명덕여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 강서구 명덕여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 실제 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 중 9문항과 중상 9문항이 같은 수로 맞서 있다는 점, 그리고 가장 많이 나온 단원이 08 정적분(7문항) 이라는 점입니다.
핵심 요약
- 22문항. 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~22번 서술형 6문항
- 난이도: 하 2 / 중 9 / 중상 9 / 상 2
- 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 1
- 상 난이도: 16번(그래프와 정적분으로 정의된 함수), 20번(최대·최소를 이용한 미정계수 결정, 서술형)
- 하 난이도는 1·2번 두 문항뿐
명덕여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
명덕여자고등학교는 서울 강서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록을 보면 1~16번이 선택형, 17~22번 여섯 문항이 서술형입니다.
단원으로 나누면 미분 파트(05·06 도함수의 활용) 9문항, 적분 파트(07 부정적분·08 정적분·09 정적분의 활용) 13문항입니다. 기말 범위의 중심이 적분 쪽에 있다는 것이 문항 수에서 그대로 드러납니다.
배치 순서는 단원별로 묶여 있지 않습니다. 1번 부정적분, 2번 속도, 3번 극값 조건, 4번 움직인 거리처럼 미분과 적분이 번갈아 나옵니다. 한 단원만 집중해서 공부하면 시험지에서 흐름이 자주 끊기는 구조입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중과 중상이 9문항씩
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 9% | 1·2 |
| 중 | 9 | 41% | 3·4·5·6·7·13·14·17·18 |
| 중상 | 9 | 41% | 8·9·10·11·12·15·19·21·22 |
| 상 | 2 | 9% | 16·20 |
하 난이도는 1·2번 두 문항뿐입니다. 3번부터는 전부 중 이상이고, 8~12번은 다섯 문항 연속 중상입니다. 선택형 중반부에서 시간을 많이 쓰면 서술형 여섯 문항을 쓸 시간이 부족해집니다.
서술형 6문항만 따로 보면 중 2문항(17·18번), 중상 3문항(19·21·22번), 상 1문항(20번)입니다. 서술형이 쉬운 마무리가 아니라는 점을 미리 알고 들어가야 합니다.
출제 단원 — 08 정적분 7문항이 최다
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 7 | 7·8·10·13·14·16·22 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 2·5·11·17·21 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 4·9·12·15·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 3·6·18·20 |
| 07 부정적분 | 1 | 1 |
08 정적분이 7문항으로 가장 많고, 상 난이도 16번과 서술형 22번이 모두 여기 들어 있습니다. 정적분으로 정의된 함수(극한·최대최소·극대극소·그래프) 유형이 7·10·14·16번 네 문항에 나오고, 22번 서술형도 변수가 들어간 정적분 등식이므로 "적분으로 정의된 함수를 미분해서 다룬다"는 발상이 이 단원의 핵심입니다.
07 부정적분은 1번 한 문항뿐입니다. 부정적분 자체보다 정적분과 그 활용에 무게가 실린 시험입니다.
두 번 이상 나온 유형
- 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 7번(lim (1/x)∫ 꼴), 9번(lim 1/(x−a)∫ 꼴)
- 두 그래프의 교점의 개수 — 11번(선택형), 21번(서술형)
- 함수의 최대·최소 — 10번(정적분으로 정의된 함수의 최대·최소와 결합), 18번(서술형)
11번과 21번은 같은 유형이 선택형과 서술형으로 한 번씩 나온 경우입니다. 11번은 삼각형 경계와 삼차곡선의 교점, 21번은 세 교점 조건에서 정수를 정하고 구간 극값을 비교하는 문항입니다. 교점 개수를 그래프로 세는 연습이 두 문항에 같이 쓰입니다.
빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)
1. 정적분 (7·8·10·13·14·16·22번) — 7문항
7번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한(움직이는 적분 끝의 극한), 8번 중상 우함수·기함수의 정적분(원의 넓이 대칭으로 정한 우함수 적분), 10번 중상 함수의 최대·최소와 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(사차함수 극값과 적분함수의 최소), 13번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분(합성함수 분기별 정적분), 14번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 16번 상 그래프와 정적분으로 정의된 함수, 22번 중상 서술형 정적분을 포함한 등식.
16번이 이 시험의 최고 난도 문항 중 하나입니다. 원시함수 그래프와 수평선, 절댓값 함수의 미분가능성을 함께 따지는 구조입니다. 원시함수의 극값 높이와 근의 중복도를 그래프로 정리하는 연습이 되어 있어야 풀립니다.
22번 서술형은 적분 구간 끝과 피적분함수에 모두 변수가 있는 등식입니다. 양변을 미분해 함수 꼴을 복원하고 남은 상수를 정하는 순서를 풀이에 그대로 써야 합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (2·5·11·17·21번) — 5문항
2번 하 속도(위치를 미분해 속도 조건 대입), 5번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(증가·감소 활용), 11번 중상 두 그래프의 교점의 개수, 17번 중 서술형 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(삼차방정식이 두 양근을 가질 조건), 21번 중상 서술형 두 그래프의 교점의 개수.
