개수", 19번은 "두 곡선 교점의 중근 조건"입니다. 두 문항 모두 중 난이도라 반드시 챙겨야 할 득점원입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (2·3·7·12·16번) — 5문항
2번 중 함수의 극대·극소(두 극점의 함숫값 계산), 3번 중 함수의 증가와 감소(감소 구간의 길이), 7번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 12번 중상 최대·최소의 활용(넓이), 16번 상 함수의 극대·극소의 활용(서술형).
7번은 분석표 메모로 "극한의 중근과 극소 조건 결합"입니다. 극한 조건에서 인수 구조를 먼저 읽어내는 것이 출발점입니다.
12번은 "두 곡선 사이 삼각형 넓이 최적화"로, 넓이를 한 변수 함수로 놓고 미분해 최댓값을 찾습니다.
16번 서술형(상) 은 "접합 미분과 평균변화율의 극값"이 분석표 메모입니다. 구간을 이어 붙인 함수의 미분과 평균변화율을 함께 다뤄야 하는 문항이라, 이 시험에서 가장 손이 많이 가는 문항 중 하나입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (4·8·13·17·19번) — 5문항
4번 중 속도·가속도와 운동 방향, 8번 중 삼차방정식의 근의 판별, 13번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 17번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(서술형), 19번 중 삼차방정식의 근의 판별(서술형).
4번은 운동 방향이 바뀌는 시각의 가속도를 묻습니다. 속도가 0이 되는 시각을 구하고 부호가 바뀌는지 확인한 뒤 가속도를 계산합니다.
17번 서술형은 "수준별 실근 개수의 불연속점"입니다. k 값에 따라 실근의 개수가 어떻게 바뀌는지 그래프로 정리하고, 개수가 달라지는 지점을 찾아야 합니다.
3. 정적분 (5·11·14·18·20번) — 5문항
5번 중 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 11번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 14번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우), 18번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우, 서술형), 20번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(서술형).
14번은 정적분 값을 상수로 놓고 연립해 함수를 결정하는 기본 유형입니다. 반드시 맞혀야 합니다.
18번과 20번은 둘 다 서술형 중상입니다. 18번은 "적분함수의 단조성과 절댓값 근", 20번은 "적분함수 최소와 다항식 차수 제한"이 분석표 메모입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 된다는 성질을 출발점으로 삼는 문항들입니다.
4. 정적분의 활용 (6·9·10·15·21번) — 5문항
6번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 9번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 10번 중 움직인 거리, 15번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(서술형), 21번 중상 두 곡선 사이의 넓이(서술형).
9번 역함수 대칭 넓이는 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭이라는 점을 이용해 둘러싸인 넓이의 식을 세우는 유형입니다. 처음 보면 낯설 수 있으니 미리 한 번 풀어 두세요.
10번은 속도의 부호로 구간을 나눠 위치와 움직인 거리를 판정합니다.
21번 서술형은 "축대칭인 두 곡선 사이 넓이"로, 대칭 조건에서 함수를 먼저 복원한 뒤 넓이를 적분합니다.
5. 부정적분 (1번)·미분계수와 도함수 (22번)
1번 하 부정적분의 계산. 이 시험의 유일한 하 문항입니다.
22번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성(서술형). 분석표 메모는 "연속 가지 전환과 미분가능성"입니다. 이어 붙인 함수가 연결점에서 연속이면서 미분가능할 조건을 따져야 합니다.
주의 문항 — 상 2문항과 서술형 중상
16번 상 (극대·극소의 활용, 서술형) — 접합 미분과 평균변화율이 한 문항에 들어 있습니다.
22번 상 (미분가능성, 서술형) — 마지막 문항이자 03 단원 문항입니다.
15·17·18·20·21번 중상 (서술형) — 넓이 최대화, 실근의 개수, 정적분으로 정의된 함수 두 문항, 두 곡선 사이의 넓이입니다. 서술형 중상이 다섯 문항이라 부분점수를 위한 풀이 정리가 중요합니다.
단대부고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분의 계산 — 1번 대비. 확보 구간.
- 증가·감소와 극대·극소의 기본 — 2·3번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 4번 대비.
- 정적분의 계산과 상수 정적분 등식 — 5·14번 대비.
- ★ 삼차방정식의 근의 판별 — 8·19번 대비. 중 난이도 득점원.
- ★ 곡선과 x축 사이의 넓이 — 6·15번 대비. 기본형과 최대화 응용형.
- 역함수 대칭 넓이와 움직인 거리 — 9·10번 대비.
- 극한 조건으로 미정계수 결정 — 7번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 11번 대비.
- 넓이 최적화 — 12번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 13번 대비.
- f(x)=k의 실근의 개수 — 17번 서술형 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 미분·극값 — 18·20번 서술형 대비.
- 두 곡선 사이의 넓이 — 21번 서술형 대비.
- 접합 함수의 미분과 미분가능성 — 16·22번 상 대비.
자주 나오는 질문
단대부고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~14번은 선택형, 15~22번 여덟 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2), 06 도함수의 활용 (3), 08 정적분, 09 정적분의 활용이 각 5문항으로 같습니다. 07 부정적분과 03 미분계수와 도함수는 각 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16·22번 두 문항이고 둘 다 서술형입니다. 대신 중상이 9문항으로 많습니다.
서술형이 몇 문항인가요?
정답 기록 기준 15~22번 여덟 문항입니다. 그중 중 난이도는 19번 하나이고, 나머지는 중상 5문항, 상 2문항입니다.
과년도 단대부고 기출도 볼 수 있나요?
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