동북고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
동북고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용으로, 도함수의 활용부터 적분 끝까지입니다. 가장 뚜렷한 특징은 08 정적분 한 단원이 7문항이고, 중상이 11문항으로 시험의 절반이라는 점입니다.
핵심 요약
- 22문항, 1~18번 선택형 · 19~22번 서술형 4문항
- 난이도: 하 4 / 중 6 / 중상 11 / 상 1
- 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 09 정적분의 활용 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 2
- 유일한 상: 17번 정적분을 포함한 등식
- 서술형 4문항 중 3문항(20·21·22번)이 중상
동북고 수2 2학기 기말은 어떤 시험인가
동북고등학교는 서울 강동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 서술형입니다.
대단원으로 묶으면 미분(도함수의 활용) 10문항, 적분 12문항으로 적분 쪽이 조금 더 무겁습니다. 적분 12문항 중 7문항이 08 정적분에 모여 있습니다.
배치는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1번 정적분, 2번 부정적분, 3번 도함수의 활용 (3), 4번 도함수의 활용 (1) 으로 시작부터 미분과 적분이 번갈아 나옵니다. 앞의 1~3번 세 문항이 모두 하라서, 시작은 부담 없이 풀 수 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 11문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 18% | 1·2·3·19 |
| 중 | 6 | 27% | 4·5·6·7·8·10 |
| 중상 | 11 | 50% | 9·11·12·13·14·15·16·18·20·21·22 |
| 상 | 1 | 5% | 17 |
하·중 10문항은 1~8번·10번과 서술형 19번에 있습니다. 9번 하나를 빼면 1~10번이 하·중 구간이고, 11번부터는 19번을 제외한 모든 문항이 중상 이상입니다.
분석표 난이도 근거로 보면 17번만 4단계 풀이, 중상 11문항은 3단계 풀이입니다. 11~18번 선택형 여덟 문항이 연속으로 중상·상이라, 이 구간을 어떻게 넘기느냐가 점수를 결정합니다.
출제 단원 — 정적분 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 |
|---|---|---|---|
| 08 정적분 | 7 | 1·5·14·17·18·19·22 | 하 2 · 중 1 · 중상 3 · 상 1 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 3·8·11·12·13 | 하 1 · 중 1 · 중상 3 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 7·9·21 | 중 1 · 중상 2 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 15·16·20 | 중상 3 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 4·6 | 중 2 |
| 07 부정적분 | 2 | 2·10 | 하 1 · 중 1 |
08 정적분이 7문항, 32% 로 가장 많습니다. 정적분의 계산부터 정적분으로 정의된 함수, 정적분을 포함한 등식까지 단원 전체가 나왔고, 유일한 상(17번)도 여기 있습니다.
09 정적분의 활용 3문항은 전부 중상입니다. 06 도함수의 활용 (3)도 5문항 중 3문항이 중상입니다. 반대로 04 도함수의 활용 (1)(롤의 정리·평균값 정리)과 07 부정적분은 중 이하입니다.
시그니처 — 정적분으로 정의된 함수와 등식
정적분 7문항 중 네 문항이 정적분이 포함된 함수·등식을 다룹니다.
- 5번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한; lim_{x→0}(1/x)∫_a^{x+a}f(t)dt 꼴(적분 구간 변화율로 극한값 계산)
- 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(적분함수 도함수 부호로 보기 참거짓 판단)
- 17번 상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우(다항식 차수와 항등식 계수로 함수 결정)
- 18번 중상 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우(가능한 다항함수별 정적분 최대최소 비교)
공통 열쇠는 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 된다는 성질입니다. 17·18번은 분석표상 다항함수의 차수를 먼저 정하고 계수를 결정하는 과정이 들어 있어, 차수 판단 연습이 필요합니다.
반복 유형도 두 개 있습니다.
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 12·13번 (둘 다 중상)
- 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우 — 16·20번 (둘 다 중상)
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분 (1·5·14·17·18·19·22번) — 7문항
1번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우(기함수와 우함수로 대칭 구간 적분 계산), 19번 하 · 서술형 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우(동일 피적분함수의 인접 구간 적분 합산), 그리고 위의 5·14·17·18번, 22번 중상 · 서술형 최대·최소의 활용; 길이 / 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수(점과 포물선 거리 최솟값 함수를 적분).
1번은 대칭 구간에서 홀수 차수 항이 사라진다는 성질만 쓰면 되는 확보 문항입니다. 19번 서술형도 하입니다. 22번은 미분과 적분이 한 문항에 결합된 서술형입니다. 점과 포물선 사이 거리의 최솟값을 함수로 놓고, 구간에 따라 나눠 적분합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (3·8·11·12·13번) — 5문항
3번 하 가속도(위치를 두 번 미분하여 가속도 계산), 8번 중 두 그래프의 교점의 개수(삼차함수 극값과 정수 수준 구간 판단), 11번 중상 삼차방정식의 근의 판별(삼차방정식의 서로 다른 세 실근 판별), 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(기함수 극값과 절댓값 방정식 근 개수), 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(구간 끝점 제외와 수준 함수 근 개수 판단).
