중대부고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 강남구)

서울 강남구 중대부고(중앙대학교사범대학부속고등학교) 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 선택형 10·12·14번이 상, 그리고 중상이 9문항입니다. 하 난이도는 4번과 15번 두 문항뿐이라, 시험 전체가 중 이상으로 채워진 시험입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~22번 서술형 8문항
• 난이도: 하 2 / 중 7 / 중상 9 / 상 4
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 08 정적분 4 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 2
• 반복 유형: 평균값 정리(6·17번), 곡선과 x축 사이의 넓이(5·13번), 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(20·22번)
• 고비 구간: 10~14번 다섯 문항 중 상 3, 중상 2

중대부고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~14번은 ①~⑤ 선택형이고, 15~22번 여덟 문항은 답과 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.

배치 단원은 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 미분 쪽(04~06 단원) 11문항, 적분 쪽(07~09 단원) 11문항으로 정확히 반반입니다.

선택형 후반이 가장 무겁습니다. 10번부터 14번까지 다섯 문항이 상 3개(10·12·14번), 중상 2개(11·13번) 입니다. 선택형 1~9번에서 시간을 아끼지 못하면 이 구간과 서술형을 모두 놓치게 됩니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9, 상 4

중상과 상을 합치면 13문항, 시험의 59% 입니다.

서술형 여덟 문항은 15번(하)과 16번(중)으로 시작해 17~21번 다섯 문항이 연속 중상, 마지막 22번이 상입니다. 15·16번은 부정적분과 상수 정적분 등식이라 빠르게 끝내고, 중상 구간에 시간을 써야 합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 5, 정적분의 활용 5

06 도함수의 활용 (3) 5문항 중 3문항이 상(10·12·14번) 입니다. 접선의 개수, 방정식의 실근의 개수, 속도·가속도가 각각 상 난이도로 나왔습니다. 이 시험의 상 문항 4개 중 3개가 이 단원입니다.

09 정적분의 활용 5문항은 넓이 4문항(5·13·20·22번)과 위치·움직인 거리 1문항(11번)입니다.

시그니처 유형 — 넓이 문항 4개

곡선과 x축 사이의 넓이(5·13번)와 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(20·22번)가 각각 두 번씩 나왔습니다.

5번(중)은 "축 교점으로 부호 분할 → 절댓값 넓이 정적분"으로 기본형입니다. 13번(중상)은 "상쇄 정적분 → 정수근 곱 쌍 → 근 간격 불변 → 넓이"가 분석표 메모로, 정적분 값이 0이 되는 조건에서 근을 찾아 넓이를 구합니다.

20번(중상)은 사차함수와 접선 사이의 넓이, 22번(상)은 "곡선 밖 점의 두 접선"과 곡선이 만드는 영역의 넓이를 나눠 적분합니다. 접선 구하기와 넓이 적분이 하나로 묶인 유형이라, 접선의 방정식이 흔들리면 넓이까지 같이 무너집니다.

또 평균값 정리(정의를 이용하는 경우) 가 6번(중)과 17번(중상, 서술형)에서 두 번 쓰였습니다. 17번은 보기마다 평균변화율을 구하고 실제 도함수 값의 범위와 비교하는 보기형 서술형입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (3) (3·10·12·14·18번) — 5문항

3번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 10번 상 접선의 개수, 12번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 상 속도·가속도와 운동 방향, 18번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(서술형).

10번은 "평균변화율 → 평행 접선 양 가지 → 구간 소속 임계 → 접선 개수 좌우 극한"이 분석표 메모입니다. 기울기가 같은 접선이 몇 개인지를 매개변수에 따라 세는 문항입니다.

12번은 절댓값이 들어간 함수와 수평선이 세 점에서 만나는 조건으로 계수를 구합니다.

14번은 두 점의 위치 차가 극값을 가질 때와 운동 방향이 바뀌는 조건을 함께 따집니다. 속도·가속도 유형이 상 난이도로 나온 점이 특이합니다.

18번 서술형은 두 점의 속도가 같아지는 시각을 삼차방정식과 수평선의 교점으로 보고, 양의 시간에서 세 근이 생기는 k의 범위를 구합니다.