17번은 도함수로 구한 극값과 근의 부호 조건을 함께 따지는 문항입니다. 그래프를 그려 수평선 y=k를 위아래로 움직이며 양근 개수를 세는 방식이 표준입니다.
3. 정적분의 활용 (4·9·12·15·19번) — 5문항
4번 중 움직인 거리(원점 도착 시간과 속도 절댓값 적분), 9번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한과 곡선과 x축 사이의 넓이(그림의 넓이 비교), 12번 중상 함수와 역함수 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 15번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건(세 포물선 영역 동일 넓이), 19번 중상 서술형 곡선과 x축 사이의 넓이(평행이동 적분과 양의 넓이).
4번의 움직인 거리는 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나눠 절댓값을 적분해야 합니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 헷갈리면 바로 틀리는 문항입니다.
12번 역함수 대칭 넓이는 함수와 역함수 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 점을 이용해 넓이를 바꿔 계산하는 유형입니다.
4. 도함수의 활용 (2) (3·6·18·20번) — 4문항
3번 중 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건(도함수 판별식), 6번 중 최대·최소의 활용(직육면체 부피 최대), 18번 중 서술형 함수의 최대·최소(닫힌구간 사차함수의 최대·최소), 20번 상 서술형 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(움직이는 구간).
3번은 도함수 이차식의 판별식 D≤0이 핵심입니다. 등호 포함 여부를 정확히 따지는 것이 실수 지점입니다.
20번은 서술형이면서 상 난이도입니다. 구간이 움직일 때 최댓값·최솟값이 어디서 나오는지를 경우별로 나눠야 하는 문항이라, 경계점과 극점을 모두 후보로 놓고 비교하는 습관이 필요합니다. 18번이 같은 "끝점·극점 비교" 절차의 기본형이니 18번을 먼저 확실히 익혀 두면 20번 접근이 쉬워집니다.
5. 부정적분 (1번) — 1문항
1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기(도함수 적분과 초기값). 적분상수를 초기값으로 정하는 기본 문항입니다. 반드시 맞혀야 합니다.
주의 문항 — 상 2문항과 중상 9문항
16번 상 (그래프와 정적분으로 정의된 함수) — 원시함수와 수평선, 절댓값 미분가능성을 동시에 다룹니다.
20번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수 결정, 서술형) — 움직이는 구간에서의 최대·최소를 경우별로 정리해야 합니다.
8~12번 중상 다섯 문항 — 우함수 정적분, 적분함수 극한과 넓이, 적분함수 최소, 교점 개수, 역함수 대칭 넓이가 연달아 나옵니다. 이 구간에서 막히는 문항은 표시해 두고 넘어가는 편이 낫습니다.
15번 중상 (두 도형의 넓이가 같을 조건) — 넓이가 같다는 조건을 정적분 식 하나로 바꾸는 것이 출발점입니다.
19·21·22번 중상 서술형 — 서술형 여섯 문항 중 절반이 중상입니다.
명덕여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분과 초기값 — 1번 대비. 확보 구간.
- 위치·속도·가속도 — 2번 대비. 미분 한 번, 두 번의 의미 정리.
- 삼차함수의 극값 존재 조건 — 3번 대비. 판별식 등호까지.
- 닫힌구간 최대·최소 — 18번 대비. 끝점과 극점 비교.
- ★ 움직이는 구간의 최대·최소 — 20번 대비. 18번 절차의 확장.
- 최대·최소의 활용(부피) — 6번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 5번 대비.
- ★ 교점의 개수와 실근의 부호 — 11·17·21번 대비. 그래프와 수평선.
- 정적분 계산(구간별 함수, 우함수·기함수) — 8·13번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수 — 7·10·14·16·22번 대비. 미분해서 다루는 발상.
- 움직인 거리와 위치의 변화량 구분 — 4번 대비.
- 곡선과 x축 사이 넓이, 넓이가 같을 조건 — 9·15·19번 대비.
- 역함수 대칭 넓이 — 12번 대비.
자주 나오는 질문
명덕여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번은 선택형, 17~22번 여섯 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 5문항, 05 도함수의 활용 (2) 4문항, 07 부정적분 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16번과 20번 두 문항입니다. 16번은 정적분으로 정의된 함수, 20번은 서술형으로 나온 최대·최소 문항입니다. 중상은 9문항으로 중과 같은 수입니다.
서술형은 어렵나요?
서술형 6문항 중 중상 3문항, 상 1문항입니다. 중 난이도는 17·18번 두 문항이라, 서술형도 쉬운 문항으로만 채워져 있지 않습니다.
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