등촌고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

등촌고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 08 정적분 한 단원에서만 9문항이 나왔고, 부정적분·정적분·정적분의 활용을 합친 적분 파트가 17문항입니다. 1~5번이 모두 하 난이도라 시작은 편하지만, 정적분 문항이 중반 이후를 채우고 있습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~20번 선택형, 21~23번 답을 직접 쓰는 형태(3문항)
• 난이도: 하 7 / 중 10 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 9 / 07 부정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 2
• 반복 유형: 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(7·17번), 정적분을 포함한 등식; 위끝에 변수(15·16번)
• 유일한 상: 20번 주기함수의 정적분

등촌고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

등촌고등학교는 서울 강서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 1~20번은 선택형, 21~23번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

단원은 적분 파트 17문항(07 부정적분 4 · 08 정적분 9 · 09 정적분의 활용 4) 과 미분 파트 6문항(05·06 도함수의 활용) 입니다. 범위 라벨에 "증가와 감소"가 들어 있지만, 실제로는 적분이 전체의 4분의 3을 차지합니다. 05 도함수의 활용 (2) 단원은 9·13번 두 문항뿐입니다.

2025학년 난이도 분포 — 1~5번 전부 하

1~5번 다섯 문항이 연속으로 하입니다. 직접 쓰는 21·22번도 하라서 하 7문항을 모두 지키면 기본 점수가 확보됩니다.

중상 이상 6문항은 전부 14번 이후에 있습니다. 6~13번 여덟 문항은 모두 중이고, 14번부터 중상·상이 섞이기 시작합니다. 시험지 앞쪽은 속도전, 뒤쪽은 정확도 싸움입니다.

출제 단원 — 정적분 9문항

08 정적분 9문항이 전체의 39% 입니다. 유일한 상인 20번과 중상 15·19번이 모두 이 단원입니다. 정적분 단원의 완성도가 곧 이 시험의 점수입니다.

시그니처 — 정적분을 포함한 등식 3문항, 절댓값 4문항

정적분을 포함한 등식이 15·16·19번 세 문항입니다.

• 15번 중상 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 위끝이 움직이는 적분 항등식
• 16번 중 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 이동 구간 적분의 점화 관계
• 19번 중상 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 적분식의 극한과 계수 복원

위끝에 변수가 있으면 양변을 미분해 피적분함수를 꺼낸다는 것이 세 문항의 공통 도구입니다. 19번은 피적분함수에도 변수가 있어 그 변수를 적분 기호 밖으로 빼낸 뒤 미분해야 합니다.

또 하나의 공통 소재는 절댓값입니다. 10·14·17·18번 네 문항에 절댓값이 들어 있습니다(절댓값 적분의 넓이 비, 절댓값 삼차방정식의 실근 수, 원시함수의 극점과 절댓값 적분, 절댓값 포물선과 접선의 넓이). 절댓값 안의 식이 0이 되는 점에서 구간을 나누는 습관이 네 문항 모두에 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·2·5·21번) — 4문항, 전부 하

1번 하 부정적분과 미분의 관계; d/dx∫f(x)dx=f(x) — 원시함수를 미분해 함숫값 구하기. 2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 원시함수의 초기값과 구간 적분. 5번 하 부정적분과 접선의 기울기 — 접선의 기울기를 적분해 함숫값 구하기. 21번 하(직접 쓰기) 부정적분과 미분의 관계; ∫{d/dx f(x)}dx=f(x)+C — 미분과 적분의 관계, 적분상수.

1번과 21번은 짝입니다. 1번은 "적분한 뒤 미분하면 원래 함수", 21번은 "미분한 뒤 적분하면 원래 함수 + 적분상수"입니다. 두 순서의 차이(적분상수 C의 유무) 를 정확히 구분하는지가 포인트입니다.

2. 도함수의 활용 (3·9·11·13·14·23번) — 6문항

3번 하 속도·가속도와 운동 방향 — 위치를 미분해 운동 방향의 변화 판정. 9번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 최대·최소 조건으로 미정계수 결정. 11번 중 시각에 대한 길이의 변화율 — 닮음과 그림자 길이의 변화율. 13번 중 최대·최소의 활용; 넓이 — 직사각형 넓이의 최대. 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 절댓값 삼차방정식의 실근 수. 23번 중상(직접 쓰기) 삼차방정식의 근의 판별 — 삼차함수의 중근과 수평선의 교점.

