서울 강서구 영일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 강서구 영일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 실제 배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 세 가지입니다. 미분 파트와 적분 파트가 10문항씩 반반이고, 중상이 9문항으로 가장 많으며, 서술형 7문항 중 5문항이 중상 이상입니다.

핵심 요약

• 20문항. 정답 기록 기준 1~13번 선택형, 14~20번 서술형 7문항
• 난이도: 하 1 / 중 8 / 중상 9 / 상 2
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 09 정적분의 활용 5 / 08 정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 1 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 상 2문항은 서술형 마지막 19·20번
• 05 도함수의 활용 (2)의 극대·극소 관련 문항이 6문항

※ 경북 포항시에도 같은 이름의 영일고등학교가 있습니다. 이 글은 서울 강서구 영일고의 시험지를 다룹니다.

영일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

영일고등학교는 서울 강서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록 기준 1~13번이 선택형, 14~20번 일곱 문항이 서술형입니다.

단원으로 나누면 미분 파트(04·05·06) 10문항, 적분 파트(07·08·09) 10문항입니다. 정확히 반반입니다. 기말이라고 적분만 준비하면 시험의 절반을 놓치게 됩니다.

특히 05 도함수의 활용 (2) 한 단원이 6문항으로 가장 많습니다. 1·2번 선택형 첫 두 문항과 12번, 그리고 서술형 14·16·18번이 모두 이 단원입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9문항

하 난이도는 4번 한 문항입니다. 1번부터 중 난이도로 시작하고, 6번에서 처음 중상이 나옵니다.

선택형 11~13번이 세 문항 연속 중상, 서술형도 16~18번 중상 세 문항 뒤에 19·20번 상이 이어집니다. 서술형 14·15번(중)을 빨리 끝내고 뒤쪽 다섯 문항에 시간을 몰아 주는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 05 도함수의 활용 (2) 6문항

05 단원 6문항은 극값으로 계수 정하기(1·18번), 극대·극소 판정(2번), 극대·극소의 활용(12·16번), 부피 최대(14번) 입니다. 극대·극소를 다루는 감각이 이 시험 전반을 좌우합니다.

반복 유형

• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 1번(중), 18번(중상 서술형)
• 함수의 극대·극소의 활용 — 12번(중상), 16번(중상 서술형)
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 13번(중상), 19번(상 서술형)
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 8번(중상), 20번(상 서술형, 공통인 접선과 결합)

네 유형 모두 선택형에서 한 번, 서술형에서 한 번 나왔습니다. 그리고 서술형 쪽이 같거나 더 어렵습니다. 선택형에서 그 유형을 풀었다고 끝이 아니라, 같은 유형을 풀이 과정까지 써서 끝낼 수 있어야 한다는 뜻입니다.

빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·2·12·14·16·18번) — 6문항

1번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(주어진 극점에서 계수를 정한 뒤 다른 극댓값 계산), 2번 중 함수의 극대·극소(극값과 도함수에 관한 명제), 12번 중상 함수의 극대·극소의 활용(거리를 나타내는 절댓값 삼차함수의 극값), 14번 중 서술형 최대·최소의 활용(원기둥 부피 최대), 16번 중상 서술형 함수의 극대·극소의 활용(구간별 함수의 극값 개수), 18번 중상 서술형 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(수평 접촉과 삼차함수 극값).

2번은 극값과 도함수에 관한 명제의 참·거짓을 따지는 문항입니다. 반례를 떠올릴 수 있어야 하므로, 도함수가 0이지만 극값이 아닌 경우 같은 대표 반례를 미리 정리해 두세요.

16번 서술형은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 극값 개수를 묻습니다. 이어 붙이는 점에서의 함숫값과 그 양옆을 비교하는 과정을 답안에 써야 합니다.

2. 정적분의 활용 (5·7·9·10·15번) — 5문항

5번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 7번 중 두 곡선 사이의 넓이(함수와 도함수 사이 넓이), 9번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(극한 조건으로 삼차함수를 복원한 뒤 넓이), 10번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프의 거리와 방향), 15번 중 서술형 위치와 위치의 변화량(두 점의 위치 변화량과 만남).

