수명고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
수명고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 실제 배치 단원은 미분계수와 도함수부터 정적분의 활용까지 일곱 단원에 걸쳐 있습니다. 이 시험의 성격은 중 난이도가 12문항(60%) 이라는 한 줄로 정리됩니다. 상 난이도는 17번 한 문항뿐입니다.
핵심 요약
- 20문항. 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~20번 서술형 3문항
- 난이도: 하 3 / 중 12 / 중상 4 / 상 1
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 2 / 05 도함수의 활용 (2) 2 / 03 미분계수와 도함수 1 / 04 도함수의 활용 (1) 1
- 상 난이도: 17번(그래프와 정적분으로 정의된 함수)
- 서술형 3문항은 모두 중 난이도
수명고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
수명고등학교는 서울 강서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록 기준으로 1~17번이 선택형, 18~20번이 서술형입니다.
단원으로 나누면 미분 파트(03~06) 8문항, 적분 파트(07~09) 12문항입니다. 그리고 범위 라벨에 없는 03 미분계수와 도함수 1문항(1번)과 04 도함수의 활용 (1) 1문항(13번) 도 들어 있습니다. 앞쪽 단원이라고 손을 놓으면 안 되는 이유입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 12문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 15% | 1·5·6 |
| 중 | 12 | 60% | 2·3·4·7·8·9·10·12·13·18·19·20 |
| 중상 | 4 | 20% | 11·14·15·16 |
| 상 | 1 | 5% | 17 |
중 난이도가 12문항입니다. 손을 못 댈 문항은 적지만, 중 난이도에서 한두 개를 흘리면 그대로 등급이 갈리는 구조입니다.
중상 4문항(11·14·15·16번)과 상 1문항(17번)이 11~17번에 모여 있습니다. 선택형 후반부가 이 시험의 고비이고, 서술형 세 문항은 다시 중 난이도로 돌아옵니다.
출제 단원 — 08 정적분 6문항이 최다
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 5·8·9·16·17·18 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 2·10·14·20 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 4 | 3·7·15·19 |
| 07 부정적분 | 2 | 4·11 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 6·12 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 1 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 13 |
08 정적분이 6문항으로 가장 많고, 이 시험의 유일한 상 문항(17번)도 여기 있습니다. 정적분과 정적분의 활용을 합치면 10문항으로 시험의 절반입니다.
두 번 나온 유형
- 그래프와 정적분으로 정의된 함수 — 8번(중), 17번(상)
- 정적분을 포함한 등식 — 5번(하, 변수가 있는 경우), 18번(중 서술형, 끝이 상수인 경우)
8번과 17번은 같은 유형이 중과 상으로 한 번씩 나왔습니다. 8번은 그래프 부호로 극값과 적분 부호를 판정하는 문항이고, 17번은 정적분의 절댓값 그래프로 원함수의 성질을 판정하는 보기형입니다. 8번에서 쓰는 "미적분의 기본정리로 도함수 관계를 세운다"는 첫 단계가 17번에도 그대로 쓰입니다.
운동 관련 문항도 세 단원에 걸쳐 나옵니다. 7번(속도·가속도와 운동 방향), 10번(움직인 거리), 20번(위치와 위치의 변화량, 서술형) 입니다. 미분으로 속도·가속도를, 적분으로 위치·거리를 다루는 양쪽 방향을 모두 준비해야 합니다.
빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)
1. 정적분 (5·8·9·16·17·18번) — 6문항
5번 하 정적분을 포함한 등식(변수를 포함한 정적분 항등식), 8번 중 그래프와 정적분으로 정의된 함수, 9번 중 피적분함수가 같은 경우의 정적분 계산(연속된 정적분 구간의 차를 이용), 16번 중상 함수의 최대·최소와 구간별 함수의 정적분(구간 최댓값 함수의 식을 정한 뒤 적분), 17번 상 그래프와 정적분으로 정의된 함수, 18번 중 서술형 정적분을 포함한 등식(접선 기울기와 정적분 조건으로 함수 결정).
9번은 인접한 세 구간 적분의 합이 주어지고 그 차로 관계를 찾는 문항입니다. 적분 구간을 쪼개고 붙이는 성질을 정확히 쓰는 연습이 필요합니다.
16번은 움직이는 구간의 최댓값을 구간별 식으로 먼저 정하고, 그 식을 나눠 적분합니다. 최댓값 함수를 정하는 단계에서 경우를 빠뜨리면 적분 결과가 전부 틀립니다.
2. 정적분의 활용 (2·10·14·20번) — 4문항
2번 중 두 곡선 사이의 넓이(공통 교점을 이용한 두 포물선 사이 넓이), 10번 중 움직인 거리(위치·변위와 움직인 거리), 14번 중상 도함수가 주어질 때 함수 구하기와 곡선과 x축 사이의 넓이(도함수 그래프로 구간별 함수를 연속하게 복원), 20번 중 서술형 위치와 위치의 변화량(같은 속도인 순간 두 점 사이 거리).
