명일여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
명일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용이 중심이고, 마지막 23번만 미분계수와 도함수 단원입니다. 가장 뚜렷한 특징은 중상 10문항 · 상 4문항으로 중상 이상이 14문항, 61% 라는 점입니다.
핵심 요약
- 23문항, 1~22번 선택형 · 23번 서술형
- 난이도: 하 1 / 중 8 / 중상 10 / 상 4
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 2 / 03 미분계수와 도함수 1
- 상 난이도: 10·20·22·23번 — 네 문항 모두 4단계 풀이
- 눈에 띄는 소재: 속도·위치(운동) 문항 4개(1·12·15·21번)
명일여고 수2 2학기 기말은 어떤 시험인가
명일여자고등학교는 서울 강동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 정답 기록상 1~22번은 선택형, 23번은 답을 직접 쓰는 서술형입니다.
범위는 미분의 후반부(도함수의 활용)와 적분 전체입니다. 대단원으로 묶으면 미분 12문항(03·05·06), 적분 11문항(07·08·09) 으로 거의 반반입니다.
문항 배치는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1번 도함수의 활용 (3), 2·3번 도함수의 활용 (2), 4번 정적분, 5·6번 부정적분으로 처음 여섯 문항부터 네 단원이 섞여 나옵니다. 미분과 적분을 오가며 풀어야 하는 시험입니다.
23번은 범위 라벨에 없는 미분계수와 도함수 단원 문항입니다. 앞 단원의 미분가능성과 연속성이 서술형 상 난이도로 나왔습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 14문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 4% | 4 |
| 중 | 8 | 35% | 1·2·5·7·9·11·13·16 |
| 중상 | 10 | 43% | 3·6·8·12·14·15·17·18·19·21 |
| 상 | 4 | 17% | 10·20·22·23 |
하 난이도는 4번 한 문항뿐입니다. 중 8문항을 합쳐도 9문항이라, 나머지 14문항이 중상 이상입니다. 고난도 비중이 매우 높은 시험입니다.
상 4문항은 10번을 제외하면 20번 이후에 몰려 있습니다. 분석표 난이도 근거로 보면 상 4문항은 모두 4단계 풀이, 중상 10문항은 모두 3단계 풀이입니다. 20~23번 네 문항 중 세 문항이 상이라 마지막 구간에 시간을 충분히 남겨야 합니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 11문항, 적분 11문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 |
|---|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 6 | 2·3·7·14·17·20 | 중 2 · 중상 3 · 상 1 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 1·8·10·13·15 | 중 2 · 중상 2 · 상 1 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 9·12·16·21·22 | 중 2 · 중상 2 · 상 1 |
| 08 정적분 | 4 | 4·11·18·19 | 하 1 · 중 1 · 중상 2 |
| 07 부정적분 | 2 | 5·6 | 중 1 · 중상 1 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 23 | 상 1 |
05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 극대·극소, 최대·최소, 증가·감소 조건이 이 단원에 들어 있습니다.
상 4문항이 도함수의 활용 (2)·(3), 정적분의 활용, 미분계수와 도함수에 하나씩 흩어져 있습니다. 어느 한 단원만 어렵다기보다 단원마다 최고 난도 문항이 하나씩 배치된 구조입니다.
눈에 띄는 소재 — 속도와 위치 4문항
미분과 적분 양쪽에서 움직이는 점의 속도·위치가 소재로 네 번 나왔습니다.
- 1번 중 가속도(속도의 두 시각과 가속도)
- 12번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프에서 최대 위치와 이동 거리)
- 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(둘레 운동을 차함수의 수준집합으로 변환)
- 21번 중상 위치와 위치의 변화량(속도 부호 변경과 위치 변화량)
1번은 미분(가속도), 12·21번은 적분(위치·이동 거리)입니다. 위치의 변화량과 움직인 거리의 차이, 즉 속도의 부호가 바뀌는 시각을 기준으로 적분을 나누는 것이 12·21번의 공통 포인트입니다. 15번은 실근의 개수 유형이지만 분석표상 둘레를 도는 운동의 만남을 거리 차 식으로 바꾸는 문항입니다.
두 번씩 나온 유형도 있습니다.
- 두 곡선 사이의 넓이 — 9·22번 (중 · 상)
- 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 — 17·20번 (중상 · 상)
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (2·3·7·14·17·20번) — 6문항
2번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(극소 조건으로 삼차함수 복원), 3번 중상 도함수의 그래프의 해석 (응용)(두 도함수의 높이와 원시함수의 형태), 7번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(구간 최대최소로 계수 결정), 14번 중상 최대·최소의 활용; 넓이(접선의 축 절편과 삼각형 최대 넓이), 17번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건(제한 구간 감소와 도함수의 최대), 20번 상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건(두 구간 단조 조건과 정수 계수 최소).