7번과 9번은 극한 조건으로 다항함수를 먼저 정하는 단계가 들어 있습니다. 넓이 계산 전에 함수 결정에서 실수하면 끝까지 틀리니, 극한 조건으로 차수와 계수를 정하는 연습을 함께 해 두세요.

3. 정적분 (8·11·17·20번) — 4문항

8번 중상 정적분을 포함한 등식(끝이 상수인 경우, 두 미지 적분값을 문자로 두고 연립), 11번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한(lim 1/(x−a)∫ 꼴), 17번 중상 서술형 주기함수의 정적분(두 대칭축과 주기 적분), 20번 상 서술형 공통인 접선과 정적분을 포함한 등식(원시함수의 두 점 공통접선).

네 문항 모두 중상 이상입니다. 08 단원에서는 쉬운 계산 문항이 하나도 나오지 않았습니다.

20번은 이 시험의 마지막 문항입니다. 정적분 조건으로 원시함수를 정하고, 한 직선이 두 점에서 접하는 조건을 다룹니다. 두 점에서 접한다는 것을 "차의 식이 완전제곱 꼴"로 바꾸는 발상이 필요합니다.

4. 도함수의 활용 (3) (3·13·19번) — 3문항

3번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(최솟값 이용), 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(수평선과의 교점 수를 함수로 보고 불연속점 판단), 19번 상 서술형 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(두 실근 개수 함수의 불연속 집합).

13번과 19번은 "교점 개수를 k의 함수로 보는" 같은 발상을 씁니다. 수평선 y=k를 올리고 내리면서 교점 개수가 바뀌는 높이를 찾는 연습이 두 문항에 같이 쓰입니다.

5. 부정적분 (4번)과 도함수의 활용 (1) (6번)

4번 하 부정적분과 접선의 기울기. 이 시험의 유일한 하 문항입니다.

6번 중상 평균값 정리(정의를 이용하는 경우). 평균값 정리를 적용할 수 있는 조건과 실제 함수에서의 존재 여부를 함께 따지는 문항입니다.

주의 문항

19번 상 서술형 (실근 개수 함수의 불연속) — 13번의 발상을 두 함수로 확장한 문항입니다.

20번 상 서술형 (원시함수의 공통접선) — 정적분 조건과 접선 조건을 연결해야 합니다.

11~13번 중상 세 문항 — 적분함수 극한, 절댓값 삼차함수 극값, 실근 개수 함수가 연달아 나옵니다.

16~18번 중상 서술형 세 문항 — 구간별 함수의 극값 개수, 주기함수 정적분, 수평 접촉 조건의 극값이 이어집니다.

6번 중상 (평균값 정리) — 선택형 앞쪽에 있는 중상이라 시간을 뺏기기 쉽습니다.

영일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 접선의 기울기 — 4번 대비. 확보 구간.
2. 극값으로 계수 정하기 — 1·18번 대비.
3. 극값·도함수 명제와 반례 — 2번 대비.
4. 평균값 정리 — 6번 대비.
5. 부등식이 항상 성립할 조건 — 3번 대비.
6. 부피 최대 — 14번 대비. 서술형 과정 연습.
7. ★ 극대·극소의 활용(절댓값 함수, 구간별 함수) — 12·16번 대비.
8. ★ 실근 개수를 k의 함수로 보기 — 13·19번 대비.
9. 곡선과 접선, 두 곡선 사이 넓이 — 5·7번 대비.
10. 극한 조건으로 다항함수 정하기 — 7·9번 대비.
11. 속도 그래프와 위치·거리 — 10·15번 대비.
12. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 11번 대비.
13. ★ 정적분 등식(끝이 상수) — 8·20번 대비.
14. 주기함수와 대칭 정적분 — 17번 대비.
15. 공통인 접선 — 20번 대비.

자주 나오는 질문

영일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~13번은 선택형, 14~20번 일곱 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 09 정적분의 활용 5문항, 08 정적분 4문항, 06 도함수의 활용 (3) 3문항, 07 부정적분과 04 도함수의 활용 (1)이 각 1문항입니다.

기말인데 미분도 많이 나오나요?

네. 미분 파트 10문항, 적분 파트 10문항으로 반반입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 서술형 19·20번 두 문항입니다. 중상이 9문항으로 가장 많아, 상 문항 외에도 시간이 드는 문항이 많습니다.

과년도 영일고 기출도 볼 수 있나요?

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