8·11·12·13번 네 문항이 모두 그래프와 수평선의 교점(실근)의 개수를 따지는 계열입니다. 11번은 서로 다른 세 실근 조건, 12번은 절댓값이 붙은 방정식, 13번은 구간 끝점이 포함되지 않는 경우를 다룹니다. 극댓값·극솟값을 정확히 구하고 그래프를 그리는 것이 네 문항의 공통 출발점입니다.
3. 도함수의 활용 (2) (7·9·21번) — 3문항
7번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건(도함수 판별식으로 역함수 존재 조건), 9번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(미분가능 조건과 전역 최솟값으로 상수 결정), 21번 중상 · 서술형 함수의 극대·극소의 활용(극점 좌표 내분과 축 교차 조건으로 범위 결정).
7번은 역함수가 존재하려면 증가(또는 감소)해야 하고, 그 조건을 도함수의 판별식으로 바꾸는 대표 유형입니다. 9번은 미분가능 조건과 최솟값 조건을 함께 써서 상수를 정하는, 앞쪽에 배치된 유일한 중상입니다.
4. 정적분의 활용 (15·16·20번) — 3문항, 전부 중상
15번 중상 움직인 거리(구간별 이동 거리와 절반 거리 시각 계산), 16번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(연속 조건과 대칭 이동으로 곡선 넓이 계산), 20번 중상 · 서술형 곡선과 x축 사이의 넓이(적분 항등식과 부호 구간으로 넓이 계산).
15번은 전체 이동 거리를 구한 뒤 그 절반을 이동한 시각을 찾는 문항입니다. 16·20번은 같은 유형으로, 함숫값의 부호가 바뀌는 구간을 나눠 넓이를 구해야 합니다.
5. 도함수의 활용 (1) · 부정적분 (4·6·2·10번) — 4문항, 중 이하
4번 중 롤의 정리(롤의 정리의 미분계수 조건과 두 근 곱), 6번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우(평균값 정리로 함숫값 상계와 달성 확인), 2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기(도함수 적분 후 초기값으로 함수 결정), 10번 중 부정적분의 계산(항별 부정적분과 적분상수의 합 계산).
이 네 문항은 개념을 정확히 알면 바로 풀리는 확보 구간입니다. 롤의 정리·평균값 정리는 정리의 조건과 결론을 정확히 외워 두세요.
주의 문항 — 상 1, 중상 11
17번 상 (정적분을 포함한 등식) — 시험의 유일한 상입니다. 다항식 차수 판단부터 시작합니다.
11~13번 중상 (실근의 개수) — 세 문항 연속으로 그래프와 교점을 따집니다.
14번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 보기의 참·거짓을 하나씩 판단합니다.
15·16번 중상 (정적분의 활용) — 이동 거리와 넓이 계산이 이어집니다.
18번 중상 (적분 구간이 같은 정적분) — 가능한 함수를 모두 따진 뒤 정적분 값을 비교합니다.
20·21·22번 중상 · 서술형 — 서술형 4문항 중 세 문항이 중상입니다. 풀이 과정까지 써야 하므로 시간 배분이 중요합니다.
동북고 수2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 롤의 정리·평균값 정리 — 4·6번 대비. 확보 구간.
- 삼차함수가 증가·감소할 조건(판별식) — 7번 대비.
- 최대·최소로 미정계수 구하기, 극대·극소의 활용 — 9·21번 대비.
- 가속도 — 3번 대비.
- ★ 방정식의 실근의 개수(그래프와 수평선) — 8·11·12·13번 대비.
- 부정적분 계산과 도함수로 함수 구하기 — 2·10번 대비.
- 우함수·기함수의 정적분, 구간 결합 — 1·19번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극한·극값 — 5·14번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식 — 17·18번 대비. 유일한 상 포함.
- 움직인 거리 — 15번 대비.
- 곡선과 x축 사이의 넓이 — 16·20번 대비.
- 최솟값 함수의 정적분 — 22번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
동북고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
08 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (3) 5문항, 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 3문항입니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 17번(정적분을 포함한 등식) 하나입니다. 그 밖에 중상이 11문항으로 시험의 절반입니다.
서술형은 어떻게 나오나요?
19~22번 네 문항입니다. 19번은 하, 20·21·22번은 중상입니다. 단원은 정적분 2문항(19·22번), 정적분의 활용 1문항(20번), 도함수의 활용 (2) 1문항(21번)입니다.
쉬운 문항은 어디에 있나요?
1·2·3번과 19번이 하입니다. 4~8번과 10번도 중 난이도라, 앞쪽 10문항에서 실수 없이 점수를 확보하는 것이 기본입니다.
과년도 동북고 기출도 볼 수 있나요?
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