17·20번이 같은 유형입니다. 17번은 한 구간에서 감소할 조건, 20번은 인접한 두 구간의 단조 조건을 동시에 다루며 정수 계수의 최솟값까지 찾아야 하는 상 문항입니다. 3번은 도함수 그래프 두 개를 보고 원래 함수의 모양을 판단하는 그래프 해석 문항입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (1·8·10·13·15번) — 5문항
1번 중 가속도(속도의 두 시각과 가속도), 8번 중상 접선의 개수(외부점에서 그은 접선의 개수), 10번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(사차방정식 실근의 부호와 접점 경계), 13번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(차함수의 비음 조건과 자연수), 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(둘레 운동을 차함수의 수준집합으로 변환).
10번이 앞쪽의 상 문항입니다. 사차함수 그래프와 수평선의 교점을 따지면서 실근의 부호까지 구분해야 합니다. 8번은 곡선 밖의 점에서 그은 접선이 몇 개인지를 묻는 대표 유형이고, 13번은 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 부호를 따지는 문항입니다.
3. 부정적분 (5·6번) — 2문항
5번 중 부정적분의 정의(두 부정적분의 상수차), 6번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기(함수와 부정적분의 다항 항등식).
6번은 관계식을 항등식으로 바꾼 뒤 다항함수의 차수와 계수를 정하는 중상 문항입니다.
4. 정적분 (4·11·18·19번) — 4문항
4번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우(역방향 적분 구간의 결합), 11번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수(절댓값 도함수의 정적분), 18번 중상 그래프와 정적분으로 정의된 함수, 19번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한; lim_{x→a}1/(x-a)∫_a^x f(t)dt 꼴(적분 항등식과 미분계수의 극한).
4번은 이 시험의 유일한 하입니다. 19번은 적분으로 정의된 등식을 미분해 도함수를 구하고, 극한을 미분계수로 바꾸는 대표 유형입니다.
5. 정적분의 활용 (9·12·16·21·22번) — 5문항
9번 중 두 곡선 사이의 넓이(두 유한 영역의 넓이), 12번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 16번 중 함수와 그 역함수의 정적분(역함수 적분의 맞춘 양 끝값), 21번 중상 위치와 위치의 변화량, 22번 상 두 곡선 사이의 넓이(세 경계 경우에서 두 곡선의 넓이).
22번은 9번과 같은 유형의 상 버전입니다. 9번이 두 영역의 넓이를 구하는 기본형이라면, 22번은 조건에 따라 경우를 세 가지로 나눠 각각의 넓이를 구해야 합니다. 16번은 역함수의 정적분을 사각형 넓이의 차로 바꾸는 유형입니다.
6. 서술형 23번 — 상
23번 상 미분가능성과 연속성(절댓값 미분가능성과 영점 중복도).
범위 라벨 밖의 앞 단원이지만 마지막 서술형에 상 난이도로 나왔습니다. 절댓값이 포함된 함수가 미분가능할 조건을 영점의 중복도와 연결하는 문항입니다. 기말 범위가 아니어도 미분가능성 단원은 따로 복습해 두어야 합니다.
주의 문항 — 상 4문항
10번 상 (사차방정식 실근의 부호와 접점 경계) — 앞쪽에 있는 유일한 상입니다. 여기서 시간을 너무 쓰면 뒤가 밀립니다.
20번 상 (두 구간 단조 조건과 정수 계수 최소) — 17번과 같은 유형의 심화입니다.
22번 상 (세 경계 경우에서 두 곡선의 넓이) — 경우 나누기를 빠뜨리면 틀립니다.
23번 상 · 서술형 (절댓값 미분가능성과 영점 중복도) — 범위 라벨 밖 단원에서 나온 마지막 문항입니다.
명일여고 수2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 극대·극소, 최대·최소로 미정계수 구하기 — 2·7번 대비.
- 도함수의 그래프 해석 — 3번 대비.
- ★ 구간에서 증가·감소할 조건 — 17·20번 대비. 상 문항 포함.
- 최대·최소의 활용(넓이) — 14번 대비.
- 접선의 개수, 부등식이 항상 성립할 조건 — 8·13번 대비.
- ★ 방정식의 실근의 개수와 부호 — 10·15번 대비.
- 부정적분의 정의와 관계식 — 5·6번 대비.
- 정적분 계산(구간 결합, 절댓값) — 4·11번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수와 극한 — 18·19번 대비.
- ★ 속도·위치·움직인 거리 — 1·12·21번 대비.
- 두 곡선 사이의 넓이, 역함수의 정적분 — 9·16·22번 대비.
- ★ 미분가능성과 연속성(절댓값 함수) — 23번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
명일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 23문항입니다. 1~22번은 선택형, 23번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용이 각 5문항, 정적분 4문항, 부정적분 2문항입니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
상 난이도가 10·20·22·23번 네 문항입니다. 그 밖에 중상이 10문항 있습니다.
시험 범위 밖 문항이 있나요?
23번 서술형이 범위 라벨에 없는 미분계수와 도함수 단원(미분가능성과 연속성)에서 나왔습니다.
쉬운 문항은 몇 개인가요?
분석표 기준 하 난이도는 4번 한 문항입니다. 중 8문항까지 합쳐 9문항을 확실히 지키는 것이 기본 전략입니다.
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