14번은 도함수가 구간마다 다르게 주어지고, 각 가지를 적분한 뒤 연속이 되도록 이어 붙여야 하는 문항입니다. 이어 붙이는 점에서 적분상수를 맞추는 것이 핵심이고, 그다음 넓이 조건으로 상수를 정합니다.
10번은 변위와 움직인 거리의 구분 문제입니다. 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누는 것만 지키면 됩니다.
3. 도함수의 활용 (3) (3·7·15·19번) — 4문항
3번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(삼차방정식의 세 실근 조건), 7번 중 속도·가속도와 운동 방향(방향 전환 조건과 다른 전환 시각의 가속도), 15번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(반직선에서 항상 성립하는 부등식), 19번 중 서술형 시각에 대한 길이의 변화율(닮음으로 그림자 끝·길이 변화율).
19번 서술형은 그림자 문제입니다. 닮음비로 그림자 위치와 길이를 시간의 식으로 세운 뒤 미분합니다. 단위를 맞추는 것과 "그림자 끝의 속도"와 "그림자 길이의 변화율"을 구분하는 것이 감점 포인트입니다.
4. 부정적분 (4·11번) — 2문항
4번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기(두 부정적분 관계로 이차함수 결정), 11번 중상 부정적분과 극대·극소(도함수 그래프를 적분해 삼차함수를 정한 뒤 절댓값 함수의 미분가능성 판정).
11번은 부정적분으로 삼차함수를 만든 다음, 그 함수를 위아래로 옮긴 절댓값 함수가 어디서 미분가능하지 않은지 세는 문항입니다. 극값의 높이를 먼저 정확히 구해 두면 경계가 보입니다.
5. 도함수의 활용 (2) (6·12번) — 2문항
6번 하 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 12번 중 최대·최소의 활용(구에 내접하는 원기둥의 최대 부피).
6. 03·04 단원 (1·13번) — 2문항
1번 하 미분계수를 이용한 극한값의 계산, 13번 중 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리(평행한 접선 조건으로 최소 거리). 범위 라벨에는 없는 단원이지만 실제로 출제됐습니다. 13번은 "직선과 평행한 접선의 접점에서 거리가 최소" 라는 한 가지 아이디어로 풀립니다.
주의 문항
17번 상 (그래프와 정적분으로 정의된 함수) — 이 시험의 유일한 상 문항입니다. 보기를 하나씩 판정해야 하는 형태라 시간이 오래 걸립니다.
11번 중상 (부정적분과 극대·극소) — 적분과 절댓값 미분가능성이 한 문항에 들어 있습니다.
14번 중상 (구간별 도함수에서 함수 복원과 넓이) — 연속 조건을 놓치면 나머지 계산이 모두 어긋납니다.
15번 중상 (반직선에서 항상 성립하는 부등식) — 중근 조건을 이용해 경계를 정하는 문항입니다.
16번 중상 (구간 최댓값 함수의 정적분) — 경우 분류가 먼저입니다.
수명고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 미분계수 정의 극한 — 1번 대비. 범위 라벨 밖이지만 출제.
- 도함수 그래프로 증감·극값 읽기 — 6번 대비. 확보 구간.
- 곡선 위의 점과 직선 사이 거리 — 13번 대비. 평행한 접선.
- 최대·최소의 활용(부피) — 12번 대비.
- 실근 개수와 그래프 — 3번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 15번 대비.
- 속도·가속도, 변화율 — 7·19번 대비. 그림자 문제 포함.
- 부정적분 관계식과 극대·극소 — 4·11번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식 — 5·18번 대비.
- 정적분 구간 쪼개기·붙이기 — 9번 대비.
- ★ 그래프와 정적분으로 정의된 함수 — 8·17번 대비. 이 시험의 최고 난도.
- 구간 최댓값 함수의 정적분 — 16번 대비.
- 두 곡선 사이 넓이, 구간별 함수 복원과 넓이 — 2·14번 대비.
- 변위와 움직인 거리, 두 점 사이 거리 — 10·20번 대비.
자주 나오는 질문
수명고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~17번은 선택형, 18~20번 세 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 09 정적분의 활용과 06 도함수의 활용 (3)이 각 4문항으로 뒤를 잇습니다.
범위 라벨 밖 단원도 나오나요?
네. 범위 라벨에 없는 03 미분계수와 도함수 1문항(1번), 04 도함수의 활용 (1) 1문항(13번) 이 출제됐습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 17번 한 문항입니다. 중상 4문항(11·14·15·16번)과 함께 11~17번 구간이 이 시험의 고비입니다.
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