11번 그림자 문제는 닮음으로 그림자 길이를 식으로 나타낸 뒤 시각에 대해 미분하는 유형입니다. 14·23번은 그래프와 수평선의 교점으로 근을 세는 같은 계열입니다. 23번은 직접 쓰는 문항의 마지막이자 가장 어려운 문항입니다.

3. 정적분 (4·6·7·10·15·16·17·19·20번) — 9문항

4번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 다항식의 정적분 계산. 6번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우 — 대칭 구간에서 홀수 차수 항 소거. 7번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 그림의 부호로 적분함수의 극소 판정. 10번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 — 절댓값 적분의 넓이 비. 15·16·19번 정적분을 포함한 등식 — 위에서 정리한 세 문항. 17번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 원시함수의 극점과 절댓값 적분. 20번 상 주기함수의 정적분 — 주기함수, 이동 구간의 최댓값, 정적분.

7·17번이 같은 유형입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 되므로, 피적분함수의 부호가 바뀌는 점이 극값이 됩니다.

6번은 대칭 구간 적분의 기본입니다. 구간 [-a, a]에서 홀수 차수 항은 적분값이 0이 되니 짝수 차수 항만 계산하면 됩니다.

20번 주기함수의 정적분이 이 시험의 유일한 상입니다. 주기가 같은 구간에서는 적분값이 같다는 성질을 써서 긴 구간을 한 주기 단위로 나눠 생각하는 것이 출발점입니다.

4. 정적분의 활용 (8·12·18·22번) — 4문항

8번 중 움직인 거리 — 속도의 부호에 따라 나눈 이동 거리. 12번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리 — 속도 그래프로 위치·거리 판정. 18번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 절댓값 포물선과 접선의 넓이. 22번 하(직접 쓰기) 곡선과 x축 사이의 넓이 — 포물선과 x축 사이 넓이.

8·12번은 운동 문제입니다. 위치의 변화량은 속도를 그대로 적분하고, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분합니다. 12번은 속도 그래프의 넓이로 이 둘을 판정합니다.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 5문항

20번 상 (주기함수의 정적분) — 선택형 마지막 문항입니다.

14번 중상 (절댓값 삼차방정식의 실근 수) — 이 시험의 첫 중상입니다.

15·19번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 위끝 변수, 피적분함수 속 변수를 처리하는 단계가 필요합니다.

18번 중상 (절댓값 포물선과 접선의 넓이) — 절댓값으로 꺾인 그래프와 접선을 함께 다룹니다.

23번 중상 (삼차방정식의 근의 판별, 직접 쓰기) — 중근 조건과 수평선 교점을 연결해야 합니다.

등촌고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. ★ 부정적분과 미분의 관계(두 순서의 차이) — 1·21번 대비. 확보 구간.
2. 도함수로 함수 구하기, 접선의 기울기와 부정적분 — 2·5번 대비.
3. 다항식의 정적분, 대칭 구간 적분 — 4·6번 대비.
4. 속도·가속도와 움직인 거리 — 3·8·12번 대비.
5. 최대·최소 조건과 넓이 최대 — 9·13번 대비.
6. 시각에 대한 길이의 변화율(그림자) — 11번 대비.
7. 절댓값이 있는 정적분 — 10·17번 대비.
8. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 7·17번 대비.
9. ★ 정적분을 포함한 등식(위끝 변수, 피적분함수 변수) — 15·16·19번 대비.
10. 실근의 개수와 삼차방정식의 근의 판별 — 14·23번 대비.
11. 곡선과 x축·접선으로 둘러싸인 넓이 — 18·22번 대비.
12. 주기함수의 정적분 — 20번(상) 대비.

자주 나오는 질문

등촌고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~20번은 선택형, 21~23번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 9문항으로 가장 많습니다. 07 부정적분, 06 도함수의 활용 (3), 09 정적분의 활용이 각 4문항, 05 도함수의 활용 (2)가 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20번 한 문항(주기함수의 정적분)입니다. 중상은 14·15·18·19·23번 다섯 문항이고, 중상 이상은 모두 14번 이후에 있습니다.

쉬운 문항은 어디인가요?

1~5번과 21·22번, 모두 7문항이 하입니다. 1~5번은 연속으로 하 난이도라 빠르게 풀고 넘어가면 됩니다.

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