2. 정적분의 활용 (5·11·13·20·22번) — 5문항

5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 11번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 13번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 20번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(서술형), 22번 상 같은 유형(서술형).

11번은 속도 그래프를 보고 위치와 움직인 거리에 대한 보기를 판정합니다. 분석표 메모에 롤의 정리로 가속도가 같아지는 시점을 따지는 부분이 별도로 들어 있습니다.

3. 정적분 (8·9·16·19번) — 4문항

8번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 9번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 16번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우, 서술형), 19번 중상 주기함수의 정적분(서술형).

9번은 변수가 든 적분 항등식을 두 번 미분해 함수를 결정하고, 다시 원래 항등식에 대입하는 문항입니다.

16번 서술형은 상수 정적분을 하나의 문자로 놓고 함수를 복원하는 기본 유형입니다.

19번 서술형은 연속 조건으로 접합부를 확인한 뒤, 구간을 옮겨 가며 정적분을 더하는 문항입니다.

4. 도함수의 활용 (1) (1·6·17번) — 3문항

1번 중 접선과 수직인 직선의 방정식, 6번 중 평균값 정리, 17번 중상 평균값 정리(서술형).

1번은 접선 문항입니다. 수직인 직선의 기울기를 구하고, 접점에서의 방정식이 중근을 가지는 조건으로 절편을 구합니다.

5. 도함수의 활용 (2) (2·7·21번) — 3문항

2번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 7번 중상 도함수의 그래프의 해석(응용), 21번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(서술형).

2번은 도함수 그래프에서 0이 되는 점과 부호가 바뀌는 점을 구분하는 문항입니다. 0이 되어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니라는 점이 핵심입니다.

21번 서술형은 매개변수 k의 범위에 따라 최댓값이 달라지는 경우를 나누고, 불가능한 경우를 배제한 뒤 k를 하나로 정합니다. 경우를 나눈 근거를 풀이에 분명히 쓰는 것이 부분점수에 중요합니다.

6. 부정적분 (4·15번) — 2문항, 둘 다 하

4번 하 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기, 15번 하 부정적분의 정의(서술형). 두 부정적분의 차가 상수라는 점과 초기값으로 적분상수를 정하는 기본기입니다.

주의 문항 — 상 4문항

10번 상 (접선의 개수) — 평행한 접선의 개수를 매개변수에 따라 셉니다.

12번 상 (f(x)=k의 실근의 개수) — 절댓값 함수와 수평선의 교점 조건입니다.

14번 상 (속도·가속도와 운동 방향) — 위치 차의 극값과 운동 방향 전환이 함께 나옵니다.

22번 상 (곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이, 서술형) — 곡선 밖 점에서 그은 두 접선과 영역 분할 적분입니다.

중대부고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분의 정의와 적분상수 — 4·15번 대비. 확보 구간.
2. 접선과 수직인 직선 — 1번 대비.
3. 도함수 그래프로 극대·극소 판정 — 2번 대비.
4. 평균값 정리 — 6·17번 대비. 보기형 서술형까지.
5. 부등식이 항상 성립할 조건 — 3번 대비.
6. 상수 정적분 등식, 변수가 든 적분 항등식 — 9·16번 대비.
7. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5·13번 대비.
8. 도함수 그래프 응용, 정적분으로 정의된 함수의 최대 — 7·8번 대비.
9. 속도 그래프와 위치·거리 — 11번 대비.
10. f(x)=k의 실근의 개수와 부호 — 12·18번 대비.
11. 주기함수의 정적분 — 19번 서술형 대비.
12. ★ 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 20·22번 대비.
13. 최댓값 경우 분류로 미정계수 결정 — 21번 서술형 대비.
14. 접선의 개수, 속도·가속도 응용 — 10·14번 상 대비.

자주 나오는 질문

중대부고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~14번은 선택형, 15~22번 여덟 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 이어서 08 정적분 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 4문항(10·12·14·22번) 입니다. 그중 세 문항이 06 도함수의 활용 (3) 단원입니다.

서술형은 몇 문항이고 얼마나 어렵나요?

정답 기록 기준 15~22번 여덟 문항입니다. 15번 하, 16번 중, 17~21번 중상, 22번 상입니다.

과년도 중대부고 기출도 볼 수 있나요?

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