신일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

신일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 27문항입니다. 실제 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 이 시험은 두 가지가 뚜렷합니다. 첫째, 27문항 중 22문항이 적분 파트입니다. 둘째, 하 9문항과 상 7문항이 양 끝에 몰리고 중상은 2문항뿐인 양극화된 난이도 구성입니다.

핵심 요약

• 27문항. 정답 기록 기준 1~24번 선택형, 25~27번 서술형 3문항
• 난이도: 하 9 / 중 9 / 중상 2 / 상 7
• 배치 단원: 08 정적분 12 / 09 정적분의 활용 8 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 2 / 06 도함수의 활용 (3) 2
• 1~7번 일곱 문항이 연속 하 난이도
• 상 7문항: 16·20·21·22·24·26·27번 (서술형 26·27번 포함)

신일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

신일고등학교는 서울 강북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 27문항으로 문항 수가 많은 편이고, 정답 기록 기준 1~24번이 선택형, 25~27번이 서술형입니다.

단원으로 나누면 미분 파트(05·06) 5문항, 적분 파트(07·08·09) 22문항입니다. 사실상 적분 시험입니다. 특히 08 정적분 한 단원에서만 12문항이 나왔습니다.

시험지 앞부분은 기본 계산으로 채워져 있습니다. 1~7번은 부정적분 계산, 초기값, 극댓값, 미적분의 기본정리, 정적분 직접 계산이 모두 하 난이도입니다. 이 일곱 문항을 빠르고 정확하게 끝내는 것이 뒤쪽 상 난이도 문항에 쓸 시간을 만듭니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 9, 상 7

하와 상이 합쳐 16문항입니다. 기본 계산 문항은 확실히 쉽고, 어려운 문항은 확실히 어렵습니다. 그 중간인 중상은 17·19번 두 문항뿐입니다.

상 7문항은 16번 이후에 모여 있습니다. 16·20·21·22·24번이 선택형 후반, 26·27번이 서술형입니다. 16번부터는 한 문항씩 시간이 오래 걸린다는 전제로 시간 배분을 해야 합니다.

출제 단원 — 08 정적분 12문항

08 정적분 12문항(44%) 이 시험의 중심입니다. 여기에는 하 난이도 기본 계산(4·5·6·7·13번)과 상 난이도(16·22·27번)가 함께 들어 있어, 같은 단원 안에서도 난이도 폭이 매우 넓습니다.

반복 유형

• 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 5·6번 (둘 다 하)
• 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 — 15번(중), 16번(상)
• 정적분을 포함한 등식 — 9번(중, 끝이 상수), 13번(하, 변수 포함)
• 곡선과 x축 사이의 넓이 — 8·10번(중), 21번(상, 실근 개수와 결합)
• 위치와 위치의 변화량 — 12번(하), 19번(중상)

15번과 16번이 대표적인 짝입니다. 15번은 인수분해로 절댓값 안의 부호를 나눠 세 조각으로 적분하는 기본형이고, 16번은 대칭 적분 항등식과 미분계수 극한으로 함수를 먼저 정한 다음 절댓값 정적분과 수열의 합까지 이어지는 상 난이도입니다. 15번 절차가 16번의 마지막 단계입니다.

12번과 19번도 같은 관계입니다. 12번은 속도를 적분해 위치를 구하는 기본 문항이고, 19번은 두 점의 위치 차를 세워 다시 만나는 조건과 거리의 최댓값까지 구합니다.

빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)

1. 정적분 (4·5·6·7·9·13·15·16·17·22·23·27번) — 12문항

하 다섯 문항 — 4번 미적분의 기본정리, 5·6번 적분 구간이 같은 경우의 정적분 계산(6번은 곱을 전개한 뒤 계산), 7번 피적분함수가 같은 경우(구간 결합), 13번 정적분을 포함한 등식(적분 하한을 대입해 값 결정).

중 세 문항 — 9번 정적분을 포함한 등식(정적분 결과를 인수분해해 적분 끝 결정), 15번 절댓값 삼차식의 정적분, 23번 우함수·기함수의 정적분(평행이동된 기함수의 구간별 정적분).

중상·상 네 문항 — 17번 중상 주기함수의 정적분(제곱오차를 최소로 하는 주기함수), 16번 상 절댓값 함수의 정적분과 수열 합, 22번 상 그래프와 정적분으로 정의된 함수(구간별 정적분 함수의 극한과 실근 개수), 27번 상 서술형 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(반직선에서의 치역과 매개변수 경계).

하 다섯 문항은 공식 그대로입니다. 반면 22번과 27번은 정적분으로 정의된 함수를 미분해 도함수 부호로 그래프를 그리는 과정이 기본이 되고, 그 위에 극한·실근 개수·치역 조건이 얹혀 있습니다.

