당곡고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
당곡고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험은 미분 10문항, 적분 10문항으로 정확히 반반입니다. 가장 많이 나온 단원은 08 정적분(6문항) 이고, 17~20번 네 문항은 소문항으로 나뉜 서술형입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~16번 선택형, 17~20번 소문항이 있는 서술형(4문항)
- 난이도: 하 2 / 중 10 / 중상 7 / 상 1
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 3 / 04 도함수의 활용 (1) 1 / 07 부정적분 1
- 반복 유형: 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분(9·20번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(10·19번)
- 유일한 상: 16번 두 그래프의 교점의 개수
당곡고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
당곡고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 1~16번은 선택형이고, 17~20번은 (1)·(2)처럼 소문항으로 나뉜 서술형입니다.
단원 구성은 미분 파트 10문항(04·05·06 도함수의 활용) 과 적분 파트 10문항(07 부정적분·08 정적분·09 정적분의 활용) 입니다. 이번에 함께 정리한 서울 강서구·관악구 고교 다섯 곳(경복여고·남강고·덕원여고·등촌고·마포고)의 수학Ⅱ 기말은 모두 적분 문항이 더 많았는데, 당곡고는 도함수의 활용 비중이 적분과 똑같이 높습니다.
배치는 단원 순서와 무관하게 섞여 있습니다. 1번이 정적분, 2번이 접선의 기울기, 3번이 극대·극소, 4번이 넓이입니다. 한 문항마다 단원이 바뀌니 단원별로 끊어서 공부하면 실전에서 전환이 느려집니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 7문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 10% | 1·2 |
| 중 | 10 | 50% | 3·4·5·6·9·11·12·17·19·20 |
| 중상 | 7 | 35% | 7·8·10·13·14·15·18 |
| 상 | 1 | 5% | 16 |
하 난이도는 1·2번 두 문항입니다. 시험 시작 두 문항만 확보 구간입니다.
선택형 7~16번 열 문항 중 일곱 문항이 중상 이상(7·8·10·13·14·15·16번)입니다. 선택형 후반이 가장 어려운 구간입니다. 반대로 서술형 17~20번은 18번만 중상이고 나머지는 중입니다. 서술형에서 점수를 지키고 선택형 후반에서 시간을 쓰는 운영이 맞습니다.
출제 단원 — 정적분 6문항, 도함수의 활용 (3) 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 1·8·9·11·12·20 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 6·10·13·16·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 3·7·14·17 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 4·15·18 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 2 |
| 07 부정적분 | 1 | 5 |
여섯 단원에서 모두 출제됐습니다. 08 정적분 6문항이 1위이고, 미분 쪽에서는 06 도함수의 활용 (3)이 5문항으로 가장 많습니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 접선과 극대·극소 (2·3·7·14·17번) — 5문항
2번 하 접선의 기울기 — 접선의 기울기로 접점 결정. 3번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 극대 조건으로 계수 결정. 7번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건 — 두 극값의 위치로 매개변수 판정. 14번 중상 함수의 증가와 감소 — 감소 조건에서 함숫값의 최적화. 17번 중(서술형) 함수의 극대·극소 — 증감표, 극값, 구간 최솟값.
17번은 증감표를 직접 채우는 서술형입니다. 도함수의 부호를 조사해 증가·감소를 표로 정리하는 과정을 손으로 써 보는 연습이 필요합니다.
7번은 극값을 갖는 x의 위치에 조건이 걸린 유형입니다. 극값을 갖는 x, 즉 f'(x)=0의 근이 어디에 놓이는지를 따지는 것이 출발점입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (6·10·13·16·19번) — 5문항
6번 중 속도·가속도와 운동 방향 — 운동 방향이 바뀔 때의 위치와 가속도. 10번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 대칭인 삼차함수의 실근 개수. 13번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용 — 반직선 위에서 항상 성립하는 부등식. 16번 상 두 그래프의 교점의 개수 — 평균 기울기와 도함수, 교점. 19번 중(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 극값과 수평선 교점의 개수.