2. 정적분의 활용 (8·10·11·12·19·21·25·26번) — 8문항

8번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(근 사이의 부호와 정적분 차), 10번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(포물선과 좌표축 사이), 11번 중 두 곡선 사이의 넓이(세 교점으로 나누어 계산), 12번 하 위치와 위치의 변화량, 19번 중상 위치와 위치의 변화량(두 점의 재회와 거리의 최댓값), 21번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수와 곡선과 x축 사이의 넓이, 25번 중 서술형 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 26번 상 서술형 곡선과 직선 사이의 넓이.

11번은 교점이 세 개라 차의 부호가 중간에 바뀝니다. 두 구간으로 나눠 각각 양수로 만들어 더해야 합니다.

25번 서술형은 포물선과 직선 사이 넓이의 1/6 공식이 바로 쓰이는 문항입니다. 다만 서술형이므로 교점을 구하고 정적분 식을 세우는 과정을 답안에 써야 합니다.

26번 서술형은 여러 직선과 곡선 사이 넓이의 대칭 조건에서 사차함수를 복원하는 상 난이도입니다. 서술형 세 문항 중 가장 깁니다.

3. 도함수의 활용 (2) (3·20·24번) — 3문항

3번 하 함수의 극대·극소(삼차함수 극댓값), 20번 상 함수의 최대·최소(이동 구간의 최댓값 함수의 최소), 24번 상 함수의 극대·극소의 활용(이중 절댓값 함수의 극점 수와 극값 수).

미분 파트 문항 수는 적지만 상 난이도가 두 개(20·24번) 들어 있습니다. 20번은 구간이 움직일 때의 최댓값을 함수로 보고 그 최솟값을 구하는 유형, 24번은 절댓값을 씌운 함수의 극점 개수를 세는 유형입니다.

4. 부정적분 (1·2번) — 2문항, 둘 다 하

1번 부정적분의 계산, 2번 도함수가 주어질 때 함수 구하기(초기값). 확보 문항입니다.

5. 도함수의 활용 (3) (14·18번) — 2문항, 둘 다 중

14번 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(반직선 전체 부등식의 매개변수 최솟값), 18번 삼차방정식의 근의 판별(서로 다른 두 실근을 갖는 조건).

18번은 "서로 다른 두 실근" = 극댓값과 극솟값 중 하나가 0이라는 조건으로 바꾸는 문항입니다.

주의 문항 — 상 7문항

16번 상 절댓값 정적분과 수열의 합.

20번 상 이동 구간의 최댓값 함수의 최소.

21번 상 실근 개수 조건으로 사차함수를 정하고 넓이까지 계산.

22번 상 구간별 정적분 함수의 극한과 실근 개수.

24번 상 이중 절댓값 함수의 극점 수와 극값 수.

26번 상 서술형 직선과 곡선 사이 넓이의 대칭으로 사차함수 복원.

27번 상 서술형 정적분으로 정의된 함수의 치역과 매개변수 경계.

중상 두 문항(17번 주기함수 정적분, 19번 두 점의 재회)까지 포함하면 16번 이후 12문항 중 9문항이 중상 이상입니다.

신일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분·정적분 기본 계산 — 1·2·4·5·6·7번 대비. 실수 없이 빠르게.
2. 정적분 등식의 대입 처리 — 9·13번 대비.
3. 삼차함수 극댓값 — 3번 대비.
4. 곡선과 x축, 두 곡선 사이 넓이 — 8·10·11번 대비. 부호가 바뀌는 구간 나누기.
5. 포물선과 직선 사이 넓이(1/6 공식) — 25번 대비. 서술형 과정 쓰기 연습.
6. 속도와 위치 — 12·19번 대비.
7. 부등식이 항상 성립할 조건, 삼차방정식의 근의 판별 — 14·18번 대비.
8. ★ 절댓값 정적분 — 15·16번 대비. 기본형부터 수열 합까지.
9. 우함수·기함수, 주기함수 정적분 — 17·23번 대비.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수의 그래프 — 22·27번 대비. 미분해서 부호 보기.
11. ★ 움직이는 구간의 최대·최소 — 20번 대비.
12. 절댓값 함수의 극점 개수 — 24번 대비.
13. 실근 개수와 넓이 결합, 넓이 대칭으로 함수 복원 — 21·26번 대비.

자주 나오는 질문

신일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 27문항입니다. 정답 기록 기준 1~24번은 선택형, 25~27번 세 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분 12문항, 09 정적분의 활용 8문항입니다. 둘을 합치면 20문항이고, 07 부정적분 2문항까지 더하면 적분 파트가 22문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 7문항(16·20·21·22·24·26·27번) 입니다. 모두 16번 이후에 있고, 서술형 세 문항 중 두 문항(26·27번)도 상입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

1~7번 일곱 문항과 12·13번이 하 난이도입니다. 이 아홉 문항은 모두 공식을 한 번 적용하면 끝나는 기본 계산이라 시간을 아끼는 구간입니다.

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