실근의 개수가 10·19번 두 번입니다. 19번 서술형은 극값을 구하고 수평선과의 교점을 세는 과정을 그대로 써야 합니다. 10번 선택형에서 같은 방법을 쓰니 함께 연습하세요.
16번이 이 시험의 유일한 상입니다. 두 그래프의 교점 개수를 묻는데, 평균 기울기와 도함수가 함께 걸려 있습니다.
3. 정적분 (1·8·9·11·12·20번) — 6문항
1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 다항식의 정적분 계산. 8번 중상 기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용 · 정적분의 계산 — 평행한 접선으로 삼각형 넓이 구성. 9번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 — 그래프의 증감으로 절댓값 적분. 11번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 대칭 구간 넓이의 극한 계산. 12번 중 도함수의 그래프의 해석 (응용) · 미적분의 기본정리 — 도함수의 부호로 극값 판정. 20번 중(서술형) 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 — 절댓값 적분으로 방정식 해결.
절댓값이 있는 정적분이 9·20번 두 번입니다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 부호를 정리하는 것이 기본입니다. 20번은 서술형이라 구간을 나누는 근거까지 써야 합니다.
8·12번은 미분과 적분이 한 문항에 결합된 형태입니다. 8번은 접선, 12번은 도함수 그래프 해석이 정적분과 함께 나왔습니다.
4. 부정적분과 정적분의 활용 (4·5·15·18번) — 4문항
4번 중 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식 — 포물선과 직선 사이 넓이. 5번 중 부정적분과 접선의 기울기 — 접선 조건과 부정적분의 결합. 15번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 이등분 — 그림의 넓이를 이등분하는 조건. 18번 중상(서술형) 움직인 거리 — 위치 조건과 움직인 거리.
4번은 1/6 공식 유형이라 공식을 알면 바로 끝납니다. 15번 넓이 이등분은 전체 넓이의 절반이 되는 식을 세우는 문항입니다. 18번은 서술형 중 유일한 중상이고, 위치 조건으로 미지수를 정한 뒤 움직인 거리를 구하는 소문항 구조입니다.
주의 문항 — 상 1문항, 중상 7문항
16번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 선택형 마지막 문항이자 유일한 상입니다.
7번 중상 (삼차함수가 구간에서 극값을 가질 조건) — 시험 앞쪽의 첫 중상입니다.
8번 중상 (접선 + 정적분) — 평행한 접선으로 삼각형 넓이를 만드는 결합형입니다.
10·13·14·15번 중상 — 실근의 개수, 반직선 부등식, 감소 조건, 넓이 이등분이 연달아 나옵니다.
18번 중상 (움직인 거리, 서술형) — 서술형 네 문항 중 가장 어렵습니다.
당곡고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 다항식의 정적분 계산과 접선의 기울기 — 1·2번 대비. 확보 구간.
- 극대·극소 조건으로 계수 결정 — 3번 대비.
- ★ 증감표 작성과 극값·구간 최솟값 — 17번 서술형 대비.
- 삼차함수가 구간에서 극값을 가질 조건 — 7번 대비.
- 증가·감소 조건의 활용 — 14번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 6번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·19번 대비.
- 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 13번 대비.
- 두 그래프의 교점의 개수 — 16번(상) 대비.
- ★ 절댓값이 있는 정적분 — 9·20번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극한, 도함수 그래프 해석 — 11·12번 대비.
- 1/6 공식, 넓이 이등분 — 4·15번 대비.
- 부정적분과 접선의 기울기 — 5번 대비.
- 움직인 거리 — 18번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
당곡고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~20번은 소문항으로 나뉜 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 06 도함수의 활용 (3) 5문항, 05 도함수의 활용 (2) 4문항, 09 정적분의 활용 3문항, 04 도함수의 활용 (1)과 07 부정적분이 각 1문항입니다.
미분과 적분 중 어디가 더 많이 나오나요?
미분 10문항, 적분 10문항으로 같습니다. 기말이라고 적분만 준비하면 절반을 놓칩니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16번 한 문항(두 그래프의 교점의 개수)입니다. 중상은 7문항이고 그중 6문항이 선택형 7~15번에 있습니다.
과년도 당곡고 기출도 볼 수 있나요?
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